附录1 误差与数据处理

1、误差与数据处理一、 误差及其分类物理实验都必须进行一定的测量。而测量又可以分为直接测量和间接测量。直接测量就是利用一定测量仪器，直接测出某一物理量。例如对长度、时间等物理量的测量。所谓间接测量就是某物理量只能根据可直接测量的其它物理量的数值通过一定函数关系计算出来。不论是直接测量还是间接测量，最终目的都是要获得物理量的真值。然而进行测量时，都必须使用一定的仪器，通过一定的方法，在一定的条件下由某一观测者去完成。由于仪器、方法、环境和观测者等都必然存在某种不理想情况，所以在大多数情况下，测量到的结果并非真值。这种测量结果与真值之间的偏离，就是误差。某一物理量的误差定义为该量的给出值x（测量值，标

2、称值或近似值）与真值X之差，即 （1）由于测量中误差是不可避免的，而真值又是测不出的，所以测量的目的是：尽量消除误差之后求出在该条件下被测量的最可信赖值，以及对这一值的精确程度给予正确的估计。误差理论就是根据这一需要发展起来的。只有掌握和正确运用误差处理方法，才能确定接近真值的测量结果，并判断此结果的可靠性。误差理论还可以帮助我们正确地组织实验和测量，合理地设计仪器、选用仪器和选定测量方法，使测量的误差减至最小，获得最好的结果。由此可见，了解误差的性质，误差的出现规律，掌握误差处理方法，对实验工作者有非常重要的意义，这是实验工作者必须具备的知识。按照误差的最基本的性质和特点。可以把误差分为三类

3、：（一）系统误差：在一定条件下（指仪器、方法、环境和观测者一定，对同一量进行多次测定时，若测量误差的符号与数值总是保持不变，或者遵循一定的规律变化，称此种误差为系统误差。其中不变的误差又称为恒差或定值误差。变化的系统误差则称为系统变差或变值系统误差。变值系统误差按其变化规律又可分为累进性的，周期性的以及按复杂规律变化的几种。系统误差又可以根据其产生的原因分为：（1）仪器（或工具）误差。这是由于测量所用的仪器（或工具，量具）等本身不完善而产生的误差。（2）装置误差。这是由于测量设备和电路的安装、布置、调整不得当而产生的误差。（3）人身误差。这是由于测量人员的感觉器官和运动器官不完善而产生的误差。

4、这类误差往往因人而异，并与个人当时的生理和心理状况密切相关。（4）外界误差。外界误差也称为环境误差。这是由于外界环境（如温度、湿度。电磁场等等）的影响而产生的误差。（5）方法误差：方法误差也称为理论误差，这是由于测量方法本身所形成的误差，或者是由于测量所依据的理论本身不完善等原因而导致的误差。有时，可能由于对被测之量定义不明确而形成的一种理论误差。上述分类并不很严谨。一个具体的误差往往可以归入这一类，也可以归到另一类。重要的是：一般地说，应尽可能设法预见到各种系统误差的具体来源，并且极力设法消除其影响；其次是设法确定或估计出未能消除的系统误差之值。关于系统误差的处理，一般是属于技术上的问题。（

5、二）随机误差或偶然误差：当在同一条件下对同一物理进行多次测定时，在极力消除或改正一切明显的系统误差之后，每次测量结果仍存在一定的误差，各测定值似乎杂乱地分散在一定范围内，而不存在任何确定的规律性。各测定值误差的符号及数值都是变化不定的。称这样的误差为随机误差。和系统误差相反，随机误差的出现，从表面上看是毫无规律的，似乎是纯属偶然的，故随机误差亦称为偶然误差。但事物的产生总有其原因，随机误差的产生取决于测定过程中一系列随机因素的影响。所谓随机因素是指实验者不能加以严格控制的因素，如温度、湿度、空气振动等的瞬间变化，以及测定时偶然性的读数误差等。在任何一次测量中，随机误差都是不可避免的。而且在同一

