2022年《数学分析》第三章函数极限

1、第三章函数极限（计划课时：1 4 时） p42681 函数极限概念（ 4 时 ）一、 x时函数的极限：1. 以x时xxf1)(和arctgxxg)(为例引入 . 2. 介绍符号 : x,x,x的意义 ,)(limxf的直观意义 . 3. 函数极限的“m”定义 (axfx)(lim,axfx)(lim,axfx)(lim). 4. 几何意义 : 介绍邻域mxxu)(,mxxu)(, mxxu)(其中m为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5.函数在与,极限的关系 : th1 .)()()(affaf例1验证.01limxx证明格式：0（不妨设0） （不妨设x或x，x）要使axf)(化简附加

2、条件逐次放大不等式，只须x（x）或x（x） ，x（x）. 于是0,m0，当xm（或xm，xm）时，有-. 根据函数极限的 “m” 定义知xlim = （或xlim = ，xlim = ）. 例 2验证： 1）2lim arctgxx； 2）2lim arctgxx. 例 3验证.222lim22xxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -

3、证.42224242222423222xxxxxxxxxxxx6.的正值性 , 任意性与确定性, 以小为贵 . 7. m的存在性与非唯一性,对m只要求存在 ,在乎其大的一面.二0 xx时函数)(xf的极限：1. 由.2, 0,2, 12)(xxxxf考虑2x时的极限引入. 2. 函数极限的“”定义 . 3. 几何意义 . 4. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 4验证.lim0ccxx例5验证.lim00 xxxx例6验证.512372933lim2233xxxxxx证由,3x512)3()12()3()3(5123729332223xxxxxxxxx= .12395125395512123

4、2xxxxxxxx为使,11635615595xxx需有; 13x为使, 132556212xxx需有. 23x于是 , 倘限制130 x, 就有512372933223xxxxx12395xxx.3111311xx证明格式：0（不妨设0） （不妨设0 xx或0 xx，0 xx,则x）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -要使axf)(化简

5、附加条件逐次放大不等式，只须0 xx（0 xx）或00 xx（00 xx） ，xx00（00 xx）. 于 是0,0， 当00 xx（ 或00 xx，xx00）时，有 : -. 根据函数极限的 “” 定义知0limxx = （或00limxx = ，00limxx = ）.例 7验证).1(,11lim02020 xxxxx例 8验证.sinsinlim00 xxxx( 类似有).coscoslim00 xxxx5.的正值性 , 任意性与确定性, 以小为贵 . 6. 的存在性与非唯一性,对只要求存在 ,在乎其小的一面. 7. axfxx)(lim0存在并不意味着)(xf在0 x有定义 ,即就是

6、有定义也并不意味着)(0 xfa(如例 6). 例 9 证明1lim0 xxa)1(a.三. 单侧极限 : 1. 定义：单侧极限的定义及记法. 2. 几何意义 : 介绍半邻域,0),(axxa),(a,(aa).,(),(),(),(00aaaaaa然后介绍)(lim0 xfxx等的几何意义. 例 9 验证.01lim21xx证 考虑使2221x的.3. 单侧极限与双侧极限的关系: th2 .)0()0()(lim000axfxfaxfxx例 10证明 : 极限xxsgnlim0不存在 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共

7、10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -例11设函数)(xf在点0 x的某邻域内单调. 若)(lim0 xfxx存在 , 则有)(lim0 xfxx=).(0 xfex 1p47 17. 2 函数极限的性质（ 2 时 ）我们引进了六种极限: ),(lim),(lim),(limxfxfxfxxx)(lim0 xfxx, )0(),0(00 xfxf.以下以极限)(lim0 xfxx为例讨论性质. 均给出证明或简证. 一. 函数极限的性质 :以下

8、性质均以定理形式给出. 1.唯一性 : 2.局部有界性 : 3.局部保号性 : 4.单调性 ( 不等式性质):th 4 若)(lim0 xfxx和)(lim0 xgxx都存在 , 且存在点0 x的空心邻域),(00 x, 使),(00 xx都有),()(xgxf)(lim0 xfxx).(lim0 xgxx证设)(lim0 xfxx=.)(lim,0bxgaxx( 现证对,0有.2ba) .2,)()(),(,0,000babxgxfaxx註 :若在th 4 的条件中 , 改“)()(xgxf”为“)()(xgxf”,未必就有.ba以0, 1)(,1)(02xxgxxf举例说明 . 5.迫敛性

9、 ( 双逼原理): 例 1 求xxx1lim0. 6.四则运算性质: ( 只证“ +”和“”)ex 1p51 5 7.二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -;coscoslim,sinsinlim,lim,lim0000000 xxxxxxccxxxxxxxx.2lim,01limarctgxxx

