第四章 随机信号通过非线性系统分析

1、205第四章 随机信号通过非线性系统的分析第四章 随机信号通过非线性系统的分析4.1 通信中常见的非线性系统从电子设备各组成部分的作用结果看，基本上可以把它们划分成线性系统和非线性系统两大类，非线性系统与线性系统有两个重要方面不同；1一般来说对于线性系统的解，入们通常能够求得封闭形式的表达式，而对非线性系统来说，这一点并不是总能实现的。人们往往不得不满足于找出收敛于真实解的近似函数，或者对真实解作出估计。因此同线性系统比较起来人们一般不能确切地知道什么是非线性系统的精确解。2分析非线性系统相对于线性系统来说一般涉及的数学在概念上更高深，在内容上则更繁杂。由于线性系统的本质特征是叠加原理，因此非

2、线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。本章主要是研究随机信号通过非线性系统的分析。在对非线性系统的分析中，也可划分成无惰性和惰性两种情况。如果在某个瞬时的输出随机信号，只取决于同一瞬时的输入随机信号，那么我们可以用一个函数关系把它表示为 式中代表某种非线性函数关系。这样的非线性关系，我们称之为无惰性的。凡在一个非线性系统中，只要有贮能元件存在，它就会有惰性。但在有些情况下，可以把非线性系统中的贮能元件，归并在非线性系统的输入及输出的线性系统中。换句话说，即使我们遇到了一个非线性的有惰性的系统，往往可以作某种折合或等效归并到下一级的输入电路或前级的输出电路中去。 表示非线性系统特性的通常可以

3、用实验的方法得到，如电子管、半导体器件的伏安特性曲线。为了要进行理论分析，往往是在实验的基础上，采用各种渐近方法求出。从理论上讲，比较方便的有多项式，折线和指数等渐近方法。每种方法各具有优缺点，因为所要求的渐近精确性和解析表达式的简单性往往是有矛盾的，通常在它们之间只能采用折衷的方法去处理这种矛盾。在通信当中，主要有下列几个简单的非线性系统：通过非线性系统， 我们一般化放大器和衰减器的概念。例如， 一个·模拟放大器输出的电压不会高于它们的动力供给电压，这就导致了峰值剪 （clipping）. 这种形式的非线性系统为： 这里 与峰值剪相对应的一种非线性系统是 中心剪 （center c

4、lipper）, 其式为： 中心剪显然是一个非线性的，从其表达式看很难想象它的用处，其实，它在语音处理中有很重要的应用。硬限制 线性半波检波： 线性全波检波： 二次失真 其数字信号形式为： 平方率检波器： 本章主要讨论随机信号通过线性半波检波，线性全波检波和平方率检波器后输出信号的统计特性。4.2计算输出信号统计特性的直接法已知非线性元件的特性，以及输入的统计特性，求输出的均值，相关函数可以由输入随机信号的概率密度函数求得 式中是输入随机信号的一维概率密度。同理可推得输出端的n阶矩 输出随机信号的自相关函数 式中 为输入随机信号的二维概率密度函数。如果输入随机信号是一个平稳的随机过程，相关函数

5、可以写成 (式中 ) 如果输入端随机信号的二维概率密度函数是已知的，就可以求输出端随机信号的相关函数和功率谱密度。在输入端概率密度为正态分布时，且非线性函数关系比较简单，积分运算又没有多大的困难时，可以比较顺利地得到计算结果，但是，当输入端的概率分布以及非线性关系都比较复杂时，积分计算就会产生比较大的困难。 下面我们将分析检波器输出端的统计特性，以说明直接法的应用。4.2.1 平方律检波器1、正态噪声作用于平方律检波器如前所述，平方律检波器是指其传输特性为 式中是常数，这种检波器的特性如图4.1所示 图4.1 平方律检波特性平方律检波器输出端的n阶矩可写成 相应地，平方律检波器输出端自相关函数

6、为 现在假定检波器输入端作用的是一个零均值的正态噪声，根据例121求得正态随机变量各阶矩为 令n1，n2，使得到 又因 输出相关函数可求得为 于是输出功率谱密度便由的傅里叶变换得到，即已知由式中右边的第二个式子积分得 于是我们使得到了平方律检波器输出端功率谱密度的一般公式,它是由两部份所组成，即 直流部分起伏部分为了更好地理解所得结果，假定输入功率谱密度具有某些简单的形式，如式中 是一常数, 。这种功率谱密度的图形表示在图4.2(a)上。图4.2 窄带起伏噪声通过平方律检波后的功率谱密度（a）输入；（b）平方律检波输出；（c）低通滤波器输出在这种情况下 得到功率谱密度的直流分 在平方律检波器输