6、条件下重复进行的各次测量中（即所谓一列等精度测量），随机误差的出现或大或小，或正或负，各有其特性而不相类同。但是，分析这一列测定值可以发现，在这列测量值中出现的随机误差，就其总体来说，都具有一定的统计规律性。利用概率论的一些理论和统计学的一些方法，可以确定随机误差对测量结果的影响，并通过对测量数据的适当处理，尽可能地消除这种影响。使我们对测定结果的可靠性作出一定的估计。随机误差有正有负，有大有小，在多次测定中能低消一部分。因此测定次数对减少随机误差有利。总之，随机误差的处理主要是利用多次测量依靠概率统计方法进行的。这里，我们介绍一下测量的准确度和精密度的概念：在具体测量中如果数值小的随机误差出

7、现的机会较多，而数值大的随机误差出现的可能甚少，那么测量结果就是相当精密的。测量的精密度是随机误差弥散程度的表征。测量的精密度高，也就表明测量的重复性好，随机误差小。在一个测量中，如果系统误差很小，那么测量结果就是相当准确的。测量的准确度由系统误差来表征。在一组测量中，尽管精密度很高，但准确度不一定很高；反之，若准确度好，则精密度也不一定高。如果随机误差小，系统误差也小，即既精密又准确，就称为精确。所以精确度（有时简称精度）是把两者都包括进去了。（三）过失误差：由于不正确的操作仪器，观察记录，读错数据，记错数据等错误，会使测定结果明显地被歪曲。这种由错误引起的误差，称为过失误差或粗差。二、随机

8、误差的正态分布对于随机误差所作的概率统计处理，是在完全排除了系统误差的前提下进行的，即在认为系统误差不存在，或已经改正、或小得可以忽略不计的情况下进行的。在这前提下，从大量的实际统计中，可以总结出一个结论：随机误差的出现是遵循正态分布的。从理论上说，这正是概率论的中心极限定理的一个必然结果。设在一定条件下对某一物理量X进行各自独立的大量测量。即进行一列n次等精度测量。则误差在和+d范围内的概率，当然正比于范围d的大小，同时也与有关，故概率可写为：dP=f()d (2)f()称为概率分布密度，它的函数形成可由下列正态分布函数表示： （3）正态分布也称高斯分布，函数f()的图解曲线称为正态分布曲线

9、或高斯曲线，如图I-1所示。测量值x出现在xa, xb内的概率亦即误差之值出现在区间, 内的概率为Pxaxxb=Pab = 即图I-1中阴影部分的面积。图I-1正态分布图a显然 （4）因为-x和-都是必然事件。由图I-1不难看出，正态分布总结了随机误差的下列四个特性：（1）绝对值相等的正误差和负误差其出现的概率相同，即所谓对称性。（2）绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小，即所谓单峰性。（3）绝对值很大的误差出现的概率近于零。误差值有一事实上的实际极限，即所谓有界性。（4）从特性（1）可以推论出：当n时，亦即，由于正负误差的互相抵消，一列等精度测量中各个误差的代数和有趋于零

10、的趋势，即所谓抵偿性。它是随机误差最本质的统计特性。换句话说，凡具有抵偿性的误差，都可以按随机误差处理。上述四个特性，有时也称为随机误差的四个公理。式（3）中，h对一定测量条件为一常数，称为精密度常数。不同h值的三条正态分布曲线，如图I-2所示。由图可见，当h值越大时，f()的最大值越大，曲线衰减得越快，即曲线越尖锐，小误差出现的概率大，而大误差出现的概率小；反之，h越小，则曲线越平坦，这时大误差出现的概率和小误差出现的概率相差不多。可见h可作为测量精密度的一种算法，故称之为精密度常数。图I-2正态分布图b三、测量精密度的估计对一组等精度的测量值（称为测量列）的精密的表示，可有下列几种方法：（

11、一）标准误差（均方误差或均方根误差）在一组等精度的测量中，其随机误差分别为1，2，n。误差同时出现在11+d，22+d，nn+d区间内的概率为： （5）如果参数h可有不同的选择，那么使概率最大的值便是最佳值。对上式求极值可得：或我们取作为测量列的精密度标志，称之为标准误差（均方误差），以表示，则 （6）因为h不能从测定数据中求出，往往将代入（3）式得： （7）这是概率密度又一种表示形式。（二）概率误差（或然误差、可几误差）：如果测量的误差落在±区间内的概率与落在±区间之外的概率相等时，就称为概率误差。它不能直接计算，是根据它和标准误差的关系求出的，即 （8）（三）平均误差：