10、x（ 注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 1).1(lim4xtgxx( 利用极限224sinsinlim4xx和.22coslim4xx) 例 2)1(.1311lim31xxx例 3.523735lim233xxxxx註: 关于x的有理分式当x时的极限 . 例 4.11lim1071xxx 利用公式).1)(1(121aaaaannn 例 5 .2122lim221xxxxx例 6 .53132lim22xxxx例 7 .23)102sin(lim254xxxxx例 8 .11lim31x

11、xx例 9 .1111lim30 xxx例10已知.316lim23bxaxx求a和.b精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -ex 1p51 1 4. 补充题 : 已知.74lim222bxbaxxx求a和.b(.320,316ba) 3 函数极限存在的条件（ 2 时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限)(lim0 xfxx为

12、例 . 一、heine 归并原则 函数极限与数列极限的关系：th 1 设函数f在点0 x的某空心邻域)(00 x内有定义 .则极限)(lim0 xfxx存在对任何)(00 xxn且)(lim,0nnnxfxx都存在且相等 . ( 证 ) heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限 ,还可加强为nx单调趋于0 x. 参阅 1p70. 例 1 证明函数极限的双逼原理. 例 2证明.01sinlim0 xx例 3 证明xx1sinlim0不存在 . th 2 设函数)(xf在点0 x的某空心右邻域)(0 xu有定义 .则axfxx)(lim0对任

13、何以0 x为极限的递减数列nx)(0 xu,有axfnn)(lim. th 3 设函数)(xf为定义在)(0 xu上的单调有界函数.则)(lim0 xfxx存在 . 二、cauchy准则: th3 (cauchy 准则 )设函数)(xf在点0 x的某空心邻域),(00 x内有定义 .则)(lim0 xfxx存在xx ,),(0, 0),(00 x,.)()(xfxf证)( 利用 heine 归并原则) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - -

14、 - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -cauchy 准则的否定 : )(lim0 xfxx不存在的充要条件. 例 4 用 cauchy 准则证明极限xx1sinlim0不存在 . 证取.21,1nxnx例5设在),a上函数)(xf . 则极限)(limxfx存在)(xf在 ),a上有界. ( 简证 , 留为作业). ex 1p55 14. 4 两个重要极限（ 2 时 ）一.1sinlim0 xxx（证）（同理有,1sinlim0 xxx.11sinlimnnn）例 1.sinlimxxx例 220cos1limxxx. 例 3.3

15、sin5sinlim0 xxx例 4.arcsinlim0 xxx例 5 证明极限xxxsinlim0不存在 . 二.11limexxx.)1(lim10exxx证对, 1nxn有,1111111nxn,11111111nxnnxn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -例 6 ,1limxxxk特别当21, 1 kk等. 例 7 .)21(

16、lim10 xxx例 8 .)sin31(limcsc0 xxx例 9nnnn2111limex 1p58 1 4. 5 无穷小量与无穷大量阶的比较（2 时 ）一、无穷小量 :1. 定义 . 记法 . 2.无穷小的性质:性质 1 ( 无穷小的和差积) 性质 2 (无穷小与有界量的积) 例 1).53sin(1lim232nnnnn3. 无穷小与极限的关系: th 1 axfaxfxx)()(lim0.,)1(0 xx( 证 ) 二、 无穷小的阶 : 设0 xx时).1()(),1()(xgxf1高阶（或低阶）无穷小：2同阶无穷小：3等价 :th 2 ( 等价关系的传递性). 等价无穷小在极限计

17、算中的应用: th 3( 等价无穷小替换法则) . 几组常用等价无穷小: 设.0 x以x作为基本无穷小, 有等价关系 :当0 x时,xsinx, tgxx, 1xax, )1ln(xx, xarcsinx, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -arctgxx, xcos122x, 11nxnx, nx)1(nx. 再加上n时 (或x时)n

18、的 (或x的)有理分式 (分子次数小于分母次数)的等价无穷小 .其中有些等价关系的证明以后陆续进行. 例 3 求xarctgxx4sinlim0. 例 4.sinsinlim30 xxtgxx三.无穷大量 :1.定义 : 例 5 验证201limxx. 例 6 验证3lim3xxx. 2.性质 : 性质 1 同号无穷大的和是无穷大. 性质 2 无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质 3 与无界量的关系. 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果. 3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小 的倒数是无穷大. 四、曲线的渐近线：1.定义：2.结论：若)(lim0 xfxx,则直线0 xx为曲线)(xfy的垂直渐近线. 若cxfx)(lim,则直线cy为曲线)(xfy的水平渐近线. 若,)(limaxxfxbaxxfx)(lim, 则 直 线baxy为 曲 线)(xfy的斜渐近线 . 注：0 xx可换为0 xx,0 xx;x可换为x,x. 例 7 求曲线32)(23xxxxf的渐近线 . 精品学习资料 可选择p d f -