2022年“平面向量”复习的思考与反思

1、学习必备欢迎下载“平面向量”复习的思考与反思向量及其运算是高中教材的重点内容，向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机， 。向量融形、 数于一体 , 具有几何形式与代数形式的 双重身份 ，引入后大大拓宽了解题的思路和方法， 在研究其它问题时得到了广泛的应用，成为了 在知识网络交汇处设计试题的很好载体 . 对平面向量的考查有以下几点：（1）考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算； （2）考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；（3）和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能

2、力在高考试题中， 主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用。1考查平面向量的基本概念和运算律例 1 （2010 浙江理数）（16）已知平面向量,(0,)满足1，且与的夹角为 120，则的取值范围是 _ . 解析： 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解， 本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。例 2 （2008 宁夏、海南， 8）平面向量a、b共线

3、的充要条件是（）aa，b方向相同 b. a，b两向量中至少有一个为零向量c. , rba d. 存在不全为零的实数12 , ，12 =0ab解析：根据向量共线的定理显然选（d） 。评注： 本题考查的知识点是平面向量共线的条件，是“平面向量” 单元中要求掌握的重点内容，也是最基本的内容。例 3 （2010 天津理数）（15）如图，在abc中，adab,3bcbd, 1ad, 则ac ad . 【答案】 d 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。| |cos| cos|sinacadacaddacacdacacbacsin b3bc精品学习资料 可选择p d f -

4、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载评注： 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。2考查向量的坐标运算例 4 （2006 山东， 5）设向量(1, 3),( 2,4),( 1, 2)abc，若表示向量4a、42bc、2()ac、d的有向线段首尾相接能够成四边形，则向量d为（）a(

5、2,6) b. ( 2,6) c.(2, 6) d. ( 2, 6)分析：本题考查平面向量的加法及向量的坐标运算。解：4(42 )2()0abcacd4464( 1, 2)4( 2,4)6(1, 3)( 2,6)dcba故选（ b） 。例 5（2008全国， 18） 设向量(1,2) ,(2,3) , ab若向量ab与向量( 4,7)c共线，则= 分析： 本题考查平面向量的基本定理及向量的坐标运算，只要借助平面向量共线的条件并利用待定系数法即可得解。解：(2, 23)abab/c4(23)7(2)2说明：此题是教材第131 页复习题12 的延改编题，该题为：已知(1,0),(1,1)ab，为何

6、值时，ab与a垂直3考查平面向量与函数的交汇例6 （20xx年湖北省高考数学试题）已知向量baxftxbxxa)(),1(),1,(2若函数在区间（ 1，1）上是增函数，求 t 的取值范围. 分析： 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - -

7、 -学习必备欢迎下载解：依定义,) 1()1 ()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则.0)()1 , 1(,) 1 , 1()(xfxf上可设则在上是增函数在若,23)(,)1 , 1(,230)(22xxxgxxtxf考虑函数上恒成立在区间,31)(xxg的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使xxt232在区间（ 1，1）上恒成立. 5),1(tgt即.) 1 , 1()(,0)()1 , 1()(,5上是增函数在即上满足在时而当xfxfxft5tt的取值范围是故. 评注： 利用向量的数量积可以把问题转化为代数表达形式，即而运用代数方法高次求导法、二次判别式法、配方

8、法、均值不等式法求解. 4考查平面向量与不等式的交汇例 7 （20xx 年浙江省高考试题）已知向量ae，1e，对任意tr，恒有ateae，则（）aae b()aae c ()eae d()()aeae解：对任意tr，恒有ateae，故两边平方得：2222221,2210at a ctaa ctt a ct a c即：又上式对任意tr，恒成立，即有：2204 21410ccc恒成立 . 即=4（a ）（ a） （a）故当1a c时，上式成立，本题应选（c）5考查平面向量与三角的交汇向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点. 它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、 向量与解三角形的交汇

9、、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面. 例8 （ 20xx 年山东，15）已知, ,a b c为abc的三个内角,a b c的对边，向量(3,1)m，cos ,sinnaa若mn，且coscoscosabbacc，则角b= . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解: mn3 cossin0aa2sin()03a3ac