7、出端起伏部分的功率谱密度，可按式(6.3.12) 右边第二个积分计算，得 经过积分运算后得到 这种图形表示在图4.2(b)。通常在检波后，均有低通滤波器将高频成分滤去，滤波器输出端的功率谱密度如图65(c)所示。2、信号和噪声同时作用于平方律检波器设平方律检波器输入端的随机信号是 噪声的均值为零，信号和噪声彼此不相关，平方律检波器输出的自相关函数是 当输入是平稳随机过程时，于是便可以得到 式中 和分别是信号平方和噪声平方的自相关函数,并且有 其中 分别是信号和噪声的方差。我们看到，平方律检波器输出的自相关函数，包含有三项 式中 信号本身相互作用引起的， 噪声本身相互作用引起的， 信号与噪声相互

8、作用引起的。所以，上述各项中，只有它与要求的输出信号有关，和则是和噪声相联系的。 平方律检波器输出端的功率谱密度，可以取的傅里叶变换后求得，于是我们可以写成 式中 这里和分别是输入信号和噪声的功率谱密度。项的存在，表明由于输入信号的出现，使输出噪声增大，但由于使用场合的不同，有时我们又可以把这一项归并到信号中去。 现在假定输入是等幅正弦信号 式中,是常数，为在之间均匀分布的随机变量输入噪声为零均值的平稳正态随机过程，信号与噪声彼此不相关。下面，我们讨论输出信号的均值、方差、相关函数和功率谱密度。容易看出 当式时，求得的自相关函数便是输出的均方值，即 所以,平方律检波器的方差为 我们已得出平方律

9、检波器输出端自相关函数的及部分，即 其相应的功率谱密度是 为了确定平方律检波输出的自相关函数的其它各项，需要知道输入信号的自相关函数。根据定义，输入信号的自相关函数是 式中 于是输入信号的功率谱密度是 把所求的,代入有关式中,得 则 此外，输入信号平方的自相关函数为 所以，平方律检波器输出的自相关函数部分为 相应的功率谱密度 总之，当平方律检波器的输人端由一个正弦信号和一个平均值是零的平稳正态噪声组成时，其输出端的自相关函数根据其最后的表示式应是 输出的功率谱密度根据 及上面有关结果得 为了更好地理解上面所得的结果，仍和上节一样，假定输入的噪声功率谱密度具有简单的形式。设输入的噪声功率谱密度分

10、布在频率为中心的窄带上(这里)等于常数，于是输入的功率谱密度如下式所示 的图形如图4.3(a)所示。现在，根据上面所得的公式，分析平方律检波器输出功率谱密度的各组成项。前面已经看到，输出功率谱密度由三项所组成，和。其中与前节输入端仅是噪声时的输出功率一样。于是可以将写成为 这一功率谱密度图形表示在图4.3(d)中。 现在，从物理意义上解释为什么图4.3(d)的图形是三角形，而图(c)是矩形。我们可以把噪声分量看成是许多正弦分量叠加的结果。检波过程是一个非线性过程，噪声中各频率分量在检波过程中相互差拍而形成许多拍频分量。我们已假定噪声的输入功率谱在频带内是均匀的，差额越小，拍频分量便越多，因而能

11、量就越大。反之，差频越大，拍频分量就越少，因而能量就小，也就是能量和差频呈线性递减的规律。由于正、负差拍频率的对称性,于是便出现了以拍频等于零时(有最大功率)为顶点的一个三角形，这便是图(d)呈三角形的原因。图(c)是由平方律检波过程中，由信号和噪声各分量差拍而形成的，由于信号位于中心上，所以它和噪声的最大差频便是。由于占据在频带内的所有噪声,都要和信号进行拍频，因此就等于是将频带内的每一噪声分量都加或减同一信号频率分量，于是在和处形成了一个和图(a)相似的功率谱密度图形。4.2.2 线性半检波器现在，讨论一个单向的线性检波器，这种检波器的特性是 图4.4 半波线性检波特性设是均值为零的平稳正

12、态随机过程，它的概率密度是现在求线性检波器输出端的统计特性，输出端的均值和方差很易求出，即 非线性系统输出端的自相关函数是已知正态随机过程的二维概率密度是式中，是输入平稳随机过程的相关系数，是输入平稳随机过程的方差。为了便于计算的积分，我们令于是它可以写为 可以证明 当时这样，令，可得到相应于输入为平稳正态随机过程时，线性检波器输出的自相关函数的表示式为 为了求出功率谱密度，对式进行傅里叶变换，但计算积分时有困难，为此在求它的博里叶变换之前，先把它表示成无穷级数将会方便些，的幂级数展开式为式中。而的幂级数展开式为 把这些表示式代人再加以合并，就可得出的多级数表示式，它的前几项是 因为，所以级数

13、高于二次幂的项会是很小的,因此可以作合理的近似，即 这里得到的是一般形式的解，它是以检波器输入的相关系数的幂级数形式表示的。它的条件是输入端为正态分布的平稳随机过程。它适用于宽、窄带的随机过程，主要取决于输入端随机过程相关系数的性质。式中右边第一项与无关。实际上，它就是检波器输出端出现的随机过程的平均值的平方，即现在只考虑起伏部分的相关函数 得于是 在时，故得 这说明，所得的关系式是一个收敛很快的级数，它的前三项就占了输出端起伏强度的98。因此，用无穷级数展开的的表示式，只要取前三项已经足够了。 在雷达、通信等接收系统中，检波前大多是窄带选择系统(窄带中放)。因此，作用于检波窄带随机过程的相关

14、系是 式中取决于窄带中放的频率特性，是相关系数的包络，是中放的中心频率。用三角函数展开式将上式化简,并略去项得检波器输出端感兴趣的是低频分量，因此 在一个具有理想矩形频率特性的线性系统输出端，平稳正态随机过程的相关系数由上式可得 式中 。 在一个具有高斯频率特性的线性系统输出端，正态随机过程的相关系数。式中是一个决定频率特性宽度的参数。将两种不同类型的相关系数的包络代入，便可到检波器输出端不同类型的相关函数。检波前中频放大器具有理想矩形频率特性，求得的检波器输出端相关函数的表示式为 其相应的单边带功率谱密度为 同理，中频放大器具有高斯型频率特性,求得检波器输出端相关函数的表示式为 其相应的功率

15、谱密度为 图4.5所示的功率谱图，是在系统频带内，具有均匀功率谱密度的噪声，通过理想矩形频率特性的线性系统后，又经过线性检波器，在检波器输出端得到的噪声低频功率谱密度。如同在研究平方律检波器一样，仍假定输入噪声的功率谱密度在以频率为中心的窄带上，且等于常数。得 可以求得线性检波器输出功率谱密度的近似表示式为 将和代人上式，便得到在检波后，通常都有低通滤波器。因此，输出的功率谱密度仅在零频率附近的区域内不等于零。由此而得到低通滤波器输出端的功率谱密度为对于以上情况的功率谱，表示在图4.6上。 现在把平方律检波器和线性检波器所得到的结果比较一下。从图4.6和图4.5看出，平方律检波器只有在零频率附

16、近和中频的二倍频处有输出；而线性检波器的输出功率谱中，不仅在零频率处和中频的二倍频处有输出，在中频处也有输出；但经过低通滤波器后，两者的图形是相似的。例 1： 设是均值为零的正态平稳随机过程， 其相关函数为 ,我们对 构成如下非线性运算： 求 的均值和相关函数。解： 过程可看成是串联有无线增益放大器的对称限幅器的输出。容易看出 的平均值等于零而它的自相关为： 因为随机变量 与是联合正态的，具有相关系数 设 ,这里 ， 由二维联合正态随机变量的概率密度函数容易得出： 故 这个结果就是通常所说的反正弦定律。4.4 准正弦振荡信号通过非线性系统分析 在典型的无线电接收机电路中，中放和检波是其基本组成

17、部分。通常中频放大器是线性窄带四端网络，在其输出端的随机过程可近似地用一个准正弦振荡来表示(这一概念已在第五章中说明)。即 式中和是相对于而言的随机慢变化的时间函数。 对这种窄带随机过程进行检波时，在检波器负载上出现的电压正比于检波器输入端随机过程的包络。有了准正弦振荡的概念，这类随机过程通过非线性系统的变换问题，经一定的近似以后，可使求解计算大为简化。 非线性系统的特性仍用来表示，如果要对一个表示为被正弦振荡的随机过程 进行非线性变换，那么在非线性系统输出端的随机过程将是 如果将随机过程对某一时刻的采样值写成,。于是可以写成为 令 于是使得到变量为的周期性函数。该函数可用傅里叶级数的形式表示

