专题五几何中中点的妙用

1、专题五中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，

2、常联想“垂径定理”一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图 1 所示，在 ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6，点 M为 BC 中点， MN AC 于点 N，则 MN 等于（）691216A BCD 5555二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想 “斜边上的中线，等于斜边的一半”A2、如图，在 ABC 中， A=90 ° ,AC=AB,M、N 分别在 AC 、MAB 上。且 AN=BM ，O 为斜边 BC 的中点，试判断OMN 的形状，并说明理由 .NBOC3、如图，正方形 ABCD 的边长为 2, 将长为2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上

3、同时滑动如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按AB C DA滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按BC DAB 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为（）ADA. 2B.4C.D.1QMBFC第 8题图精品文库三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”D4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）A如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC=BD ，EFNM 、N 分别是 AB 、CD 的中点， MN 分别交 BD 、AC 于点 E、F.你能说出MOE 与 OF 的大

4、小关系并加以证明吗？B图2-1C5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形 ABC 中， AD 是三角形 ABC BAC 的角平分线， BD AD ，点 D 是垂足，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB=6,AC=14 ，求 DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示， AB CD ， BCAD，DE BE ， DF=EF ，甲从 B 出发，沿着 BA 、 AD 、 DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE、EF 的方向运动， 如果两人的速度是相同的，且同时从 B 出发，则谁先到达F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，

5、证明相等关系问题）DC如图，等腰梯形ABCD 中， CD AB ，对角线 AC 、 BD相交于点O，ACD 60 ，点 S、 P、Q 分别是 DO、 AO 、 BC 的中点 .S求证： SPQ 是等边三角形。OQPA图6-1B四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，AD常联想“八字型”全等三角形）8、如图：梯形ABCD中， A=90° ,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3,E 为 AB 中点，求证： DE ECEBC欢迎下载2精品文库9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（ CG BC）中，点B、 C、 G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（

6、 1）探究线段MD 、 MF 的位置及数量关系，并证明；（ 2）将图甲中的正方形CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD的边 BC 在同一条直线上， 原问题中的其他条件不变。 （ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明FEFDAADMMBCEBCG图甲图乙GA五、有中点时常构造垂直平分线1BDC10、如图所示，在 ABC 中，AD 是 BC 边上中线， C=2 B.AC= 2 BC。求证： ADC 为等边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）11、（1）探索：已知ABC 的面积为 a ，如图 1，延长ABC

7、 的边 BC 到点 D ，使 CD=BC ，连接 DA ，若ACD 的面积为 S1 ，则 S1 =（用含 a 的代数式表示）如图 2，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD=BC ，AE=CA ，连接 DE，若DEC 的面积为 S2 ，则 S2 =（用含 a 的代数式表示）在图 2 的基础上延长AB到点 F, 使 BF=AB,连接 FD，FE, 得到DEF（如图 3），若阴影部分的面积为S3 ， S3 =（用含 a 的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF （如图 4），此时，我们称ABC 向外扩展了一次。 可以发现，扩

8、展一次后得到的DEF 的面积是原来ABC 面积的倍应用：如图5，若 ABC面积为 1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点 A1，B1，C1，使得 A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1， C1，得到 A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1， B1C1， C1A1 至点 A2，B2， C2，使 A2B1= A1 B1， B2C1= B 1C1， C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2， C2，得到 A2B2C2，第三次操作 ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少 要经过次操作 .欢迎下载3精品文库12、如图所示，已知梯形ABCD ， AD BC，

9、点 E 是 CD 的中点，连接AE 、 BE，求证： SABE =1。S 四边形 ABCD213、如图， M 是ABCD 中 AB 边的中点。 CM 交 BD 于点 E, 则图DC中阴影部分面积与ABCD 面积之比为EAMB14、如图所示，点E、 F 分别是矩形ABCD的边 AB、 BC 的中点，连S四边形 AGCD等于： A、5B 、4C 、3AF、CE交于点 G，则D 、S矩形 ABCD65423七、倍长中线15、如图， ABC中， D为 BC中点， AB=5， AD=6， AC=13。求证： AB AD16、如图，点D、 E 三等分 ABC的 BC边，求证： AB+AC>AD+AE

10、17、如图， D 为线段 AB 的中点，在 AB 上取异于D 的点 C，分别以 AC 、 BC 为斜边在 AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF 、EF，求证： DEF 为等腰直角三角形。八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”18、半径是5 cm 的圆中，圆心到8 cm 长的弦的距离是_19、半径为 5cm 的圆 O 中有一点 P， OP=4，则过 P 的最短弦长 _，欢迎下载4精品文库最长弦是 _，20、如图，在圆 O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB ，OE AC ，垂足分别为D 、E，若 AC=2cm ，则圆 O 的半径为 _cm 。AOC

11、BD21、如图，在 O中，直径AB和弦 CD的长分别为10 cm 和 8 cm ，则 A、B 两点到直线CD的距离之和是 _.22、如图， O的直径 AB和弦 CD相交于 E，若 AE2cm， BE 6cm， CEA 300，求： CD的长；23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、 B、C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与A、C 之间的距离相等，并测得BC长为 240 米， A 到 BC的距离为5 米，如图5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。BCA欢迎下载5精品文库倍长中线：1（ 2011 平谷二模） 24. 已知：如图，正方形ABCD 中， E 为对角线BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（ 1）求证： EG=CG；（ 2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图所示，取DF 中点 G，连接 EG， CG问（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（ 3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）2（ 2011 朝阳一模） 25已知： ABC