12、各测定值误差的绝对值的平均值，即它与的关系为：=0.7978 （9）这关系常用来通过的计算值求出值，以简化计算。从理论上讲，三种误差对表示同一测量列的精密度效果是相同的，只不过是概率大小的问题，但实际上在有限测量次数的情况下，三种表示却有不同。标准误差对数据中存在的较大误差比较敏感。我国和世界上很多国家都在科学报告中采用标准误差。应当指出，上述几种误差均为对同一组测量中各测定值的可靠程度的估计，而不是对测量结果（平均值）的可靠程度的估计。为了加以区别，称上述的误差为测量列的标准误差、概率误差、平均误差。对测量结果（平均值）的可靠程度的估计，是用残差来表示误差公式的，这在第（五）部分介绍。根据正

13、态分布函数的关系，可计算误差落在±区间内的概率：以代换变量，得： （10）此式称为概率积分。将不同的t值代入上式，使可得变量t落在不同范围的概率值。一般可根据t值查表得到P值。当时，t=1，查得误差落在区间的概率为当时，查得即在一系列观测中，误差值处于之间的数目占误差总数目（即观测数n）的68.3%；落在区间内的数目占总误差数目的57.5%同理，当=3，t=3时，得即误差落在区间内的概率为99.7%。故一般可认为误差超过是几乎不可能的，因此把称为极限误差，或最大误差。一般在技术报告中都使用极限误差。可以证明，在误差曲线上，标准误差之值是曲线拐点的横座标；平均误差是纵座标一侧曲线下所包

14、面积的重心的横座标；概率误差则是将此面积分为两等分的横座标。如图（I-3）所示。图（I-3）四、最小二乘原理与算术平均值在等精度条件下对真值为X的物理量进行了n次独立测量，测定值为x1，x2，xn。假设系统误差已消除，不存在过失误差。其随机误差分别为1，2，n，误差同时出现在11+d，22+d，nd区间内的概率为如果X为最佳值，则概率P应该为最大，也就是 （11） 为极小。对上式求极值，则得2(x1-X)+ 2(x2-X) + +2(xn-X)=0可见X的最佳值就是算术平均值。因最佳值并不是真值，故用X值示。又将各测定值和算术平均值的差称为残值，用符号v表示，则（11）式可写成： （12）因此

15、上述的结论又可说：等精度n次直接测量后的最佳值，是使残差平方和为最小时求出的数值，这就是最小二乘原理。下面将会证明平均值的标准差为，也就是比测量列的标准误差小倍。这是容易理解的，因为算术平均是等精度测量的最佳值，对它的可靠性估计当然要优于任一个测定值了。五、用残差表示误差公式由于实际上不能进行无限多次测量，于是也就不能绝对精确地得到真值X，因而也就不知道误差。我们所知道的仅仅是在有限几次等精度测量中所求得的X的算术平均值，以及每次测量中的残差vn之值。因此要从一系列测量值求出各种误差必须把这些误差公式变为实际可用的公式。既然算术平均值是一组等精度测量的最佳值，我们可以用残差vn来表示各误差公式

16、。设真值为X的物理量等精度测量值为x1，x2，xn；误差为1=x1-X，2=x2-X，,n=xn-X对上述各式相加得：1+2+n =x1+ x2+xn -nX即 （13）又，各残差分别为v1=x1-，v2=x2-，vn=xn-。将（13）式代入上面各式中，并注意到i =xi-X，得： (i=1, 2, ,n)对上式两边平方得：两边对i求和：因为在测量中正负误差机会相等，所以展开后为正为负的数目相等，彼此相消，。所以上式可写为即 （14）根据标准误差的定义，所以由式（14）得： （15）式（15）即为测量次数有限时，标准误差的表达式。根据概率误差、平均误差与标准误差的关系式（8）和（9），可得