10、oscoscosabbaccsincossincossinsinabbaccsin()sinsinabcc又sin()sinabcsin1c2c6b评注：本题是以向量的模为背景，结合三角函数化简求值等有关知识进行考查。6平面向量与解析几何的交汇以解几为知识为载体，以向量为工具， 以考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点. 例 9 （2010 江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点 a( 1, 2) 、b(2,3) 、c(2, 1) 。(1) 求以线段ab 、ac为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数 t 满足 (oct

11、ab) oc=0，求 t 的值。 解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。（1） （方法一）由题设知(3,5),( 1,1)abac，则(2,6),(4,4).abacabac所以| 2 10,| 42.abacabac故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为d，两条对角线的交点为e，则 : e为 b 、 c的中点， e（0，1）又 e（0，1）为 a、d的中点，所以d（1，4）故所求的两条对角线的长分别为bc=42、ad=2 10；（2）由题设知：oc=( 2, 1) ，(32 ,5)abtoctt。由(

12、octab) oc=0，得：(32 ,5) ( 2,1)0tt，从而511,t所以115t。或者：2aboctoc，(3,5),ab2115|ab octoc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 10 （20xx年福建省高考试题）已知中心在原点的双曲线c的右焦点为（2，0） ，右顶点为)0 ,3(（1）求双曲线c的方程；（2

13、）若直线2:kxyl与双曲线c恒有两个不同的交点a和 b，且2oboa（其中 o为原点） . 求 k 的取值范围 . 分析： 这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于k的不等式， 通过解不等式求出k的范围，即：“求范围，找不等式” 。或者将k表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k的范围。解： （）略解：双曲线c的方程为.1322yx（）将得代入13222yxkxy.0926)31 (22kxxk由 直线l与 双 曲线 交于 不 同的 两点 得.0)1(36)31(36)26(,0312222kkkk即.13122kk且设),(),(bbaayxbyxa，则,22,319,

14、312622babababayyxxoboakxxkkxx得由而2)(2) 1()2)(2(2babababababaxxkxxkkxkxxxyyxx.1373231262319) 1(22222kkkkkkk于是解此不等式得即,01393,213732222kkkk：.3312k由、得.1312k故k的取值范围为).1 ,33()33, 1(本题通过平面向量的数量积与解析几何的交汇知识点，形成一求解参数k 的取值范围的综合题， 它既考查了平面向量的概念和运算，也考查了解析几何中的有关直线与圆锥曲线的相关问题。 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

15、 - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载7平面向量与平面几何的交汇平面向量与平面几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用. 例11 （ 20xx 年 湖 南 省 高 考 试 题 ） p是 abc 所 在 平 面 上 一 点 ， 若papcpcpbpbpa，则 p是 abc的（）a外心b内心c重心d垂心解：由条件papcpcpbpbpa知：()

16、0;pbpapcpb ca()0pcpbpapc ab，故pbcapcab，p为 p是 abc的垂心 . 例 12 （20xx年江苏省高考试题）在abc中， o为中线 am上的一个动点，若am 2，则oa oboc（）的最小值是 . 解：如图，设|,|202oaxomxx则，（）2mbcocom为的中点，ob，2222224212 0212.oaocoaomxxxxxxx（ob）（）cos180（）（）当时，取最小值8平面向量与导数的交汇向量、 导数都是新课程新增内容，它们都是重要的解题工具。同时又是新旧知识的一个重要的交汇点. 例 13 （20xx年江西理科试题）已知向量(2cos,tan(

17、),( 2sin(),tan(),2242424xxxxab( )f xa b令. 是否存在实数?)()(0)()(,0的导函数是其中使xfxfxfxfx若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之. 解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf21tantan122222 2cos (sincos )222221tan1tan222sincos2cos1sincos222xxxxxxxxxxxxmabceo例 11图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载( )( )0,:( )( )sincoscossin2cos0f xfxf xfxxxxxx令即.0)()(,02,2xfxfxx使所以存在实数可得9平面向量与学科外的交汇例 14(20xx 年全国卷高考试题) 点 p在平面上作匀速直线运动, 速度向量(4,3)( 即点 p的运动方向与v相同 , 且每秒移动的距离|v| 个单位 ). 设开始时点p的坐标为