正多边形的有关计算1

1、第四单元 正多边形和圆一、 教法建议抛砖引玉本单元主要讲授正多边形和圆，正多边形的有关计算，画正多边形，圆周长、弧长，圆、扇形、弓形的面积，圆柱和圆锥的侧面展开图等内容，在教学时，在已学过的等边三角形、正方形的基础上，首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形定义和圆的有关知识，推导出正多边形与圆的关系的两个定理。在教学中，抓住“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心距，把正n边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的边长、半径、边心距、中心角的有关计算转化为解直角三角形的问题，进而解决了正多边形周长和面积的

2、计算。应用“把圆分成n（n3）等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形”这个定理，把正多边形的画图转变为等分圆的问题，应用圆的有关知识容易等分一个圆，从而解决了正多边形的画图问题，圆的有关计算，在教学时，要在小学学过的圆周长、圆面积和扇形面积计算公式的基础上，推导出弧长的计算公式，进而应用这些公式计算弓形等一些简单组合图形的周长和面积。由于圆锥侧面展开图是扇形，也可类比解决有关圆锥、圆柱表面积的有关计算，有机地使理论与实践相结合，解决一些简单的实际问题。本单元是初中几何最后一部分内容，本单元的学习要用到前面学过的许多知识，同时随着知识的丰富，能力的提高，对学生综合运用知识解决问

3、题的要求也不断提高了，不仅需要灵活地运用平面几何的知识，有时还需要综合运用代数或其他学科的知识。总之，在教学中，要注意数学思维能力的培养，注重教学方法的锤炼，以逐步适应在三维空间里思考问题，推进素质教育，不断提高教学素养。指点迷津正多边形的有关计算方法、图及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。如何将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题，其关键是理解正多边形的概念，作正多边形的边心距和半径或圆外切多边形与圆相切的切点与圆心相连，构造出直角三角形，借助解直角三角形的方法便可水到渠成，弓形、扇形、圆有关面积计算，它们之间联系密切，只要抓住圆面积计算，主要矛盾就解决了。当然，弧

4、长、圆周长与此类似。有关圆柱、圆锥的计算问题，只要展开空间想象翅膀，结合公式，解题思路即可畅通。对正n边形有关定理证明，一般来说对“n”的接受理解不习惯，总有一种不踏实的感觉，思维受具体图形的局限，为此，通过具体实例，使认识从具体抽象到一般，从部分到整体，从量到质变，实现认识上的飞跃，充分认识证明方法的通用性，以提高思维能力。二、学海导航思维基础知识是思维的基础，特别是基础知识，它有着广泛的应用，因而掌握它，就能使思路广。请回答下列问题。1 主要概念及性法：（1） 的多边形叫做正多边形。（2）把圆周n（n3）等份，依次连结各点得到圆的 ；分别过各分点作圆的切线得到圆的 。（3）任何一个正多边形

5、都有一个 圆和 圆，这两个圆是 圆。（4） 的正多边形都相似；正多边形都是 对称图形；偶数边的正多边形还是 对称图形。2 主要计算公式：（1）正n边形的内角为 ，每个内角为 ，每个外角为 ，每个中心角为 。（2）正n边形各边相等，；边心距rn= ，周长pn= ，面积Sn= 。（3）圆周长C= ，圆面积S= = ；（4）弧长 ；（5）扇形面积S= = ；（6）S弓形=S扇形±S，S环形=S外-S内。注意：一是，要熟记；二是掌握求阴影部分的面积的几种主要方法，即面积割补法、移动拼凑法、面积变形法、构造方程共4种方法。3 立体图形：（1）圆柱的定义 ；圆锥的定义是 。（2）圆柱的侧面展开图

6、是 。如图几7-4-1，S圆柱侧= = 。（3）圆锥的侧成展开图是 形，如图几7-4-2，S圆锥侧= ，圆锥高h= ，圆锥侧在展开图的圆心角= 。以上3个侧面是“正多边形和圆”基础知识的再现，也是对基础知识的检验，应结合实例，动手动脑，加深理解，进一步深化，熟练掌握，它是思路的源泉，思维的火花。学法指要图几7-4-1例1 如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是O的切线，BC/OA，连结AC，则阴影部分面积等于 。【思考】 图几7-4-2 图几7-4-3（1） 怎样把不规则的图形转化为规则图形呢？（2） 你知道扇形面积公式吗？【思路分析】 本例告知切点，通常“圆心切点要相