17、（16） （17）由于、中有项，计算较繁，所以常用下面近似式代替。六、间接测量的误差（一）误差传递的一般公式设有含m个独立变量的函数y=f(x1,x2,xm)。显然y由直接观察量x1,x2,xm所决定。令x1,x2,xm分别代表测量x1,x2,xm时的误差，y则代表由x1,x2,xm引起的y的相应误差，则得y+y =f(x1+x1,x2+x2,xm+xm) 对上式右端按泰勒级数展开，得略去含xi的高次项得 （18a）或 （18b）由于误差x1,x2,xm是一个微小量，可以以dx1,dx2,dxm代替之，并考虑最大的误差，因此将各项绝对值相加得： (19a)或 (19b）或 （19c）式（18）

18、（19）就是误差传递的一般公式 由此可见：函数的绝对误差等于这函数的全微分；函数的相对误差等于这函数的自然对数的全微分。（二）标准误差的误差传递的一般公式假设对x1,x2,xm作了n次测量。它们的误差为：x1x2xm第一次测量x11x21xm1第二次测量x12x22xm1第n次测量x1nx2nxmn于是可得：两边平方得：同理可得其中，i=1，2，n。在求和中，按照随机误差正态分布定律，正负误差数目相等，非平方项对消。即当n很大时（n时），各交叉项(其中k,l=1,2, ,m)趋于0。因而得两边除以n即得标准误差 (20)或 (20a)相对误差为：因为=0.6745,=0.7979，所以对式（2

19、0）两边分别同时乖以0.6745或0.7979即得概率误差或平均误差：或 （21）及或 （22）（三）算术平均值标准误差计算公式算术平均值是根据一组等精度测量值求出的平均值因为为每一次测量值xi的函数，按（20）式得上式中代表算术平均值的标准误差。i为各次测量值的标准误差。因为是等精度测量，所以1=2=n=；而，所以有即用残差表示： （23）同理可得： 用残差表示： （24） 用残差表示： （25）现在我们再回到式（20）。在式（20）两侧除以n，则可得间接测量的算术平均值的标准误差：即 (20a)即其中，为各直接测量量的平均值的标准误差。同理我们可得 （21a） （22a）对式(20a) 、

20、（21a）、（22a）两边各除以y（其中y=f(x1,x2,xm)），则得到各相对误差的关系式。以式(20a)为例：式中E1、E2、Em分别为各直接测量值的相对误差。由（23）式可知，当增加测量次数（增大n）时，会愈来愈小，但实际上增加测量次数的效果是有限的，从图（I-4）可以看出，当n较少时，随n增加而减小得很快，到n=5时开始变慢。当n>10时，的减少实际上已不很明显。因此通常规定在一般测量中n=1020已足够。图 I-4（四）误差传递公式应用举例1用于确定误差分配及测量仪器选择例如，已知一圆柱体的半径R=10毫米，高H=50毫米，要求按公式V=R2H求得的体积的相对误差不大于，问R

21、和H应使用什么计量器具进行测量？ V=R2H由误差传递公式中相对误差表示式（20b）可得 （26）其中因为可取足够位数，可不参加误差分配。对于ER与EH的误差分配，由于两个未知量（ER及EH），只有一个方程式（26），因此没有固定解。为此令即人为规定各部分误差对总误差的影响都相同。这一规定称为“误差等作用原理”。因此，（26）式中用后者代替前者得即把R、V=R2H以及代入上式，得因为，所以R的标准误差为R0.0035R=0.035mm取极限误差3R为同样用后者代替前者可得H的极限误差由量具说明书查得025mm的二级千分尺主值极限误差为±0.012mm；分度值为0.1mm的卡尺主值极限

22、误差为±0.15mm。所以测量R时可用规格为025mm的二级千分尺；测量H时可选用分度值为0.1mm的卡尺进行测量。将总误差分给各部，就可对直接测量的仪器的精度进行选择。但有时某一直接测量仪器达不到精度要求，这时可对误差的分配作适当的调整，适当放宽对该量测量精度的要求。七、非等精度测量（一）权的概念：如果对某一物理量进行几种不同条件的观测，由于采用的测量方法、测量次数等的不同，得到了可靠程度不相同的结果。此时不能简单地把它们的算术平均值取为最佳值，而必须参考到测量精度的影响。在综合各个结果的时候，应该使精度高的观测值有较多的贡献，精度差的，贡献小些。为了表征观测结果质量的好坏，并定出

