2022年《常微分方程》课程试题

1、优秀学习资料欢迎下载中国海洋大学2008-2009 学年第一学期期末考试试卷学院常微分方程课程试题(a 卷) 共 页第 1 页考试说明 ：本课程为闭卷考试，可携带计算器、 圆规、 直尺、 半圆仪文具， 满分为：100 分。一、选择题（本题共10 分）1、微分方程),(yxfdxdy的 ( )称之为微分方程的积分曲线(a) 斜率),(yxf； (b)解曲线)x(y；(c)y的微分dxyxf),(； (d) (a)(b)(c)都不对2、方程0),(),(dyyxndxyxm有只与y有关的积分因子的充要条件为下面哪一个 ( )(a)()(1yxnymn； (b)()(1yxnymm； (c)()(1

2、yxnymn； (d)()(yxnymmn. 3、对于一阶微分方程),(yxfdxdy，r=axx0，byy0作皮卡序列xxnnryxdxxxfyxyx0),( ,)(,()()(001000,决定)(xn一致收敛的条件是( ) (a),(yxf在 r上连续； (b),(yxf在 r上关于 y 满足李普希茨条件；题号一二三四五总分得分优选专业年级信息与计算科学06级学号姓名授课教师高存臣座号- - - - -装装-订订-线线- - - - - - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - -

3、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载(c),(yxf在 r上关于 x 满足李普希茨条件；(d),(yxf在 r上关于 y 连续4、方程022244xdtxddtxd的通解为（）. （a）ttetccetccx24321)()(；（b）ttececx221；（c）ttccttccxsin)(cos)(4321；(d)tctcxsincos21. 5、给定常系数线性微分方程组ax x，如果a 的特征值的实部都是负的，则它的任一解当t时，都趋于

4、（） (a) 零；(b) 一个固定的常数；(c) 无穷大；(d)保持有界二、判断题（本题共10 分）1、形式为), ,()()(nnyyyxfy的方程称为n 阶常微分方程( )2、方程)(222111cybxacybxafdxdy可化为变量分离方程( )3、若函数),(yxf在区间axxr0:，byy0上关y偏导数),(yxfy连续，则),(yxf在 r上必关于y满足李普希茨条件.( )4、若函数)(,),(1txtxn在区间bta上线性相关，则在bta上它们的伏朗斯基行列式恒等于零（）5、方程组x)t(a x一定存在n个线性无关的解( ) 三、填空题（本题共10 分）1、如果函数)(xy代入

5、方程0), ,()(nyyyxf后，能使它变为恒等式( )，则称 ( )为方程0), ,()( nyyyxf的解2、形如 ( )的方程称为齐次方程，其中（）函数3、方程xydxdy2的解的存在且唯一的区域为（）. 4、方程033xdtxd的通解为（） 5、x)t (a x的 （） 称为x)t(a x的一个基本解组.显然，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - -

6、- - - -优秀学习资料欢迎下载x)t(a x具有（）个不同的基本解组四、简答题（本题共40 分）1、求方程0) 1()2(3dyxdxyx的积分因子，并求解方程2、已知),(yxf在)0,0(,:00babyyaxxr上连续，且关于y 满足李普希兹条件又,3 ,2 ,1,)(,(0,)(0100ndttytfynyxyxxnn当hxx0时)(xyn连续求证：)(xyn在hxx0上一致收敛3、求方程xyyy2cos2 的通解 . 4、设)(,),(),(121txtxtxn是方程)()(tfxtax的1n个线性无关解， 其中，0)(tf，求证方程组的任何解)(tx恒可表示成)()()()(1

7、12211txatxatxatxnn其中121na,a,a是常数，且满足关系式1121naaa反之，满足式的函数也必是方程组的解五、综合题（本题共30 分）1火车沿水平的道路运动，火车的重量是p，机车的牵引力是f，运动时的阻力bva，其中ba,是常数，而v是火车的速度；s 是走过的路程试确定火车的运动规律，设0t时，0s，0v 2.求方程组)()(tfxtax的解)t(，其中0)0(，6116100010a，tetf00)(精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 页第 页精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -