2020-2021学年山东省淄博市高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案解析

1、绝密启用并使用完毕前高三复习阶段性诊断考试试题理科数学(解析版)本试卷分第I卷和第卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 .答题前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上 .2 .第I卷每小题选出答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3 .第H卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案；

2、不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效4 .填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤参考公式：1.如果事件A, B互斥，那么P(A B) P(A) P(B);如果事件A, B独立，那么 P(AB) P(A) P(B).4 _32.球的体积公式V R ,其中R表示球的半径.3第I卷(共50分)一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.(1)已知复数41 i,z2 1 i ,则纯等于i(A) 2i(B) 2i(C) 2 i(D)2 i【答案】：B(2)设集合Ax x22x 3 0 ,By

3、y ex, x R ,则 AI B(A) 0,3(B) 0,2(C) 0, 1(D)1, 2(3)已知函数f(x)2sin(2x)(1-)的图象过点(0, J3),则f (x)的图象的一个对称中心是(A) ( ,0)3(B)(6,0)(C)(6，0)(D)(了0)(4)下列四个结论:R,xln x0”x R,xqln xQ0 ” ；命题“若xsin x0Mx0”的逆否命题为“若 x0,则 x sin x 0“命题p q为真”是“命题q为真”的充分不必要条件;若x 0,则x sinx恒成立.其中正确结论的个数是(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个(5)已知函数 f-x2 co

4、sx, f4x是函数f x的导函数，则f x的图象大致(A)(B)(C)(D)【答案】：A开始(6)如图是一个算法的流程图.若输入x的值为2 ,则输出y的值是(A) 0(B)1(C)2(D)3【答案】：C已知函数fx x 1 x2 a 1 x a b 1的三个容点值分.别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2 b2 的取值范围是A. J5, B. . 5, C. 5,D. 5,【答案】：D(8)用1, 2, 3, 4, 5, 6组成数字不重复的六位数，满足 1不在左右两端，2, 4, 6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为(A), 2(B),0(C) 0,2(D)2,0

5、(A) 432(B) 288(C) 216(D) 144【答案】：B;法一：从2, 4, 6三个偶数中任意选出 2个看作一个 整体”，方法有C；A； 6种.先排3个奇数：若1排在左端，方法有 片种；则将 整体”和另一个偶数C1中选出一个插在1的左边，方法有 C2种，另一个偶数插在 2个奇数形成的3个空中，方2116 A2c2c3 72 种,若 1C1,法有C3种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有2排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，若1排在中间，方法有 A2种，则将整体”和另一个偶数插入 3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件22的六位数共有6A2 A4

6、 144种.综上，满足条件的六位数共有72+72+144=288种，故选B;法二：CfA2(A3A4 2&A2) 288.x 2x 3x 0(9)已知f x,不等式fxa f 2a x在a, a 1上恒成2x 4x 3,x 0立，则实数a的取值范围是【答案】：A(10)已知双曲线2、1 a 0,b 0的半焦距为c,过右焦点且斜率为1的直线与 b双曲线的右支交于两点,若抛物线y2 4cx的准线被双曲线截得的弦长是述be2(e为 3双曲线的离心率)，则e的值为(A) . 3 (B) 22(C) 2 或3(D) 日或V3【答案】：B第II卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分

7、，共25分.(11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】：6第11题图(12)若a 1 ,函数f xx2 2x 2a与g x x 1 x a有相同的最小值，则af x dx128 【答案】：283r rb c的最大值为r r rr(13)设a,b,c是单位向量，且a(14)在实数集R中定义一种运算CC”，对任意a,b R, a b为唯一确定的实数，且具有性质:(i)对任意 ra R , a 0 a ；(n)对任意 a,b R, a b ab (a 0) (b 0) . v 1关于函数f(x) (ex)二的性质，有如下说法：函数f(x)的最小值为3；函数f(x) e为偶函数；函

8、数 f (x)的单调递增区间为(,0.其中所有正确说法的序号为【答案】：2(15)已知函数f x ，点。为坐标原点，点 An n, f n n N ，向量 x 1urmuur ur0,1 , n是向量OAn与m的夹角，则cos 1 sin 1cos 2cos 3sin 2sin 3CoS 2015sin 2015412 6的值为【答案】20151008三、解答题：本大题共 6小题，共75分.(16)(本小题满分12分)irr设向量 m (sin 2 x,cos 2 x) , n (cos ,sin ), 其中 一，0 ,函数2ir rf (x) m n的图象在 y轴右侧的第一个最高点(即函数取

