函数导数微积分公式(共45页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上函数y=sin(x)，x-/2，/2的叫做函数，记作x=arsin(y)，习惯上用x表示自变量，用y表示，所以反正弦函数写成y=arsin(x)=arsin(x)=asin(x)的形式。sh= sinh,ch=cosh,th=tanh，cth=coth，sch=sech，xh=csch。e2.9045.= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!.+ 1/n! +.=3.ex=x0/0! + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5!.+ xn/n! +.双曲函数 反双曲函数双曲函数与三角函数的关系

2、(i 为虚数单位，即 ii = -1)sinh(x)=-isin(ix)cosh(x)=cos(ix)tanh(x)=-itan(ix)coth(x)=icot(ix)sech(x)=sec(ix)csch(x)=icsc(ix)与双曲函数有关的恒等式cosh2(x)-sinh2(x)=1coth2(x)-csch2(x)=1tanh2(x)+sech2(x)=1加法公式sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)tanh(x+y)=tanh(x)+tanh(y)/1+tanh(x)

3、tanh(y)coth(x+y)=(1+coth(x)coth(y)/(coth(x)+coth(y)减法公式sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)tanh(x-y)=tanh(x)-tanh(y)/1-tanh(x)tanh(y)coth(x-y)=(1-coth(x)coth(y)/(coth(x)-coth(y)二倍角公式sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)=2cosh2(x)-1=2sinh2(x)+1ta

4、nh(2x)=2tanh(x)/(1+tanh2(x)coth(2x)=(1+coth2(x)/2coth(x)三倍角公式sin(3x)=3sin(x)4sin3(x)sinh(3x)=3sinh(x)+4sinh3(x)cosh(3x)=4cosh3(x)-3cosh(x)半角公式cosh2(x/2)=(cosh(x)+1)/2sinh2(x/2)=(cosh(x)-1)/2tanh(x/2)=(cosh(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1)coth(x/2)=sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x)德莫佛公式(cosh(x

5、)±sinh(x)n=cosh(nx)±sinh(nx)指数定律对数公式常用导数公式1、y=c(c为常数)y'=02、y=xny'=nx (n-1) x'=1， (1/x )'=-1/x2，3、y=axy'=axln(a)y=exy'=ex4、y=loga(x) y'=logax=1/x(ln(a) y=ln(x) y'=1/x y=xloga(x) y'=loga(x)+1/ln(a)5、y=sin(x) y'=cos(x)6、y=cos(x) y'=-sin(x)7、y=tan(x)

6、 y'=1/cos2(x)=(sec(x)28、y=cot(x) y'=-1/sin2(x)=(csc(x)2(sec(x) '=sec(x)tan(x) (cscx) '=-csc(x)cot(x)9、y=arcsin(x) y=arcsinh(x) 10、y=arccos(x) y=arccosh(x) 11、y=arctan(x) y'=1/(1+x2) y=arctanh(x) y'=1/(1-x2) (|x|<1)12、y=arccot(x) y'=-1/(1+x2) y=arccoth(x) y'=1/(1-x2

7、) (|x|<1)13、(sinh(x) '=cosh(x)(cosh(x) '=sinh(x)(tanh (x) ' =1/cosh2(x)(coth(x) '=1/sinh2(x)求导法则1、 复合函数求导：y=f(u)=fg(x)，y'=f'(u)g'(x)= f'g(x)g'(x)f'g(x)中u=g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量2、求导四则运算法则：(1) (2)(3)3、反函数求导：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证明1、显而易见，y=

8、c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，y=c-c=0，limx0y/x=0。2、这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y'=ex和y=ln(x)y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3、y=axy=a (x+x)-ax=ax(ax-1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/l

9、oga(1+) 1/显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0 (1+) 1/=e，所以lim01/loga(1+) 1/=1/logae=ln(a)。把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到limx0y/x=axln(a)。可以知道，当a=e时有y=ex y'=ex。4、y=loga(x) y=loga(x+x)-loga(x)=loga(x+x)/x=loga(1+x/x) x/x y/x=loga(1+x/x) (x/x)/x因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga(1+x/x) (x/x)logae，所以有limx0y/xl

10、ogae/x。可以知道，当a=e时有y=ln(x) y'=1/x。这时可以进行y=xn y'=nx (n-1)的推导了。因为y=xn，所以y=enln(x)，所以y'=enln(x)(nln(x)'=xnn/x=nx (n-1)。5、y=sin(x) y=sin(x+x)-sin(x)=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cos(x)6、类似地，可以导出y=cos(x)

11、 y'=-sin(x)。7、y=tan(x)=sin(x)/cos(x)y'=(sin(x)'cos(x)-sin(x)(cos(x)'/cos2(x)=(cos2(x)+sin2(x)/cos2(x)=1/cos2(x) y'=1/cos2(x)8、y=cot(x)=cos(x)/sin(x) y'=(cos(x)'sin(x)-cos(x)(sin(x)'/sin2(x)=-1/sin2(x)9、y=arcsin(x) x=sin(y) x'=cos(y) y'=1/x'=1/cos(y)= =10、y

