概率论与数理统计4

1、1第五章 大数定律和中心极限定理 关键词：契比雪夫不等式（数学工具）大数定律中心极限定理21 大数定律 背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证。 为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式，切比雪夫不等式3 大数定律、中心极限定理都是描述大大数定律、中心极限定理都是描述大量重复或量重复或“近似重复近似重复”的试验中的概率规律的试验中的概率规律的定律。这两类定律从数学上严格证明了现的定律。这两类定律从数学上严格证明了现实中的真实现象，例如实中的真实现象，例如“频率趋于概率频率趋于概率”、“正态分布常见于各类误差的分布中正态分布常见于各类误差的分布中”。4两个问题 问

2、题5.1、设想一个人在淘宝上购物。发现一件衣服的好评率为96%。试问，是否可能顾客给这件衣服好评的概率小于0.9？ 问题5.2、抛硬币1000次，有592次正面朝上。是判断，硬币朝上的概率是否是0.5？（如果硬币朝上的次数为800次呢？）硬币朝上的次数为多少时我们可以认为硬币朝上的概率不是0.5？ 222225.1 ,0, 1XE XD XP XE XP XE X 定理契比雪夫不等式 ： 设随机变量 具有数学期望方差 则对于任意都有：定理的为：等价形式 ,f x证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为 xP Xf x dx则 22xxf x dx 221xf x dx222D X( )f

3、 x6几个常见的大数定律几个常见的大数定律111,nnkkE YEXnnn证明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn定理定理5.2（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）7几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理5.2（切比雪夫大数定律的一般形式）（切比雪夫大数定律的一般形式）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 设设 X1, X2, 是是两两不相关两两不相关的随的随机变量序列，它们都有有限的方差，机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，

4、即 Var(Xi) K，i=1, 2, ，则对任意小的，则对任意小的 有有切比雪夫切比雪夫（证明与之前条件较强的切比雪夫大数定律完全相同）5.3 ,0,1AAnApnnnAlim Ppn 定理贝努里大数定理 设事件 在每次试验中发生的概率为 ，记为 次独立重复试验 中 发生的次数 则有：证明：显然此大数定律可以从切比雪夫大数定律直接推出。 只需在切比雪夫大数定律中，令只需在切比雪夫大数定律中，令否则，发生次试验如第，01AiXii=1,2,nniinXnnS11是事件是事件A发生的频率发生的频率显然，E(Xi) = P(A)，Var(Xi) =P(A)(1-P(A)00，有，有11lim1ni

5、inXnP1nii=1XXn或或者者， 序 序列列 依概率收敛于依概率收敛于 PX 即即 辛钦辛钦辛勤大数定律中没有假设方差存在，但假设了Xi，相互独立同分布122 中心极限定理背景： 有许多随机变量随机变量，它们是由大量大量的相互相互独立的独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小很小，这种随机变随机变量量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布。中心极限定理正是从数学上证明了这一现象的存在，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。 13 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目

6、标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.14 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.15 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测

7、量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见. 5.4 定理独立同分布的中心极限定理设X1,X2,Xn,是一列独立同分布的随机变量。满足， ，令则对任意固定的，有：（其中Z是标准正态随机变量）2)( ,)(iiXVarXEnnXYniin1RAdteAZPAYPAtnn2221)()(lim定理定理5.4表明，当表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.17中心极限定理对比大数定律不严格的来说，中心极限定理显然蕴含大数定律。

8、因为，对任意A 成立蕴含对任意小的 (请尝试自行证明)因此假设Xi是相互独立且同分布的，则中心极限定理5.4的结论能推出关于Xi的大数定律。中心极限定理不仅说明Xi的前n个的算数平均依概率收敛，还刻画了其收敛速度（注意到 ，从而 收敛到的速度为 ）dteAZPAYPAtnn2221)()(lim11lim1niinXnPn1)(nnXnYnX185.5 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.4,(1)2txAnnnplim Pxedtnpp由定理1 0 iiAiA第 次试验时 发生证明：令X第 次试验时 未发生 2201 ,1lim( ),(1)2AtxAnnnAP AppnnpxPxedtxnp

9、p 设为 次贝努里试验中 发生的次数，则对任意 ，有：12, (1, ).nXXbpi则X相互独立同分布,X12,AnnXXX由于() (,(1).N np nppA即:n近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 二项分布和正态分布的关系示意例图20 例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。121616,XX解：记只电器元件的寿命分别为X16116iiX则只电器元件的寿命总和为X,2100,100iiE XD X由题设16116 10016000,14 10

10、0400iiXXN根据独立同分布的中心极限定理: Y近似服从 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 21 例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200 元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。200P X,10000,0.017b n pnp解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案： 0.93722 例4：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：设机器出故障的台数为X 则X，分别用三种方法