高二数学椭圆地第二定义

1、实用文档 文案大全 高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲 一. 本周教学内容： 椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系 知识点 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 ecaeM?()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 注意：对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100?()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac?2120() e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到

2、焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210?()() 左焦半径·左左rxaccarexcaacaex02020? 右焦半径右右racxcaraex200? 3. 椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BNAN，垂足为M，求当半径OA绕实用文档 文案大全 O旋转时点M的轨迹的参数方程。 解：设点的坐标是，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()?Ox? 参数。 那么xONOAyNMOBxayb?|cos

3、|sincossin()?1 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”? 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 xaybxayb?cossin?22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。 4. 补充 名称 方程 参数几何意义 直线 xxtyytt?00cossin()?为参数 Pxy000()，定点，?倾斜角,tPP?0，P（x，y）动点 圆 xarybr?cossin()?为参数 A（a，b）圆心，r半径， P（x，y）动点，?旋转角 椭圆 xayb?cossin()?为参数 a长半轴长，b短半轴长 ?离心角不是与的夹角

4、()OMOx 一般地，?、取，02 5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离 实用文档 文案大全 xaybykxb22221? 相离无解?xaybykxb22221 求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'l且l'与椭圆相切） 关于直线的对称椭圆。 （2）相切 相切有一解?xaybykxb22221 过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为Pxyxxayyb00002021()? ()312222相交有两解?xaybykxb 弦长公式： |()()ABxxyy?122122 ?14212212kxxxx() 实用文档

5、文案大全 ?1212kxx| ?12ka·?| 作差法中点：斜率?)( 例 1. 已知，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当AFxyM()?231612122 |MA|2|MF|取最小值时，求点M的坐标。 分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|'|MAMFMAMPAA?2 这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。 解：设直线是椭圆的右准线，垂足为，则，lMPlPMFMPeMPe|?1 |MFabceMPeMF，由已知方程得，由此得?4232121 2|MF，从而得 |'|MAMFMAMPAAMAPMAP?2，即当点、三点共线且是内分点 时，等号

6、成立，此时取得最小值，点的坐标为，|()MAMFM?2233 例 2. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角xyFFPFPF221212941? 时，点P横坐标的取值范围是_。（2000年全国高考题） 分析：可先求F1PF290°时，P点的横坐标。 解：法一 在椭圆中，依焦半径公式知，abcPFx?3253531| 实用文档 文案大全 |PFxFPFPFPFFF2121222122353?，由余弦定理知为钝角 ()()()3533532595552222?xxxx，应填 法二 设，则当°时，点的轨迹方程为，PxyFPFPxy()1222905? 由此可得点的横坐标

7、77;，点在轴上时，；点在轴上PxPxFPFPy?35012 时，为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是FPFPx123535? 小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。 例 3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条xyMM22164121?() 弦所在的直线方程。 分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。 解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得ykx?12() ()()()4124211602222kxkkxk?，又设直线与椭圆的交点为 AxyBxyxxxxkkk()(

8、)()11221212228241，、，则、是方程的两个根，于是，? 又为的中点，解之得，故所求直线方MABxxkkkk122224241212?() 程为xy?240 法二 设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，AxyBxyMAB()()()112221 ，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy121212122222424164? ?164012221222，两式相减得()()xxyy yyxxxxyy12121212412?() 实用文档 文案大全 即，故所求直线为kxyAB?12240 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1）， 则另一个交点为，Bxy(

9、)42? 、两点在椭圆上，有，ABxyxy222241644216?()() 得：?xy240 由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为ABxy?240 法四 直线方程为xtyt?21cossin? 代入椭圆得：(cos)(sin)24116022?tt? 444841602222?ttttcoscossinsin? (sincos)(sincos)48480222?tt ，tt122208440?sincossincos? 820sincos? ，8212sincostan? 即，故所求直线为kxyAB?12240 例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：xyPPlxy228840? 的

10、距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解：法一 设，由参数方程得P(cossin)()22? 则d?|cossin|sin()|2242342? 其中，当时，tanmin?2221222d 此时，cossinsincos?22313 实用文档 文案大全 即点坐标为，PP()?8313 法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，llllll''' 即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l? 设：，则由消得lxymxymxyx'?008822 9280449802222ymymmm?，令×?() 解之得±

11、;，为最大，由图得mm?333() 此时，由平行线间距离得Pl()min?831322 例 5. 已知椭圆：，是椭圆上一点ExyPxy2225161?() ()122求的最大值xy? （2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。 分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y2，转化为 xxyxy的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角22? 问题求解。法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最xyrr2222? 值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。 题（2）可将四边形A

12、BCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时 四边形的面积最大。求得ABCD202 解：()()125161161252222法一由得，xyyx? 实用文档 文案大全 则，xyxxx2222216125169251625?() 的最大值为，最小值为xy222516? 法二：令，xy?54cossin? 则，xy2222225161691625?cossincos? 法三令，则数形结合得，xyrr22221625? （2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x5y20 ?054，又设，则