7、连”，即连结OB，又连OC，便出现圆心角BOC，根据BC/OA，容易发现ABC与OBC同底共高，进而可知，SABC=SOBC，这样可利用等积变换，把不规则的几何图形转化为有规则的几何图形扇形OBC，进而求出圆心角BOC的度数，便可顺利找到思路。解法1：易求BOC60º。 .解法2：BOC=60º. SO=.即.例2 如图7-4-4，AB与A'B'的圆心都是O，AA=d，AB的长是l，A'B'的长是l，求证：（1）O=（2）.（人教课本几何第三册P212第11题）【思考】（1） 你知道弧长的计算方法吗？扇形面积公式是什么？有几种表达形式？请思考

8、。（2） 本例你考虑用数形结合的方法能行得通吗？（3） 如何架起“已知”与“结论”之间的桥梁？是用分析法还是综合法？还是二者结合？图几7-4-4【思路分析】 （1）本例告知弧长l、l'及AA'=d，引起联想弧长公式，于是可得 ， 设O=nº）。此时再观察结论，可发现有“l-l'”形式出现，这时可萌生两式相减的想法，不妨一试. 解：即 （2）由题意可知， 由结论可知， 对照、两式可立即发现，必须且仅须 即 亦即 此时，可发现由两式相除，即可证明此等式成立。例1告知我们转化法可把不规则图形转化为规则图形，把陌生的图形转化为熟悉的图形，把隐蔽转化为明显的，显露出转化

9、法之巧、之妙，要求一定要掌握这种方法，并且要娴熟，才能应用时得心应手，例2从已知入手，又从未知迎头进取，从中发现矛盾所在，解决矛盾的方法也明显暴露，如（1）问，告诉我们两式相减，（2）问告诉我们两式相除，拦路虎被扫除，思路很顺畅，使我们品尝到分析法与综合法配合使用，相辅相成，相得益彰。思维体操 例1 如图几7-4-5用周长为24米的材料围成一个底角是60º的等腰梯形，设梯形上底为x米，面积为y米2。（1） 写出y与x的函数关系式。（2） 求当x为多少时，梯形面积最大？最大面积是多少？（3） 当梯形面积最大时，将梯形以下底所在的直线为轴旋转一周，求旋转体的表面积。图几7-4-5【思考】

10、（1） 解决梯形问题通常如何添设辅助线？有几种添设方法？（2） 你知道圆柱、圆锥侧面积的计算方法吗？（3） 以梯形下底所在直线为轴旋转一周，所得旋转体形状如何？【思路分析1】遇到等腰梯形通常是作等高（即作出梯形的两条高）将问题转化为直角三角形求解。如本例，作出梯形的两条高CE、DF，便构造出两个全等的三角形。解法1：依题意可设BE=AF=m，则AD=BC=2m，于是有 ， ， 即 （2）由（1）可知 当x=3时，梯形面积最大，梯形的最大面积是.（4） 当梯形面积最大时，可求得CD=x=3，AD=BC=6，AF=BE=3，DF=CE=3.图几7-4-6如图几7-4-6，以梯形下底所在直线为轴旋转

11、一周，可通过空间思维进行想象，旋转后所得到的立体图形为两个表面积相等的圆锥和一个圆柱，应用圆锥、圆柱侧面积公式可得【思路分析2】 遇到特殊梯形（如本例），延长两腰必相交，构造等边三角形，以找到畅通的大道。解法2： （1）如图几7-47，延长BC、AD相交于点E，依题意易证：ABE、DCE均是等边三角形，则CD=DE=CE=x，仿原思路分析可求得.又知（a为正三角形之边长）。图几7-4-7故 S梯形ABCD=S正ABE-S正CDE，即 （2）同原思路分析.（3）当CD=x-3时，则可求AE=AB=9. S旋转体表面积=S圆锥ABE侧-S圆锥CDE侧+S柱侧 【思路分析3】 遇到梯形问题，平移对角

12、线，构造平行四边形与三角形，也是解决梯形问题常用方法：解法3：（1）由原题图过C作CE/AB且交AB于点E，则易证：BCE为等边三角形，四边形AECD为 ，仿原思路分析可求得图几7-4-8 ， AECD的高为 = =（2）、（3）解同前。由上可知：梯形添设辅助线的方法可归纳为这样歌诀：“作等高，延两腰，必相交；平移腰，平移对角线，计算较方便”，但是作等高是最基础又常见的通俗方法，其他的思路分析也要借助它的一臂之力，才能峰回路转，曲径通幽。在解题中，既要善于总结规律，又要勤奋多究，这样不仅可拓宽视野，又可加强知识的纵横联系，使数学素养在潜移默化中得到提高，这样教学与学自然沿着素质教育方向前进。例