9、得最大值的点)为P(,1),在原点右侧与x轴的第一个交点为 6(I)求函数f(x)的表达式；(n)在 ABC中，角A, B, C的对边分别是且a b 2石，求边长c.ir r解：解：(I)因为 f (x) mgn sin(2 x ),分由题意T1 ,%0).uuu uuu3a,b,c,若 f(C) 1,CAgCB-,213分将点 p(,1)代入 y sin(2x ),得 sin(2 66所以 2k ,(k),又因为6即函数的表达式为 f(x) sin(2x6),( x(II)由 f(C)即 sin(2C ) 6又Q0 Cc 23urn uuu 由 CAgDB,知 abcosC10所以ab 3由

10、余弦定理知,2八，八 ,b 2abcosC (ab)22ab 2ab cosC(2 .3)212 3 2 3 (-)212(17)(本小题满分12分)在四麴t P ABCD中,PA 平面ABCD , E是PD的中点,ABC = ACD 90 ,BAC= CAD 60 , ACAP 2.(I)求证：PC AE(n)求二面角 A CEP的余弦值.解：(I)取PC的中点F ,连接EF , AF ,则 EF /CD .因为ACAP 2所以PCAF .因为PA平面 ABCD , CD平面ABCD所以PA CD又 AC CD所以CD，平面PAC因为PC平面PAC,所以CD ± PC ;又 EF

11、/CD ,所以EFPC ；又因为 PC AF , AF I EF F ;所以PC，平面AEF因为AE 平面AEF ,所以PC AE(注：也可建系用向量证明)(n)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B 0,0,0A 0,1,03,0,02 3,3,0 ,E3,2,1 , P 0,1,2uuur .AC、3, 1,0uuu,CE 0,2,1 .6分设平面ACE的法向量为n1 (x, y,z)8分uuurAC 则 uuuCEn10,n10.所以 3x y 0, 2y z 0.令 x 1.所以 n1(1,73, 2>/3).由(I)知CD，平面PAC , AF 平面PAC,所以CD

12、77; AF .同理PC ± AF .所以AF 平面PCE所以平面PCE的一个法向量uuur3 1n2 AF (3,2,1).10分所以 cos,；n1,n2,：11分由图可知，二面角 A CEP为锐角,所以二面角A CE P的余弦值为号.12分(18 J (本小题满分12分)某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制(即每两个队比赛一场)，并规定积分r前两名的队出线，其中胜一场积 3分，平一场积1分，负一场积0分.在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积 7分,乙队积1分，丙和丁队各积 0分.根据以往的比赛情况统计：乙队胜的概率乙队平的概率乙队

13、负的概率与内队比111赛44来源：2与.队比赛111333注：各队之间比赛结果相互独立.(I )选拔赛结束，求乙队积 4分的概率；(n)设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；(出)在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积 4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线.你认为谁的观点对？或是两者都不对？(直接写结果，不需证明)解析：(I)设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3,乙队胜、平、负丁队为事件 B1、B、区.111.则 P(A)=P(A2) = 一，P(A3)=一 ； P(B1)=P(B2) = P(B3)=； 2 分423设乙队最后积4

14、分为事件C,14 _ _ _ _1111则 P(C) P(A1)P(B3)P(B)P(A)= 一4 3 2 3(n)随机变量 X的可能取值为：7, 5, 4, 3, 2, 1.1 11P(X 7) P(A)P旧)4 3 方11111P(X 5) P(A1)P(B2) P(A2尸 4 3 4 36P(X111114) P(A1)P(B3) P(A3)P(B1) 4 3 2 3 4P(X3) P(A2)P(B2)11°4 3 12P(X2) P(A2)P(&) P(A3)P(B2)111114 3 2 3 4P(X 1)P(A3)P(B3)1112 3 6随机变量X的分布列为:X

15、754321P112161411214168分1111.1110八E(X) 7 5 43 2 1 10分126412463(出)N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线. 12分当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4, 3, 2, 1,乙队为小组第2出线;当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线；(19)(本小题满分12分)a,1科,2%3科,4K卜表是一个有正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列， 且公比都相等.已知a2,38, a3,26.(i)求数列a2,n的通项公式;(n)设 bna2,na2,1a2,2a2,3a2,4Ka3,1a3,2