23、它们对广义平均值的贡献大小量的表示，我们引入“权”的概念。标准误差是测量精密度的标志，因此通常就用标准误差来确定权。定义权为标准误差平方成反比的值。例如对同一量进行不同精度的观测，各个结果的标准误差为1，2，,m，则按照定义，各个权值为：， ， ， 式中k为比例系数，其数值可以任意选取，但为了计算方便，一般是选的k值使权值为整数。由于k为任意值，故权的值都只有相对意义。（二）广义算术平均值及其标准误差对某一量进行一系列非等精度测量，测量结果分别为，而相应的权分别为P1，P2，Pm。则可根据最小二乘原理证明这一系列测量的广义算术平均值就是某量的最佳值。其值为 （27）根据计算，广义算术平均值的标

24、准误差为： （28）其中vi为各测量值的残差，m为测量次数或组数。八、系统误差的限制与消除系统误差的出现是有规律的，而且在大多数情况下，系统误差是可以通过技术途径来消除或使之大为减弱。系统误差与随机误差不同，它不能依靠概率统计方法来消除或减弱。对于系统误差的处理，一般地说，是属于测量技术上的问题。对待系统误差，不可能像随机误差那样得出一些普遍的处理方法，而只能针对每一具体情况采取不同的措施。因此，处理是否得当，就在很大程度上取决于观测者的经验、学识和技巧。所以，可以说系统误差虽然是有规律的，但实际处理起来则往往比随机误差困难很多。为了找出消除和限制系统误差的方法，必须了解它在实验中产生的原因，

25、出现的规律，然后对症下药去排除影响它的各种因素。一般可分别在实验前、实验过程和实验结果的处理中加以消除。（一）消除系统误差的根源：消除系统误差产生的原因，使它在实验过程中不再出现，是避免系统误差影响结果的有效方法。例如某一系统误差的出现是由于仪器使用不当或仪器本身有问题，这就应该把仪器调节好，并按规定使用条件去使用，这样系统误差就可以避免。又如，系统误差是来源于实验者的操作不善和读数时的不良习惯，这就必须对实验者进行必要的训练，改进操作和读数方法。这样由此引进的系统误差也就可以避免了。（二）用适当的实验方法限制系统误差：系统误差产生的原因如果在事前不能消除，它必然要在实验过程中出现。如果能知道

26、它出现的规律，我们就可以采用适当的实验方法，使系统误差在实验结果中不再出现。这里我们介绍几种方法：（1）固定误差限制法：对测量中固定不变的误差，其限制有以下几种： 代替法：在一定的测量条件下，选择一个大小适当的标准量（通常是可调的标准器），使它在测量中代替被测之量，但不引起检测仪器示值的改变，这样就可以肯定被测的未知量即等于这个标准量。仪器的状态及其示值都是相同的，所以仪器的精确度对测量结果基本上没有影响。从而消除了测量结果中的仪器误差。测量结果的误差仅取决于标准器的误差。例：用电桥测电阻Rx值图（I5）得到 （29）事实上，R1、R2和R3都有一定的误差，设分别为1、2、3。若利用它们的标称

27、值来计算Rx，则Rx亦有误差X，即 （30）为了消除上述误差，我们利用一个可变标准电阻来代替Rx，使电桥在R1，R2和R3都维持不变情况下再次获得平衡，设标准电阻的标称值为RS，误差为S，即实际值为RS+S。于是根据电桥的平衡条件得 （31）比较（30）（31）两式，可知 Rx+x= RS+S 这样就消除了误差1、2和3对测量结果的影响。测量结果的误差x仅取决于标准器的误差S。 异号法：使误差出现两次，两次符号相反，取其平均值以消除系统误差。例如图（I6）所示，若被测电动势的回路内有温差电动势0存在，用电位差计测量时，测出的数值E1实际为两电动势之差，即E1= E -0若反向后，再用电位差计测

