大学高等二重积分的计算法ppt课件

1、假设积分区域为：假设积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上延续上延续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 运用计算运用计算“平行截面平行截面面积为知的立体求面积为知的立体求体积的方法体积的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得.),

2、(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 假设积分区域为：假设积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域边境相交不多于两个交点轴的直线与区域边境相交不多于两个交点. . Y Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边境相交不多于两个交轴的直线与区域边境相交不多于两个交点点. .假设区域如图，假设区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别运用积分公式运用积分

3、公式.321 DDDD那么必需分割那么必需分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxy

4、xfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 练习练习1：x yDedxdy求，1,2,0,1Dxxyy其中 是由所围成的矩形.2110 x yxyDedxdye dxe dy2110 xyee2110()()eeee2(1)e e注：注：( , )( , )ba

5、Df x y dxdydxf x y dydc( , )|,Dx yaxb cyd，D即 是一矩形区域，则( , )dbcadyf x y dx注：注：12( , )( )( )baDf x y dxdyf x dxfy dydc( , )|,Dx yaxb cyd，则12( , )( )f x yf xfy( )可积，练习练习2：223Dx y d求，2,1Dxyyx 其中 是由 轴轴和抛物线所围成的在第一象限内的区域223Dx y d=212203xdxx y dy10223 10 xx ydx1022 3(1)xxdx1016315练习练习2：223Dx y d求，2,1Dxyyx 其中

6、 是由 轴轴和抛物线所围成的在第一象限内的区域223Dx y d=12203ydyx y dx10322(1)yydy10比较费事；要仔细选择积分次序。比较费事；要仔细选择积分次序。练习练习3：sinDydy求，2Dyxxy其中 是由和所围成的区域(1,1)sinDydy210sinyyydydxy120sin()yyydyy1 sin1 练习练习3：sinDydy求，2Dyxxy其中 是由和所围成的区域(1,1)sinDydy10sinxxydxdyy假设先对y积分：比较费事比较费事例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(

7、为顶点的三角形为顶点的三角形. dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 121412例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz

8、 ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图., 10 yx,xyyx 所所求求体体积积 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式在积分中要正确选择积分次序在积分中要正确选择积分次序二、小结二、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iii

9、irrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二

10、重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincos

11、ryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dy

12、xdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直

13、线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD.解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd

14、. 4 14DD 1D二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式在积分中留意运用对称性在积分中留意运用对称性二、小结二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限

15、内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. . 一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看

16、成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro .),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平

17、面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理例例1 1解解所所围围成成的的闭闭区区域域线线轴轴和和直直轴轴、由由其其中中计计算算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例2 2解解所所围围成成的的闭闭区区域域椭椭圆圆为为其其中中计计算算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其其中中 ,sin,co