13、点到直线的距离BBAC(cossin)? d120202041202420412022041?|cossin|sin()|? 同理点到直线的距离DACd22022041? 四边形的最大面积SACdd?|()12202 例 6. 已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平xaybabABAB222210?() 分线与x轴相交于点P（x0，0）。 求证：?abaxaba22022 （1992年全国高考题） 分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，ABxxabx120 利用证明?2212axxa 证明：法一 设，、，由题意知且，AxyBxyxxPx()()()11221200 由得|()(

14、)PAPBxxyxxy?1021221222 又、两点在椭圆上，ABybxaybxa12212222222211?()() 实用文档 文案大全 代入整理得，22102212222()()xxxxxaba? ，有·xxxxxaba120122222? 又，且?axaaxaxx1212 ?2212axxa 由此得?abaxaba22022 法二 令，则以为圆心，|PArP? rxxyr为半径的圆的方程为()?0222 圆与椭圆交于、两点PxaybabAB222210?() 由、消去整理得yabaxxxxrb22220022220? 由韦达定理得，xxaxabaa122022222?()

15、?abaxaba22022 法三 设，、，的中点为、AxyBxyABMmn()()()1122 ，xxmyyn121222? 又、两点在椭圆上，ABxaybxayb12212222222211? 则两式相减得()()()()xxxxayyyyb12122121220? 将及，代入整理得：yyxxmxnxxmyyn12120121222? xabamxxaba0222122222?·，下略 实用文档 文案大全 这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。 例 7. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，xeP?32032() 到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭

16、圆的方程，并求椭圆上到点的7P 距离等于的点的坐标7 解法一：设椭圆的参数方程为 xaybab?cossin()?，其中，002 由，得ecabaab22221342?() 设椭圆上的点，到点的距离为()xyPd 则dxy22232?() ?ab22232cos(sin)? ?31243222bbb(sin)? 如果即12112bb? 那么当时，取得最大值sin()()?1732222db 由此得与矛盾bb?7321212 因此必有，此时当时，取得最大值12112743222bbdb?sin()? 解得，ba?12 所求椭圆的参数方程是xy?2cossin? 实用文档 文案大全 由，±

17、;sincos?1232 求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P7312312()()? 解法二：设所求椭圆的方程为xaybab222210?() 由，解得ecababa222213412?() 设椭圆上的点，到点的距离为()xyPd 则dxy22232?() ?aabyy2222232() ?3349422yyb ?3124322()yb 其中，如果，则当时?bybbyb12 db222732取得最大值()()? 解得与矛盾bb?7321212 故必有b?12 当时，取得最大值ydb?12743222() 解得，ba?12 所求椭圆方程为xy2241? 由可求得到点的距离等于的点的坐标为&#

18、177;，yP?127312() 小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。 实用文档 文案大全 【模拟试题】 1. 已知椭圆xaybab222210?()的焦点坐标是FcFcPxy120000()()()?，和，是椭圆上的任一点，求证：|PFaexPFaexe1020?，其中是椭圆的离心率。 2. 在椭圆xy222591?上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 3. 椭圆()()|xyxy?1143331022的长轴长是_。 4. 椭圆yaxbabFcFcc22221210000?()()()()的两焦点为， ，离心率e?3

19、2 ，焦点到椭圆上点的最短距离为23?，求椭圆的方程。 5. 已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是xy?40， 离心率为22，求椭圆的方程。 6. 已知点P在椭 圆yaxbab222210?()上，FF12、为椭圆的两个焦点，求|PFPF12·的取值范围。 7. 在椭圆xyt2281?内有一点A（2，1），过点A的直线l的斜率为1，且与椭圆交于B、C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆方程。 8. 已知椭圆xy2225161?，在椭圆上求一点M，使它到两焦点距离之积为16。 9. 如图，已知曲线49360022xyxy?()，点A在曲线上移动，点C（6，4），以AC

20、为对角线作矩形ABCD，使ABx轴，ADy轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标。 实用文档 文案大全 参考答案 1. 证明：椭圆xayb2222?10()ab的两焦点FcFc1200()()?，、，相应的准线 方程分别是xacxac?22和。 椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， |PFxacePFacxe102220?，。 化简得|PFaexPFaex1020?，。 点评：|PFPF12、都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，|PFaexPFaex1020?，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点。 2. 解：设P点的坐

21、标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点。 椭圆的准线方程为x?±254， |PFxPFx12254254? |PFPF122? ，2254254251222|PFxPFxx? 把代入方程xxy?2512259122 得±y?1194 因此，P 点的坐标为()25121194，±。 点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。 3. 323 解析：椭圆的方程可写成 实用文档 文案大全 ()()|xyxy?11433351222， ca?12 一个焦点是（1，1），相对应的准线方程是43330xy?， acc2433358?| 由、得aa?1632323，。 4. 解：椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， ac?23 又eca?32， ，故ab?21 椭圆的方程为yx2241? 5. 解：设P（x，y）为椭圆上任意一点， 椭圆的一个焦点是F（1，1）， 与它相对应的准线是xy?40 ，离心