泰勒公式例题

1、泰勒公式及无穷小变换的应用泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. 预备知识定义2.1 若函数在存在阶导数,则有 （1）这里为佩亚诺型余项,称(1)f在点的泰勒公式.当=0时,（1）式变成,称此式为(

2、带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2 若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则 , （2）这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.定理2.1(介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若为介于 与之间的任何实数,则至少存在一点,使得.3 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限.分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和分

3、别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由,得,于是.例3.2极限 . 分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和sinx, 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由, 于是例3.3利用泰勒展开式再求极限 。解：，   【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为，从而当时，应为  3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2 当时,证明.证明 取,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.故当时,.3.3 利

4、用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3 由于收敛，所以例3.3 讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.解 因为,所以,所以故该级数是正向级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设f(x)在上二阶可导,且,对, 证明： 在内存在唯

5、一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明 因为,所以单调减少,又,因此x>a时,故f(x)在上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.3.5 利用泰勒公式判断函数的极值例3.5 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(ii) 若,则在取得极小值.证明 由条件，可得f在处的二阶泰勒公式.由

6、于,因此.(*)又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6 求的幂级数展开式.解 利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项.例3.7 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：,其中（在0与x之

7、间）.令,要使则取即可.因此当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8 求的近似值,精确到.解 因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值.在的展开式中以代替 x得逐项积分,得上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9 求函数在x=1处的高阶导数.解 设x=u+1,则,在u=0的泰勒公式为,从而,而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)的

8、展开式知的项为,因此,.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n阶行列式 D= （1）解 记,按泰勒公式在z处展开：, （2）易知 （3）由（3）得,.根据行列式求导的规则,有于是在处的各阶导数为, 把以上各导数代入（2）式中,有若,有,若,有.4 总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公

9、式解题的技巧. 无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容

10、】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即定义：当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小，即。例如, 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义： 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 ， ，所以当时为无穷小，当 时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变

11、量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1 其中是自变量在同一变化过程（或）中的无穷小.证：（必要性）设令则有（充分性）设其中是当时的无穷小，则 【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无

12、穷小.如：，推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，观察各极限：不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 例1 证：例2 解2常用等价无穷小:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3等价无穷小替换定理：证：例3 （1）； （2） 解: （1） 故原极限= 8（2）原极限=例4 错解: =0正解: 故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价

13、无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 解: 原式三、极限的简单计算1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，（无穷小量乘以有界量）。又如，解：商的法则

14、不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，解: 左右极限存在且相等, 【启发与讨论】思考题1：解： 无界， 不是无穷大结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若，且，问：能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证. 例 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）；解：原极限=（2）求【分析】 “”型，拆项。解：原极限=（3）

15、； 【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限=，或原极限（4）；【分析】分子有理化解：原极限=（5）【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。解：=（6）【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。 解：原极限=6（7）解: 先变形再求极限.【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3） 无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了

16、同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.等价无穷小在求函数极限中的应用及推广前言 设f在某内有定义，若 则称f为当时的无穷小量设当时，f于g均为无穷小量若 则称f于g是当时的等价无穷小量。记作一 、等价无穷小在求函数极限中的应用 1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小

17、等价的关系，简化了求某些 型的极限的计算引理 设函数（x），（x）满足下列条件：在a的某个去心邻域内均有非零导数（1） Limf（x）=0，；（2） 则，（3）当f（x），>0时, =1证明 由洛比塔法则;=,证毕定理1 设函数f(x),g(x)及,满足下列条件:（1）在a的某去心邻域内均有导数 （2）在xa时,均为无穷小量,于是;(1) 若(2) 若f(x), >0，且,则证明 由引理(1) 故(2) 故如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些型的极限时将很方便. 如时, 等,均为无穷小量,且例1 求下列函数的极限(1) 解 (1)原式=(2)原式=(3)原式=（

18、4）原式=（5）原式=例2 求下列函数的极限解 （1） 原式=（其中，）（2）原式=（3）原式=（4）原式=（5）原式=（6）原式=（其中）所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，和 都是无穷小，且0，如果，那么和是等价无穷小，记。这意味着在这一极限过程中，和趋近于零的速度基本相同。例如因为，所以当时，都是等价无穷小，即。常见的等价形式有：时，,2 对不定式极限型的计算定理2 若在同一极限过程中，a，b是无穷小且则该定理表明，对型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换只限于整个分子（分母）及其乘积因子，当分子或分母为代数和时，对其中的项却不能随意作等价无穷小替换。例如：求极限时，s

19、inxx，tanxx对原式作无穷小替换将导致错误的结果：原式=（正确结果为）例3 因为当时解 原式=例4解 使用等价无穷小，当时上式=例5 求解 它是型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达法则计算 原式= 很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到：当时，有原极限= 可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造成计算量大而且通过对函数式的构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答案了。3 数列极限的若干计算法（1）极限的四则运算法则若与为收敛数列，则，也都是收敛数列，其有例6 求解 由得 （2） 利用重要极

20、限求数列的极限两个重极限分别为例7 求解 （3）单调有界数列法这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题得解。例8求数列其中（a>0）极限解: 设，则是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在两边取极限得即所以，因为A>0所以即（4）利用定积分计算计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转

21、化为和的形式。例9 计算解 、先考虑，从而有因此（5）变上限积分的极限常用的变上限积分的等价无穷小有： 其中上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是:定理3 若当存在，则。证明：由此定理还可以得出如下结论，例如：例10 求解 原式=例 11 求解 原式=（6）幂指数数激增和Taylor公式使用定理4 设，且证明 例12 求 解 因为，当时，有，所以原式=例13 求 解 ：因此，原式=综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛比达法则，选择合理恰当的方法

22、进行求解二、 等价无穷小在求函数极限过程中的推广定理5 若在同一极限过程中，有等价无穷小则 当时，（存在或为无穷大）当时，（存在或为无穷大）证明 仅证（1），同理可证（2）因得。又因得再由定理，可知（存在或为无穷大）例14 解 因时，且 故由定理有原式=例15 解 因时，故由定理有原式=定理6 若在同一极限过程中，有等价无穷小，则（存在或为无穷大）证明 定理3 若在同一极限过程中，有等价无穷小则=A 证明 例16 解 因时，故由定理有 原式=28附：常用积分公式1、 kdx=x+c2、 dxx=lnx+c3、 xndx=xn+1n+1dx+c4、 sinxdx=-cosx+c5、 cosxdx=s