2022年《数学归纳法及其应用》教案

1、学习必备欢迎下载数学归纳法及其应用举例教学设计平遥中学史宏刚【教学目标 】知识与技能 ：1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想过程与方法 : 1. 创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法; 3. 通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感与价值观 : 1. 通过对数学归纳法原

2、理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2. 通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3. 通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】数学归纳法中两个条件的归纳，提炼和理解, 及数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】 师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】 多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，引入课题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习

3、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载情境一、 “摸球实验”这盒子中装的不是糖，而是乒乓球，下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色，由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色。问：这个猜想对吗？答：不对问：怎样判断这个猜想是对的？答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看。问：为什么可以一个一个摸出来看？答：因为是有限的。问：如果是无限的呢？答：不能采用一个一个摸出来看。再看一个数学问题：情境二：已知na22)55(nn（*nn） ，(1)分别求1a；2a；3a；4a （由学生

4、齐答1a；2a；3a；4a的值，老师播放幻灯片）(2)由此猜想出na的值？这个猜想正确吗？检验：451,251aa所以这个猜想是错的。由上面两个例子看出：由几个特殊的事例得出一般的结论有时是对的，有时是错的。由此引出归纳法的定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法 : 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；不完全归纳法 : 根据事物的部分 (而不是全部 )特例得出一般结论的推理方法.下面看一个比较熟悉的数学问题：等差数列的通项公式：1(1)naand （由学生齐答，老师在黑板上书写）回顾等差数列na通项公式推导过程：21

5、321431123(1)naadaadadaadadaand猜想（学生齐答， 老师放幻灯）问：这个猜想对吗？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载学生答：不一定对但我们已把它当成一个公式在用，说明这个猜想是对的，怎样证明？法一：一个一个的检验，由于n 是无限的，这个方法不可行，除非我们把有限的生命投入到无限的验算中去。问：有没有

6、更好的方法呢？从而引出课题：数学归纳法。（放幻灯片）二、师生互动，探究知识先看一个大家比较熟悉的游戏：演示多米诺骨牌游戏视频. 我们把刚才的视频简化一下，得到这样的一个实验（老师弹出事先准备好的简化的多米诺骨牌游戏的动画 , 并再次演示一遍）提问：满足什么条件能使所有的骨牌全部倒下？（把学生按前后四个同学分组，每组选一个代表发言，讨论时间大约3 分钟左右）学生代表发言（老师在黑板上书写） ：条件 1：第一块要倒下 ; 条件 2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下问：其它组还有其它意见吗？（给学生提出的条件老师进行归纳整理）问：是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？给出推理（播放幻灯片）

7、：第 1 块倒下第 2 块倒下第 3 块倒下第 n 块倒下所有的骨牌全部倒下。对多米诺骨牌游戏的原理进行推广：因为骨牌是 1 块，2 块，, 无数块 , 而我们要证的等差数列的通项公式也是要证明1,2,nn成立 , 所以可将多米诺骨牌游戏的原理类比到与正整数有关的数学命题上. 由条件 1 由条件 2 由条件 2 由条件 2 由条件 2 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 -

8、- - - - - - - -学习必备欢迎下载多米诺骨牌游戏的原理与正整数有关的数学命题(1) 第一块要倒下(1)1n时命题成立(2) 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下 ; (2) 假 设*(1,)nk kkn成 立 ， 则1nk时结论也成立。根据 (1) 和(2), 可知无论多少块骨牌都能全部倒下根据(1) 和(2), 可知对任意的正整数n，命题都成立。（全部由学生总结提炼，老师播放幻灯片）进一步总结数学归纳法的两个步骤：(1)1n时命题成立；(2) 假设*(1,)nk kkn成立，则1nk时结论也成立。我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法。下面解释一下用数学归纳法来

9、证题是可行的，有效的：1. 推理过程：1n成立2n成立3n成立对所有的正整数 n 都成立。2. 假设 nk 成立的依据根据第 1 步，1n成立，取1k，这时假设1nk成立就不是假设而是一个已经成立的事实了，再根据第 2 步，由1nk成立就可推出11 12nk成立，再取2k，这时假设2nk成立就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去，每一个假设nk 成立都是有依据的。所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和可靠的，大家可以放心大胆使用。三、通过实例，运用知识例：用数学归纳法证明等差数列通项公式dnaan)1(1(师生共同完成 , 老师在黑板上书写并强调步骤及注意点)证明： (1) 当 n1

10、 时, 左=1a，右=11(1 1)ada，所以左 =右，即 n=1时结论成立；根据第 1步根据第 2 步根据第 2 步根据第 2 步根据第 2 步精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2) 假设当*(1,)nk kkn时结论成立 , 即dkaak)1(1, 则1nk时，daakk 1=dka1)1(1, 即 nk1 时等式也

11、成立综合(1),(2), 对一切的*nn，dnaan) 1(1成立数学归纳法原理的强调 ( 学生表述 , 教师补正 )：（1） （递推奠基）：验证1n时命题成立；（2） （递推根据）：假设*(1,)nk kkn时结论正确； 去证明当1nk时结论也正确. （一定要用到假设）数学归纳法的本质： 无穷的归纳 有限的演绎（递推关系）四、反馈练习 , 巩固知识用数学归纳法证明：多边形的内角和为(2) 180nan（学生独立完成，通过投影仪指出学生在书写过程中的不足，最后老师播放幻灯片写出规范的解答）通过这个练习，我们发现数学归纳法的第一步不一定是从1n开始的，所以对数学归纳法的两步略作改动：(1)1n时

12、命题成立；(2) 假设*(1,)nk kkn成立，则1nk时结论也成立。改为：(1) 验证*000(1,)nn nnn时命题成立；(2) 假设*0(,)nk kn kn成立，则1nk时结论也成立。五、总结归纳，加深理解（先由学生总结，最后老师再总结，最后播放幻灯片）1、两个方法：归纳法和数学归纳法；2、 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

13、- - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载归纳法的本质： 特殊到一般归纳法的作用： 发现规律归纳法的缺陷： 具有不可靠性3、数学归纳法基本思想： 递推的思想适用范围： 与正整数有关的数学命题两个步骤： (1)验证*000(1,)nnnnn时命题成立；（递推的基础 ）(2) 假设*0(,)nk knkn成立，则1nk时接结论也成立。（递推的依据 ）两个条件缺一不可，相互依存附数学归纳法打油诗一首：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。数学归纳法的应用是非常广泛的，用数学归纳法证题的关键是如何由nk 成立去证明1nk成立，有哪些方法和技巧，且听下回分解。六、布置作业 , 课外延伸122. 13n nn1.