12、=arccos(x) x=cos(y) x'=-sin(y) y'=1/x'=-1/sin(y)=11、y=arctan(x) x=tan(y) x'=1/cos2(y) y'=1/x'= cos2(y)=1/sec2(y)=1/(1+tan2(y)=1/(1+x2)12、y=arccot(x) x=cot(y) x'=-1/sin2(y) y'=1/x'=-sin2(y)=-1/csc2(y)=-1/(1+cot2(y)=-1/(1+x2)微分函数y=f(x)在x处的微分，dy=y'dx=f'(x)dxy

13、=f(u(x)dy= y'dx= f'(u(x)du= f'(u(x) u'(x)dx运算法则积分换元积分法分部积分法设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数，则移项得到 两边积分定积分用分部积分法时选择哪个函数为u 哪个为dv 很要紧，ILATE约法给出一个简单的选择u 的方法:I: : arctan x, arcsec x, etc.L: : ln x, , etc.A: : , , etc.T: : sin x, tan x, etc.E: : , , etc.u 确定后，另一个函数自然是dv. ILATE这个代表优先选择的顺序。积分型换元公式分部积分

14、法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图 5-10从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5-10)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是

15、十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图 5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11)即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数

16、在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1 计算因为是的一个原函数所以例2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)解 这个图形的面积为图 5-12二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即 这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此

17、处证明从略。性质4 如果将区间分成两个子区间及那么有这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。当a<c<b时，从图5-13a可知，由y=f与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积:图 5-13a图 5-13b因为所以即性质4成立。当a<b<c时，即点c在外，由图5-13b可知，显然，性质4也成立。总之，不论c点在内还是外，性质4总是成立的常 用 积 分 公 式(一)含有的积分()1 2()3456789(二)含有的积分101112131415161718(三)含有的积分19=20=21=(四)含有的积分22232425262728(五

18、)含有的积分2930(六)含有的积分3132333435363738394041424344(七)含有的积分45=46474849505152535455565758(八)含有的积分5960616263646566676869707172(九)含有的积分737475767778(十)含有或的积分79808182(十一)含有三角函数的积分8384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112(十二)含有反三角函数的积分(其中)113114115116117118119120121(十三)含有指数函数的积分

19、122123124125126127128129130131(十四)含有对数函数的积分132133134135136(十五)含有双曲函数的积分137138139140141(十六)定积分14201430144145146147 (为大于1的正奇数)，1(为正偶数)，一元三次方程求根公式(盛金公式)一元三次方程 ， ；重根判别式 ；，总判别式 。当时，盛金公式： 。 当时，盛金公式：；, 其中， 。当时，盛金公式：；， 其中， 。当时，盛金公式：；， 其中， (，)专心-专注-专业超越方程（非线性方程）类似lg x + x = 0的方程，叫超越方程。f(x)=lg x + x叫超越函数。

20、7;1 对分法设函数f (x)在区间a,b上连续，严格单调且 f (a ) f (b)<0，则在a,b内方程f (x) = 0有且仅有一个实根。对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数f (x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当n时，区间将最终收缩为一点x*，显然x*就是所求方程的根。对分法的优点是计算简单，方法可靠，容易估计误差。 但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛顿

21、法）提供初值。§2 迭代法迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是：设方程f (x) = 0在区间a, b内有一根x*，将方程化为等价方程x =(x)，并在a, b内任取一点x0作为初始近似值，然后按迭代公式计算：产生迭代序列x0，x1，xn，显然，若xn收敛于x*，在x*处连续，就有:故：当n充分大时，可取xn作为方程的近似解。这种求根方法称为迭代法，(x)称为迭代函数，x0称为迭代初值，xn称为迭代序列。如果迭代序列收敛，则称迭代格式（8-3）收敛，否则称为发散。满足的点x也称为不点动。牛顿迭代法设r是f(x)=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0)做y=f

22、(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。过点做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿公式。用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程f(x)=0线性化的一种近似方法。把f(x)在点x0的某邻域内展开成级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程f(x)=0的近似方程，若f(x)0，则其解为， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。已经证明，如果是的，并且待求的零点是孤立的，

23、那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。这就是著名得牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为在x0处做曲线的切线，切线方程为令y=0可得切线与x轴的交点坐标，这就是牛顿迭代法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。迭代过程的加速对不动点方程x=g(x)，它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得非常缓慢。这时，我们有没有办法改进不动点方程，让迭代过程收敛得快一些呢？简单办法:注意到x=x和x=g(x)都是不动点方程，它们的加权平均也是不动点方程，而

24、且h(x)和g(x)有完全相同的不动点。适当选取的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。加速的原因:h(x)在不动点x*附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。h(x)的绝对值越小，收敛性越好。因此，选择使得h(x)。理想的值，相应可计算出1、用牛顿迭代法求方程()的正根。牛顿迭代法的迭代函数为如果取初值为x0=0，相应的MATLAB代码为clearx=0;for i=1:6 x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x)end 可得迭代数列前6项为1.0000 ，0.6839， 0.5775 0.5672， 0.5671，0.5671，说明迭代实收敛的。如果取初值为10，相应的MATLAB代码为clear;x=10.0;for i=1:20 x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x) y(i)=x;End（运行）可算得迭代数列的前20项为9.0909，8.1900，7.2989，6.4194，5.5544，4.7076，3.8844，3.0933，2.3487，1.6759，1.1195，0.7453，0.5902，0.5676， 0.5671，0.5671，0.5671，0.5671