16、a3,3a3,4Ka4,1a4,2a4,3a4,4KKKKKKa1,11(a2,n1)(a2,n 11)(1)，,1,求数列bn的前n和Sn .解：(I)设第一列依次组成的等差数列的公差为设第一行依次组成的等比数列的公比为q(qa23则2,3a3,2解得:a2,n(D)所以(2nSn(10)，2a2,1q(1a3,1q(1d)q2 82d)q 6n a2,1q74£d 8因为等差数列是正数数列,所以2n因为an,1ai,i(n1)dbn2na2,n(a2,n 1)(a2,n 1 1)(1)nn1)2n(1)n1 an,1_12n 1n1) n11-)(331111) (1 -) L7

17、7 15_1 2n 12 3 4 5 L ( 1)nn1A 12 3 4 5 L(1)nn10当n为偶数时Sn2n11当n为奇数时Sn112n 112分(20)(本小题满分13分)22M作倾斜角已知椭圆 C:，+ '= 1 (a>b>0)经过点 M (-2, 1),离心率为互补的两条直线分别与椭圆 C交于异于M的另外两点P、Q.(I )求椭圆C的方程；(n)证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；(出)/ PMQ能否为直角？证明你的结论.41解：由题设，得ab2：1,由、解得a2 = 6, b2= 3,22椭圆C的方程为+巳=1.(n)记P(X1, y> Q(X2,

18、 y2),由题意知，直线 MP、MQ的斜率存在.设直线MP的方程为y+1 = k(x + 2),与椭圆C的方程联立，得(1 + 2k2)x2+ (8k2-4k)x+ 8k2-8k-4 = 0,8k2-8k- 4-4k2+4k+22, X1是该方程的两根，贝1_2x1 =2-, X1 =21 + 2k1 + 2k设直线MQ的方程为y+1= k(x+2), 4k2 4k+2同理得x2=21+ 2k因 1= k(xd2), y2+1 = k(xz+2),8k2上 yi y2 k(xi+2)+k(x2+2) k(xi+x2+4) 1 + 2k kpQ= = 1,xi x2xi x2xi x28k1 +

19、 2k2因此直线PQ的斜率为定值.（出）（方法一）设直线 MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为一k,假设/PMQ为直角，则 k （-k）=- i, k=±i.若k= i,则直线 MQ方程y+i = （x+2）,与椭圆C方程联立，得x2+4x+4=0,该方程有两个相等的实数根- 2,不合题意；同理，若k= i也不合题意.故/PMQ不可能为直角. ,9分ii分i3分（方法二）由（2）直线PQ的斜率为i,设其方程为y x m22xy由63y x m得 3x2 4mx 2m2 6 04m2m2 6xi x2, xix2 33UULTULU!QMP (x 2,y i),MQ %2» i

20、)luut uuluMP MQ (x 2)(x2=2xx2 (m 3)( xi=22m2 63(m2) (y 曲 i)2x2) m 2m 5c、 3m 2 c3) m 2m3=m2 2m i假设 PMQ为直角，则由m2 2m i 0得m i11分所以直线PQ的方程为y x i因为点M （-2, -i ）在直线y x i上，即点P或点Q中有一点与点M重合,不符合题意.所以 PMQ不可能为直角.i3分(21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)ax(i )证明：当 a 1 , x 0时，f(x) 0 ；(n)若a 1,讨论f(x)在(0,)上的单调性;(m)设 n。与n ln(1

21、n)的大小，并加以证明. n 1解：(I )当a 1时,x1f(x)=ln(1+x)f(x尸以(x 1) x(x 1)1 22 x x (x 1)2)上单调递增,所以 x 0 时，f (x) 0, f (x)在(0, 又 f (0)=0, f (x) f (0) 0；结论得证. 4分x x a 2a(n)由题设，x 0, f x 5分x 1 x a当a 3n+1 2a 0,即1 a 2时,则f x 0, f x在0,上是增函数.7分当a2 2a 0 ,即a> 2时，有x 0 , a22a时，fx0, f x在0, a2 2a上是减函数；x a2 2a, 时，fx0, f x在a2 2a,上是增函数.9分综上可知，当1 a 2时，f x在0,上是增函数；当 a> 2时，f x在0 , a2 2