13、2 如图几7-4-9，在半径为R的O中，AB是内切正n边形的边长，AC是正2n边形的边长，设AB=an，AC=a2n，（1） 求证：（2） 当R=1时，求圆的24边形的边长a24.图几7-4-9【思考】（1） 解决正n边形有关证明与计算，通常转化为什么问题解决？如何解决？（2） 正n边形的边长、边心距、半径之间的关系如何？请用数学式子表示.【思路分析】 （1）正n边形的证明问题，通常构造直角三角形，借助勾股定理，便可找到思路.证明： 即 （2）这一问多数学生欲想一步求a24，这是不可能的。此时，必须改变思维方式，创造出新的“桥梁”a12的值，才能发现“新大陆”，在找到桥梁后，抓住an和a2n的

14、关系，再熟记a6=R，利用（1）的结论，便顺利求得结果。由于a6=R， 当R=1时， =三、智能显示心中有数正多边形这一单元是几何最后一部分内容，它与数学各个分支有着密切的联系，在考查本单元知识的同时，并注重考查数学的思维方法，常与方程、方程组、解直角三角形相结合，丰富的想象力及空间思维能力也常作为考查的对象，必须在这些方面下功夫。动脑动手1（1）若正六边形的面积是cm2，则这个正六边形的边长是 。（2）半径为6的圆中，150º的圆心角所对弧长是 。（3）如图几7-4-10，已知P、Q分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，AB是直径，则阴影部分的面积等于 。图几7-4-10（4）

15、如图几7-4-11，一个扇形的半径为30cm，圆心角为120º，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ，锥角为 。图几7-4-12（5）一个正多边形的边长为a，面积为S，则它的边心距是 。2（1）边长为a的正三角形的外接圆面积等于（ ） A B. C. D. （2）如图几7-4-12，以正三角形的三边为弦作弧交于ABC的外心O，则所得菊形的面积为（ ） A两个三角形面积减去3个弓形的面积 B一个三角形面积减去3个弓形的面积 C3个弓形面积减去一个三角形的面积 D3个弓形面积减去两个三角形的面积（3）下列命题中假命题是（ ）图几7-4-12A 正五边形的对角线都相等B 正多边形的

16、外角等于中心角C 正三角形绕它的中心每旋转120º，就能和原三角形重合一次D 一个正方形绕它的中心旋转360º，最多能和原正方形重合3次 （4）下面命题中，i） 正多边形既有一个外接圆，又有一个内切圆，且这两个圆一定为同心圆；ii） 边数相等的正多边形都是相似多边形；iii） 有奇数条边的正多边形是中心对称图形；iv） 有偶数条边的正多边形是对称图形，但不是中心对称图形。正确的有（ ） A1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（5）在下列图形中i） 各角相等的圆内接多边形；ii） 各边相等的圆内接多边形；iii） 各角相等的圆外切多边形；iv） 各边相等的圆外切多边形，其

17、中必为正多边形的有（ ）A1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个创新园地 1圆柱的侧面展开在一个平面上形成一个矩形，此矩形的一边较另一边长1 dm，此圆柱的侧面积为20m2，求其全面积。图几7-4-132如图献策7-4-13，PA、PB切O于A、B两点，O1分别切PA、PB、O于D、E、C，AOB=120º，试求：（1） ACB长；（2） 图中阴影部分面积。 3如图7-4-14，圆的半径为R，分别以圆周上3个等分点为圆心，以R为半径的圆弧，求阴影部分的面积。 4如图几7-4-15，两根圆柱形钢件，它们的半径分别为6 dm、2 dm，现用一根绳子把它们捆紧，问至少需要多长的绳子？（不

18、计绳子结头捆扎部分） 图几7-4-14 图几7-4-15四、同步题库一、填空题1正六边形的内切圆和外接圆的直径的比是 。2正n边形的一个内角与正（n+2）边形的一个内角之和为255º，那么 n= 。3同圆的内接正n边形与外切正n边形边长的比是 。4半径为R、中心角300º的扇形的周长是 。5一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，以它的斜边所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，则这个几何体的表面积等于 。6已知圆锥的底面半径是6 cm，母线长为10 cm，则它的侧面积为 。7一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，那么这个圆柱的母l与这个圆柱的底面半径r 之间

19、的函数关系式是 。8已知正六边形边长为a，则它的内接圆面积 。9正八边形有 条对称轴。10正三角形、正四边形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为S3、S4、S6，用大于号连接S3、S4、S6，应为 。二、选择题11若一个圆的周长与正方形的周长相等，则圆面积与正方形面积之比为（ ） A B. C. 4 D. 12下列多边形中，是正多边形的是（ ） A菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形13下列说法正确的是（ ） A各边都相等的多边形是正多边形 B不是正多边形的多边形，它的各边都不相等 C圆的外切多边形中，各边相等的多边形是正多边形 D对角线相等的菱形是正多边形14边长为2a的正方

