基本不等式知识点归纳

1、基本不等式知识点总结向量不等式：【注意】：r a、r a' r ar , , _ rb同向或有0rb反向或有r -，b不共线irir ir恳br|1aLrb|I |b| Iir |a| ir |a| r ir b b|iriririrur印河印回11a b|；|b|ir|a|iririrI a| |b| |a b|；ir|b|.（这些和实数集中类似）代数不等式：a,b同号或有0|ab| |a| |bk |a|绝对值不等式:a,b异号或有0|ab| |a| Ibk |a|IbI|b|a b|;a a2a3双向不等式：a b& a1b< aa?放缩不等式:【拓展】 a,b,c

2、a3（左边当ab< 0（> 0）时取得等号，右边当ab>0（< 0）时取得等号.）0, ab m /(a,n 1 ，0,0, m0,糖水的浓度问题）m 0,0,则b 则_ a12 /n12 nad 一;canab n b(x0),ex > x 11n 1(x R).函数 f (x) ax b(a、 x0）图象及性质(1)函数 f (x)axa、0图象如图:(2)函数 f (x)axa、0性质:值域:2Vab,)；单调递增区间：（b,J：,）；单调递减区间：©,自基本不等式知识点总结重要不等式.-.221、和积不等式：a,b R a b >2ab （

3、当且仅当a b时取到“ ”2 2 2 2【变形】： ab < （ab） 2< a-b-（当 a = b 时，（b） 2 a ab）2222【注意】：Tab< ab（a, b R ），ab < （a-b）2（a,b R）222、均值不等式：平方两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即平均 >算术平均 > 几何平均 > 调和平均”*.若x 0,则x - 2 （当且仅当x 1时取“二”）； x1若x 0,则x 12 （当且仅当x 1时取“二”）x若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （当且仅当a b时取"

4、二”） xxx*.若ab 0,则a P 2 （当且仅当a b时取“二”） b a（当且仅当a b时取" 二 ”）若ab 0,则a - 2即刍-2或-2b a b a b a3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3.33a b c > 3abc （ a b c 得式即可成立,a*不等式的变形在证明过程中或求最彳1时，有广泛应用，如：当 ab 0时，a2 b2 2ab同时 除以ab得b - 2或b 1 1 a oa b ab2*a,b,均为正数，a- 2abb2222a b _ a b 2ab 2ab八种变式：ab ； ab （）；（）4-:若 a>0,b>0

5、, a by有最小值2/p ；2222 a b %；2（a2 b2）；若 b>0,则 a 2a b ;a>0,b>0,则 ba11 24. 一 111112贝U （一）； 右 ab 0 ,贝U-2-2-（）。ababa2b22 ab上述八个不等式中等号成立的条件都是“ a b”。最值定理（积定和最小）x, y 0,由x y > 2Jxy ,若积xy P（定值），则当x y时和xy是积xy有最大值；s2.y|最小时，|x y|最小.（和定积最大）D x, y 0,由x y>2jxy,若和x y S（定值），则当x22【推广】：已知x, y R,则有（x y） （x

6、y）2xy.（1）若积xy是定值，则当|x y|最大时，|x y|最大；当|x(2)若和|x y |是定值，则当|xy|最大时，|xy|最小；当|x y|最小时，|xy|最大.1 1已知a,x,b, y R ,axi(ax by)(一 xby by1,则有则m尸的最小值为:> a b 2Jab (0" xfbya &.一十一1若天y 则x+沙和守的最小值为:A+y=(五十_/)(匕+2)=十1 + + 辽十后十2也石二(g +“芋 一1 - - + 2 怪 -鼻、唇,2 2百，Aab应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数(乘、除变量系数)例1.当0 x 4时，求

7、函的数y x(8 2x)最大值.5凑项(加、减常数项)：例2.已知x -,求函数f (x) 4x 4x2 7x 10调整分子：例 3.求函数f(x) (x1)的值域；x 14x5的最大值.变用公式：基本不等式ab jab有几个常用变形2a22.2,a b za b、2.一;一(1)不22易想到，应重视；一 ，一-：15例4.求函数y J2x 1 V5 2x(- x -)的最大值；一，一，、-,一 ，216连用公式：例 5.已知a b 0,求y a 的取小值；b(a b)1 .ln对数变换：例6.已知x -, y 1,且xy e,求t (2x)lny的最大值;三角变换：例 7.已知0 y<

8、 x ,且tanx 3tan y,求t x y的最大值；1 1常数代换(逆用条件)：例8.已知a 0,b 0,且a 2b 1,求t 的最小值. a b“单调性”补了 “基本不等式”的漏洞：平方和为定值若x2 y2 a (a为定值，a 0),可设x Jacos , y Ta sin-其中0w f(x,y) x y Ta sinVa cosJ2gsin()在0, - ,5 ,2 )上是增函数，444，15在，上是减函数；441 1._35. _7 g(x,y) xyasin2在0,-，一，一，一，2 )上是增函数，在2 444413 -57 , 一一，一,一，一上是减函数；444411 x y s

9、in cos m(x, y)-.令 t sin cosJ2asin(一)，其中x y xy. a sin cos4t J2, 1)U( 1,1)U(1,72.由 t2 1 2sin cos ,得 2sin cost2 1 ,从而2t2m(x,y) 2一 一2一在衣 1)U( 1,1)U(1,J2上是减函数.a(t9斜1) t和为定值若x y b ( b为定值，b 0),则y b x._ 2bbg(x,y) xy x bx在(，2上是增函数，在2,)上是减函数；_ 11 x y b 一 一一 一 b_m(x, y) y .当b 0时，在(，0),(0,上是减函数，在x y xy x bx2bbb

10、-,b),(b,)上是增函数；当b 0时，在(，b),(b,g上是减函数，在万,0),(0,)上是增函2222. bbn（x,y） x y 2x 2bx b在（，3上是减函数，在-,）上是增函数；积为定值c右xy c （ c为定值，c 0）,则y . x f（x,y） x y x &.当 c 0 时，在Jc,0）,（0,而上是减函数，在（，Jc,Jc,） x上是增函数；当c 0时，在（，0）,（0,）上是增函数； m(x, y)(,、.c,、c, n(x, y)x yxy1(x c）上是增函数；当(xc）.当c 0时，在Tc,0）,（0, yc上是减函数，在 x0时，在（，0）,（0,

11、）上是减函数;)2 2c 在 x（,yc）,（0, Tc上是减函数(、.c,0,、.c,）上是增函数.倒数和为定值升11右一一x y其中z f (x) x1 皿1 二，则一 d x2dx1 z,-yz,得x是增函数；当d g(x,y)是增函数；当dc一.成等差数列且均不为零，可设公差为y 1 d2z2.d 0时，在（,y .1 dz 1 dz1、，1 c,rc 1、，1-),(二,0上是减函数，在0,-),(-, d dd d）上1、 ，11、 ， 1、。时，在（，一）,（一,0上是增函数，在0,一）,（一,）上减函数；d dd d2d1111xy FT-当d 0时，在（，一）,（ 一,0上是减函数，在0,-）,（-,