复变函数的导数

1、一、复变函数的导数一、复变函数的导数二、复变函数的解析性二、复变函数的解析性第八模块第八模块 复变函数复变函数第三节复变函数的导数与解析性第三节复变函数的导数与解析性 （一）（一）复变函数的导数的概念复变函数的导数的概念 一、复变函数的导数一、复变函数的导数设函设函数数)(zfw 的某区域的某区域 d 内有定义，内有定义，在包含在包含0z当变量当变量z在点在点0z处取得增量时，相应地，函数处取得增量时，相应地，函数)(zf取得增量取得增量)()(00zfzzfw如果极限如果极限 zwz0lim存在。存在。 处可导。处可导。 则称则称)(zf在点在点0z此极限值称为此极限值称为 在点在点0z)(

2、zf处的导数。处的导数。 记作记作 )(0zf 或或 0zzw即即 zzfzzfzwzfzz)()(limlim)(00000如果函数f（z）在区域d内每一点都可导，则称f（z）在 d 内可导. .0zzdzdw或或 （一）（一）复变函数的导数的概念复变函数的导数的概念 一、复变函数的导数一、复变函数的导数即即 zzfzzfzwzfzz)()(limlim)(00如果函数如果函数)(zfw 在区域在区域 d 内每一点都可导，则称内每一点都可导，则称)(zfw 在在 d 内可导。内可导。函数函数 )(zfw 在在 d 内任意点内任意点z处的导数记为：处的导数记为： 或或 ,dzdw)(zf w或

3、或 例例 1 求函数求函数 2zzf)(的导数。的导数。 z例例 2 证明证明 zw 在复平面内处处连续，但它在复平面在复平面内处处连续，但它在复平面内处处不可导。内处处不可导。 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数求导法则：求导法则：;)()( )()()(zgzfzgzf1; )()()()( )()()(zgzfzgzfzgzf2; )()()()()()()()()(032zgzgzgzfzgzfzgzf; )()()()()(zwzwfzf其其中中4是是和和其中其中)()()()()(wzzfwwzf15两个互为反函数的单

4、值函数，且两个互为反函数的单值函数，且 .)(0 w求导公式：求导公式：,)()(01c.)()(12nnnzz （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数例例 3 ,)(zzzf13设设.)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf设设.)( if求求 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数例例 3 ,)(zzzf13设设.)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf设设.)( if求求 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运

5、算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数例例 3 ,)(zzzf13设设.)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf设设.)( if求求不仅在不仅在 z0 处可导，处可导， （一）（一）解析函数的概念解析函数的概念 二、复变函数的解析性二、复变函数的解析性如果函数如果函数)(zf不仅在不仅在 z0 处可导，处可导，如果函数如果函数)(zf在区域在区域d内的每一点内的每一点 处都解析，处都解析，区域区域d称为称为)(zf的的解析区域解析区域。如果函数如果函数)(zf在在 z0 处不解析，处不解析，)(zf则称则称 z0 为为的的奇点奇点。但在但在 z0 的任意邻域内总的任

6、意邻域内总存在解析点，存在解析点，内的每一点都可导，内的每一点都可导，而且在而且在 z0 的某邻域的某邻域)(zf在在 z0 处处解析解析。)(zf称称 z0 为为的的解析点解析点。则称则称在在区域区域d内解析内解析。)(zf则称则称 （二）（二）函数解析性与可导性的关系函数解析性与可导性的关系 函数在区域函数在区域d内解析内解析在在 z0 处解析处解析)(zf函数函数函数在区域函数在区域d内可导。内可导。在在 z0 处可导。处可导。)(zf函数函数在在 z0 处可导处可导,)(zf函数函数在在 z0 处不一定解析。处不一定解析。)(zf则则 （三）（三）解析函数的运算性质解析函数的运算性质

7、（1） 若函数若函数在在 z0 处解析处解析,)(zf与与)(zg则则)()()(,)()(,)()(0zgzgzfzgzfzgzf在在 z0 处解析。处解析。（2） 若函数若函数在在 区域区域g内解析内解析,)(hfw 而而,)(gd )(zh在在 区域区域d内解析内解析, 且且则复合函数则复合函数 )(zfw在在 区域区域d内解析内解析,.)()()(zdzdhdhfdzdzfd且且（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。所有多项式函数在全复平面内处处解析。任意分式有理函数任意分式有理函数在不含分母为在不含分母为0的点的区域内解析。的点的区域内解析。)()(zqzp （四）（四）解析函

8、数的判定解析函数的判定 在在 区域区域d内有定义内有定义,设设),(),()(yxviyxuzfyixz是是d内任意一点，内任意一点，在点在点 z 处可导的充要条件是：处可导的充要条件是：)(zf则则;),(),(),()(处处可可微微在在点点yxyxv、yxu1.,:)(xvyuyvxu 黎黎曼曼条条件件满满足足柯柯西西2.)(:)(yuiyvxvixuzfzf的的导导数数为为且且 1. 函数可导性的判别函数可导性的判别 2. 函数解析性的判别函数解析性的判别在在 区域区域d内解析的充要条件是内解析的充要条件是:函数函数),(),()(yxviyxuzf。dyxv、yxu黎黎曼曼条条件件且且满满足足柯柯西西内内处处可可微微在在,),(),(二、复变函数的解析性二、复变函数的解析性例例 5 ,)()(zzf1例例 6 。yixzf的的可可导导性性和和解解析析性性讨讨