18、为 式中 则 式中表示输出端得到的低频分量. 表示输出端得到的高频分量。输出端是由。的各次谐波所组成，可是每一个分量都有一个相应的慢变化的随机变量乘以。若输入端的起伏的频谱是很窄的话，那么分量的频谱基本上集中在靠近频率周围的区城内。是集中在低频段，且围绕在频率的附近的一个范围内。1、 输出端随机过程的统计平均值 由于 所以 式中为非线性系统输入端随机过程包络的一维概率分布密度。2、输出端随机过程的方差输出端随机过程低频的起伏分量应是因此其(或低频分量)方差应是 式中 3、输出端随机过程的相关函数和功率谱密度 在时间t上非线性系统输出端的随机过程是在时间上相应地可写成 根据定义 由于我们仅限于讨

19、论平稳随机过程，它有如下的关系存在所以 式中互是非线性系统输出端低频组成部分乘积的平均值,起伏低频分量的相关函数是 因此非线性系统输出端电流起伏的相关函数可用下列级数表示 对窄带噪声而言，第n个分量的相关函数为 可以用下列关系式确定 式中是非线性系统输入端窄带随机过程包络的二维概率密度。因此，在非线性系统输出端窄带随机过程的相关函数可用下列级数表示 有了相关函数的表示式根据傅里叶变换公式,可将相应地功率谱密度求出 4、窄带正态随机过程通过线性检波器线性检波器的特性 作用在检波器输入端的随机过程是一个窄带正态随机过程，在t时刻的随机变量为 因此检波特性可以写成 检波时的实数变化范围，如图4.10

20、所示。 由于检波以后，我们关心的只是随机过程的低频起伏分量 式中为检波器输出端的低频分量，为检波器输出端总电流的平均值。可知 因此,线性检波后的低频分量是 窄带正态噪声包络的一维概率密度为则可得 输出低频起伏成分的方差为式中 所以 5、窄带平稳正态随机过程通过平方律检波器平方律检波器的特性为 作用在检波器输入端的随机过程在t时刻的状态为 在平方律检波器输出端得（1）检波器输出端的统计平均值由于相位和幅度是彼此独立的随机变量，所以可以分别求出和已知 所以 故得 （2）检波器输出端的方差因为在检波器输出端，我们关心的只是低频分量，是二次谐波项，在检波后滤去了。根据积分公式所以 故得 6, 平方律检

21、波器输入端和输出端的信号噪声功率比之间的关系 设平方律检波器输入端同时作用着信号和噪声。信号是单频率的正弦波信号式中是常数；是在区间上均匀分布的随机变量；噪声为正态分布的随机过程，并在以频率为中心的窄带上，具有均匀的功率谱密度。这样平方律检波器输入端的信噪比可用表示为 又设平方律检波器后，接有低通滤波器，其频率特性，根据图4.3(a)平方律检波器输出端，经低通滤波后有用信号功率是；根据图4.3(c)信号和噪声差拍而形成的功率是；根据图4.3(d)噪声功率是。得输出信噪比 当 时 当 时 从图4.11可以看到这样一个现象，当输入信噪比足够大时，则输出信噪比与输入信噪比成正比。但当输入信噪比足够小

22、时，则输出信噪比与输入信噪比的平方成正比。这个结果表明了非线性系统对弱信号的抑制效应。虽然我们在这里只举了一个平方律检波器的例子，但是，对检波器来说，这是共有的一种现象。习 题41 非线性系统的传输特性为 其中为正实常数。已知输入是一个具有均值为、方差为的平稳高斯噪声。试求 (1)输出随机信号的一维概率密度函数； (2)输出随机信号的均值和方差。 42 非线性系统的传输特性为 其中为正实常数。已知输入是一具有均值为0、方差为1的平稳高斯噪声。试求 (1)输出随机信号的一维概率密度函数；(2)输出随机信号的平均功率。43 单向线性检波器的传输特性为 设输入为零均值的平稳高斯随机信号，其自相关函数为。求检波器输出随机信号的均值和方差。 44 设有非线性系统如图所示。输入随机信号为高斯白噪声，其功率谱密度为。若电路本身热噪声忽略不计，且平方律检波器的输入阻抗为无穷大。试求输出随机信号的自相关函数和功率谱密度函数。 45 非线性系统的传输特性为已知输入服从标准正态分布。试采用特征函数法求输出随机信号的自相关函数。4.6过程 是正态的，具有零平均值的随机过程， 其自相关函数为 试证， 若 ，则： 4.7设非线性系统的传输特性。若输入随机信号是均值等于零，单位方差，相关系数为 的高斯平稳过程，求输出的一维和二维概率密度函数。4.8设非线性系统的传输特性。若输入随机信号是均值等于零，单位方差，