28、量，测量值E2应为两电动势之和，即：E1= E +0若将两次测量结果进行平均，则这样，由温差电动势引入的系统误差就被消除了。图I7 交换法：在一个测量系统中，对某条件进行交换，分别拿这两个结果互相对照，往往可以检查出是否存在某种系统误差。通过适当数据处理，通常取两次测量结果的几何平均或算术平均，即可消除系统误差。也可以求出系统误差的数值，然后对测量结果进行改正。这就是交换法或对照法。例用一个等臂的比值R1/R2=1的电桥和一个可变标准电阻RS来测量未知电阻Rx，先采取图I7（a）的安排，当电桥平衡时，有 (32)然后，交换Rx与RS，其余均保持不变，如图I7（b）。当电桥仍然保持平衡时，就有

29、(33)两式相对照可得即比例臂的比值确为而无误差，若第二次测量时电桥表现失衡，即表明比例臂有误差 （34）这时可调节标准电阻，使电桥恢复平衡。设此时标准电阻的阻值为，于是 (35)（35）式与（32）式相比，不难求得 (36)上式中不出现R1/R2，即消除了R1/R2的误差，而仅含有标准器的误差。由式（36）和（32）还可以得到 （37）从而解出系统误差数值 （38）（2）线性误差限制法 对称观测法（或交叉读数法）若有随时间线性变化的系统误差，可将观测程序对某时刻对称地再作一次，即测量程度如图所示I8（a），即可达到有效地消除线性系统误差的目的。其原理可从图I8（b）中看出。tD二次的测量系统

30、误差平均和两次测量的系统误差平均应相等。对称观测是一种很好的测量方法，它可以有力地消除随时间变化的系统误差。同时，当测量系统呈现某种对称性时，我们也可以相应地进行两次互相对称的测量，从两次测量求得最终结果，使测量的精确度提高。例：在LC回路谐振点（频率）的测定中，我们知道图I-9的LC的回路谐振曲线可以表示为 (39)谐振点A一般是根据电表的最大示值I/I0=1来判断。由于人的视觉以及电表灵敏度的影响，难以判别电流的微小差异（例如图中B1、A、B2各点电流相差I/I02%时，即不易区分），从而导致谐振点的判别误差。当谐振甚小时，式（39）可近似简化为：另一方面，因为于是有 （40）设，则。 （

31、41）为提高测量的精确度，一般采用对称观测法（或交叉读数法）在谐振曲线左右两边斜率最大处（即半功率点I/Io=1/2）附近，电流示值相同的点D1和D2上读取两个频率1和2，取平均值作为最终测量结果。当时，由式（39）可求得或于是读数误差为比上述的10-3降低了约二个数量级。（3）周期性系统误差限制法半周期偶数观测法对周期性误差，可以每经半个周期进行偶数次观测即可有效消除之。这就是半周期偶数观测法。周期误差可表示为：其中，t为决定周期性误差的量（如时间、角度等），T为误差变化周期。当t=t0时，当t=t0+T/2=时，而这就是说，测得一个数后，相隔半个周期再测量一个数，只要所测次数为偶数，取其平

32、均值，就可以消除其周期性误差。例如度盘偏心误差，就是采用相距180º的一对或几对游标的读数，以消除误差。（三）从对实验结果的处理中加以消除：如果系统误差在事前和实验过程中没有得到消除，那就应当在结果计算中引入修正值或修正计算公式。例：用天平测某物体的质量时，由于未考虑空气浮力而出现的误差，可以进行修正。设空气密度为，被测物密度为d，砝码密度为，天平平衡时砝码的质量为m0，也就是被测物质的测量值。另外，如果设物体真实质量为m，天平两臂长为e，则天平平衡时的真实情况应为下式：这里对计算公式引入了一个修正常数。九、实验数据的加工整理（一）测量结果的数字整理：测量结果的数字整理的目的是从测量

33、所得的原始数据中，求出被测之量的“最佳”估值，并估算出其精密度，即进行“误差分析”。测量结果的数字加工整理，可按下列步骤来进行。（1）确定被测量的值及测量列的精密度：对一系列等精度的测量结果xi（其中已尽可能地消除了系统误差），按测量先后次序列出，算出它们的算术平均值。在每个xi旁列出相应的残差vi及vi2值，然后算出测量列的标准误差（均方根误差）或（2）检验及剔除粗大误差：鉴别粗大误差的准则常用的有两种：拉依达准则 当服从正态分布，误差落在±3内的概率为99.7%。误差大于3的数据可认为99.7%是错误的。因此规定：的数据应予以剔除。每次剔除一个，其余数据重新计算平均值，求残差及标

34、准误差，再一次检验是否仍有vi>3的数据，直到所有数据全部合格为止。格拉布斯准则 仍先求出平均值、残差及测量列的标准误差。根据测量次数（n），从下列表格中查出其g0(n，)值。凡残差绝对值vi>g0(n，)的数据，认为是错误的而被剔除。其中是错判的概率。对一般实验，取0.05；对于精密测量，取0.01。g0(n，)表dg0(n,a)n0.050.250.01dg0(n,a)n0.050.250.0131.151.151.15152.412.552.7141.461.481.49162.442.592.7551.671.711.75172.472.622.7961.821.891.9

35、4182.502.652.8271.942.072.11192.532.682.8582.032.132.22202.562.712.8892.112.212.32252.662.823.01102.182.292.41302.752.913.10112.232.362.48352.822.983.17122.292.412.55402.873.043.24132.332.462.61452.923.093.29142.372.512.66502.963.133.34（3）测量结果的确定对于等精度直接测量，在剔除了粗差后，算出算术平均值。对于等精度间接测量，通过直接测量所给各量的算术平均值代入

36、某函数关系y=f(x1,x2,)，求得y的最佳值。对于非等精度测量的算术平均值，应先确定权值，即根据P112 = P222 = = k选取适当的k值，定出各权数，然后计算加权算术平均值：被测量算术平均值的标准误差的确定：对于等精度直接测量对于等精度间接测量对于加权平均值的标准误差：（4）最终结果的确定 系统误差的修正：设为算术平均值。由于可能存在各种系统误差而需要对它进行修正。设各修正量为C1，C2，Cn，则最终结果应为M=+ C1+C2+Cn但各修正量的精度不应影响测量结果的精度，不满足要求的修正量不能使用。根据微小误差准则，各修正量应满足以下关系：对于等精度直接测量式中n1，n2，nn为各

37、修正量的精度。对非等精度间接测量 确定最终结果的总误差及最终结果的表示方法：M的位数一般取1-2粒，而最终结果M的最末一位数与M的第一个数应同数量级。这样最终结果可表示为：M±M（二）实验数据的图解与方程表示：实验数据的数字加工整理可得最佳“估值”和测量精度。对于间接测量，这是在函数关系完全已知的前提下进行的。但是，有时往往是我们并不知道各量之间的确切函数关系，而要通过对所测得的数据加以整理、归纳，并用一定的方式（列表、图解等方式）确定它们函数关系中各待定参量的最佳估值，从而获得各量间函数关系的表达式。这一整理数据的过程一般称为曲线拟合。常用的有图解法和最小二乘法。用最小二乘法确定函

38、数关系经验方程的问题，数学上也称为方程回归问题。曲线拟合就是由一组测量值（实验点）找出一条较好的（用图解法）或最佳的（亦称“最可几的”，用最小二乘法）的曲线与之拟合，从而确定各待定参量的最佳估值。（1）图解法：测量结果的图解处理一般可分为两步：第一步把数据点标在适当的座标系中；第二步是作出拟合曲线，必要时还须对其进行残差分析。用图解法来处理测量结果时，首先应注意在确定各测量点时，要使各数据点大体上沿曲线均匀分布，在急弯处等细节部分应适当增加测量点。因此，最好在正式测量数据之前，预先作一次定性的快速粗测。以便掌握全面情况，做到心中有数，就能比较正确地选择测量点间隔。其次，在标点过程中，我们必须注

39、意正确地选择座标纸和标以合适的刻度。最常用的是线性直角坐标。此外还有半对数座标、全对数座标、极座标等。若已经知道各数据点的标准误差，在作图时也一起标出来以便较精确地作图。一般可用矩形（口）或一个十字形（十）表达出来。其中心点代表测量点的算术平均值。矩形或十字形两边的长度各表示其x,y误差的大小。至于曲线的拟合，根据不同的实验要求和数据情况采用不同的方法。 凭直觉拟合：在精度要求不高，测量点弥散程度不太大时可用透明曲线板和直尺，直接画出曲线。作图时并不要求通过所有的点，但不在曲线上的点应在曲线两侧均匀分布，即数据点均匀地随机分布在曲线周围。作图时曲线要平滑，必要时可用简单的分组平均方法平差作图。