20、形的外接圆的周长和内切圆的周长分别是（ ） A， B. ， C， D. ，15圆的周长是4，则30º的圆周角所对的弧长是（ ） A B. C. D. 16如图几7-4-16下列4条棱不与棱BB1在同一平面内的是（ ） AAA1 B. AB C. CC1 D.D1C117如图几7-4-16，与平面AD1垂直的面有（ ）图几7-4-16 A4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个18若矩形的两邻边不等，分别以直线AB、BC为轴旋转一周得到两个圆柱，观察这两个圆柱的底面和侧面，则有（ ） AS底、S侧都相等 B. S底相等、S侧不相等 CS底不等，S侧相等 D. S底、S侧都不相等19两个

21、正方体的棱长分别为a和b，若第三个正方体的表面积等于前两个正方体表面积的和，则第三个正方体的棱长为（ ） Aa+b B . C D. 20如图几7-4-17，AB:BC:CD=1:2:3，若CPD=80º，那么劣弧AD的长是圆周长的（ ）图几7-4-17 A B. C. D. 三、计算题21如图几7-4-18，两圆相交于A、B两点，圆心分为O1和O2，如果AB=a，且它在O1内恰好是一个内接正三角形的一边，而在O2中，AB恰好是内接正方形的一边，试求：（1）O1和O2的半径；（2）O1O2的长。22如图几7-4-19，设计院设计边长为1 km的正方形生活小区，为了美化环境，开辟四角（

22、均为全等的等腰直角三角形）建立绿化区，使得余下的部分是正八边形，试求绿化区的面积，并计算绿化区的面积占生活小区总面积的百分数（精确到1%）。图几7-4-1823如图几7-4-20，AB、CD都是以O为圆心的弧，AB的长为，CD长为，BD=2，求O的度数及OA的长.24如图几7-4-21，O1和O2相交于A、B两点，O1A=6 cm，O2A=cm，O1O2=cm，求AmB及AnB的度数。 图几7-4-19 图几7-4-20 图几7-4-2125一个扇形半径为30cm，圆心角为120º，用它做成一个圆锥侧面，求圆锥的底面半径和锥角。26如图几7-4-22，某房地产公司要在一块地（图中矩形

23、ABCD）上，规则建造一个小区公园（矩形GHCK），为了使文物保护区AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区.已知AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m，试求：图几7-4-22（1） 当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，公园的面积。（2） 当G在EF上什么位置时，公园面积最大，并求出最大值。27如图几7-4-23，四边形ABCD是矩形，AB长2b，BC为b以B为圆心、2b为半径画弧交CD于E，以C为圆心、b为半径画弧交CD于F，求阴影部分的周长。28如图几7-2-24，要电镀螺杆，如果每平方米需用锌0.11kg，电镀10 000个这样的螺杆需要锌多少kg？（精确

24、到0.1kg）29如图几7-4-25，点B的坐标为（0，-2），点A在x轴正半轴上，将RtAOB绕y轴旋转一周，得到一个圆锥，试求： 图几7-4-23 图几7-4-24（1） 当圆锥的侧面积为时，AB所在直线的函数解析式；（2） 若已知OA的长度为a，按这个圆锥的形状造一个容器，并在母线AB上刻出把这个容器的容积两等分的刻度点C，试用含a的代数式去表示BC的长度l。（圆锥体积公式：，其中r和h分别是圆锥的底面半径和高）30如图几7-4-26，O1和O1外切于点C，AB切O1于点A，切O2于点B，O2O1的延长线交O1于D，并与BA的延长线交于点P。（1） 求证：；（2） 如果AB=cm，PC=

25、6 cm，求图半阴影部分的面积。（不取近似值） 图几7-4-25 图7-4-26参考答案动脑动手1（1）4 cm；（2）5；（3）；（4）10，38º56'；（5） 2. （1）D；（2）C；（3）D；（4）B；（5）B创新园地1设圆柱的底面半径为R，则侧面展开图矩形的两边分别为及-1或及，依题意有 .分别解方程，并取舍，得 或 2（1）ACB长=2；（2）3.4 所需绳长为（）dm同步题库一、填空题1 2. 6 3. 4. 5. 6. 60cm27 8. 9. 8 10. S6>S4>S3二、选择题11.C 12.C 13.D 14.C 15.B 16.D 17.A 18.C 19.C 20.B三、计算题21（1），；（2）22在正方形ABCD中，AB=1千米，八边形EFGHLMNP为正