第八章第一节

1、求常数项级数的敛散性求常数项级数的敛散性第第1 1、2 2、3 3节节求幂级数的收敛区间求幂级数的收敛区间及和函数及和函数函数展成幂级数函数展成幂级数第第4 4节节常数项级数的定义常数项级数的定义01,1,nnqaqq 当当时时 收收敛敛当当时时 发发散散11nn 调调和和级级数数发发散散两个比较重要的级数两个比较重要的级数常数项级数的五个基本性质常数项级数的五个基本性质一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积r正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21即即212nraaa n103100031

2、00310331. 20.3 二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: :部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的级数的部分和部分和(前前n项部分和）项部分和）,11us ,212uus 331,iisu ,21nnuuus nnnuuuuu3211( (常数项常数项) )无穷级数无穷级数一般项一般项ns2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :常数项级数的判别方法：常数项级数的判别方法：用定义讨论级数敛散性的步骤：用定义讨论级数敛散性的步骤：（1）研究级数的一般项）研究级数的一般项 ，看看是否可以化简，看看是否可以化简nuns（2）求前）求前 项部

3、分和数列项部分和数列n（3）求）求limnns （4）若极限存在，则级数收敛，否则级数）若极限存在，则级数收敛，否则级数 发散。发散。举例：举例：11n 发散发散6110n 发散发散1(0)na a 发散发散11n 下面研究下面研究11nnis n limlimnnnsn 11n 发散发散解解21nnsaaqaqaq ,11,1naaqqqnaq 1,q 当当时时lim0,nnq limnns,11,1nnaaqqsqnaq 收敛，收敛，于是级数于是级数0nnaq 01nnaaqq lim1nnaaqq 1aq 1,q 当当时时limnnq不不存存在在，limlim1nnnnaaqsq 不不存

4、存在在，发散发散此时级数此时级数0nnaq 1q 如如果果时时，1,q 当当时时0,na 级数为级数为nsna 发散发散此时级数此时级数0nnaq 综上，综上，01,1,nnqaqq 当当时时 收收敛敛当当时时 发发散散1,q 当当时时aaaa级级数数变变为为limnns 不不存存在在发散发散此时级数此时级数0nnaq 01,1,nnqaqq 当当时时 收收敛敛当当时时 发发散散例如：例如：112 () ,3nn 考察下列级数的敛散性考察下列级数的敛散性13( ) ,2nn 1( 0.0009)n 收收敛敛发发散散发发散散解解212 3nnnu 143nn 该级数为几何级数，该级数为几何级数，

5、4,3q 公公比比| 1,q .原原级级数数发发散散练练 习习43,3n解解1(1)nun n 11,1nn ns1111111(1)()()()22311nnnn1,2,n 111n 11111 22 3(1)(1)nnnnlimnns1 11,1.(1)nn n 级级数数收收敛敛1lim(1)1nn 解解1(21)(21)nunn ),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn练练 习习),1211(21 n11limlim(1)221nnnsn ,21 1,.2综综上上，级级数数收收敛敛 和和为为逆命题成立：逆

6、命题成立：11.nnnnuku即即级级数数与与同同敛敛散散结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .111()nnnnnnnuvuv 若若收收敛敛，发发散散，则则一一定定发发散散。111()nnnnnnnuvuv 若若，均均发发散散，敛敛散散性性不不确确定定。补充说明补充说明例例如如：1111,1nnnn 均均发发散散，111()1nnn 但但收收敛敛1121,nnnn又又均均发发散散，121()nnn 但但发发散散11nn 发发散散, ,例如例如1111,.1nnnnk则则均均发发散散注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级

7、数不一定收敛. .(11)(11)例例如如 1111 收敛收敛 发散发散注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .lim0,?nnu 有有但但级级数数是是否否收收敛敛111123n例例如如调调和和级级数数11nn 调调和和级级数数是是发发散散的的。12481(248)12(1248)从从而而得得12481 对于发散级数而言，加括号及移项等对于发散级数而言，加括号及移项等运算是无意义的运算是无意义的找出下面运算中的错误找出下面运算中的错误思思 考考11(

8、0)nknk 发发散散注注证明证明2211nnisi 11341111567821211n 2n 1()(121114)111842888n lim2nn 2limnns 11nn 综综上上，调调和和级级数数发发散散。练练 习习解解1lnnnun ln(1)ln ,nn2341lnlnlnln123nnsn ln2ln1 ln3ln2ln(1)ln nn1,2,n ln(1)ln1n ln(1)n limlimln(1)nnnsn 综综上上, ,原原级级数数发发散散。解解1112nnnn发发散散；发发散散；112nn 而而收收敛敛，121()2nnn 综综上上，级级数数发发散散。解解 121)

9、1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn11151nnkskk 令令),111(5 n练练 习习1lim5lim(1)5,1nnnsn 11,2nn 是是等等比比级级数数111,22q 公公比比首首项项是是 ，112nn 151516.(1)2nnn n 故故121,112 222222222888(1)( 1);999111333(2);(3);363222111111(4)()()();23232323(5)1;2!3!nnnnnnnnnn 补补充充题题：判判断断下下列列级级数数的的收收敛敛性性，并并说说明明理理由由。121111( 1)25,.nnnnnnnaaa 已已知知，求求121111( 1)25,.nnnnnnnaaa 已已知知，求求解解11( 1)2,nnna