40、例如，凭目测取二数据点联线中点作平均值，或取三个数据构成的三角形的重心作平均值，然后以这些平均后数据点作曲线拟合。 分组平均方法：在作图前，我们先按x坐标把数据适当地分为若干组（例如M组），求出每一组的内诸xn和yn的平均值。设第m组的平均值为和，然后再根据诸和来作图。取平均过程就是一种平差过程。其作用是减小随机变化的影响。平均数据的弥散程度没有单个数据那么严重，作图就容易得多。分组时的间隔如何选择才合适，有时也需要一点经验。用作图方法作拟合曲线往往不会是最佳的，总有一定误差。若要进一步提高精度，可以进行若干次的修正。以直线的修正为例，若作出初步的拟合直线后，我们可以得到y=ax+b中参数a、

41、b的初步估值a1和b2，由此我们可以计算出各数据点yn的残差vn= yn (a1x+b1)然后用较大的比例尺标出残差数据点(vn，xn)。如果第一次拟合十分良好，则残差的出现呈现纯粹的随机性；若拟合有偏差，则残差内就含有系统偏差，残差图上的数据点呈现出明显的规律性。这时残差数据可再拟合一条直线，求得参数a2、b2，这就是a1、b1的改正量。于是得到更佳的估值a=a1+a2。b=b1+b2，这种改正可以根据精确度的要求进行一次或多次，直到得到满意的结果为止，即到最后的残差图呈现出纯粹的随机性为止。在实际中，一般往往只需进行一次改正，就可得到足能满意的结果。用作图方法简便易行，但得到的曲线往往不是

42、最佳的，而且，也无法判断这曲线是否为最佳。（2）最小二乘法：最小二乘法是“数据处理”中最常用的拟合曲线方法。其原理是：若我们能找到一条最佳的拟合曲线，那么这拟合曲线上各相应点的值与各测量值之差的平方和在所有拟合曲线中应是最小的。采用最小二乘法，我们必须预先知道曲线的函数关系式。函数形式的确定一般是根据理论的推断或者从实验数据变化的趋势而推测出来。若我们预先知道曲线的函数关系式为y=f(x,q1,q2, ,qm) （42）其中q1,q2, ,qm是一些待定的常数参量。用最小二乘拟合，实际就是求这些最佳待定参量的问题。其基本方法是这样的：若已得一组等精度测量点：(x1,x2, ,xN)和(y1,y

43、2,yN)，并由这些点或物理问题本身我们已能判定它们的函数关系。若x的误差相对较小，可忽略，那么我们只须计算y的残差vn：vn=yn-f(xn,q1,q2, ,qm) (43)根据最小二乘法原理，其最佳估值q1,q2, ,qm应满足： (44)这在数学上可用求极限值的方法来获得： (45)由此得到m组联立方程： (46)这组联立方程为正规方程。从这组正规方程解出的q1,q2, ,qm即是待定常数的最佳值。这样我们可得到最佳的拟合曲线f(x,q1,q2, ,qm)。此外我们还可以求得单个观测量yn的标准误差的最可几估值为： (47)其中m为待定参量的数目。各待定参量的标准误差为： （48）下面讨论具体的问题。我们以直线、多项式函数等为例，介绍最小二乘法的应用。直线的拟合在曲线的拟合中，直线的拟合是最有用的。因为在一切函数关系中，线性函数是最简单而常见的。此外，有许多非线性的函数关系，通过适当地变换关系，常常可以简化为线性函数。例如：指数关系，可以改写为ln(y-)=ln+x，令Y= ln(y-),a=，b=ln，即得Y=ax+b。又如：倒数关系（双曲线），可以写为lny=ln-ln(x+)，令Y=lny，a=-1，b=ln，X=ln(x+)，即得Y=aX+b。设直线方程为y=ax+b中，