2022年2021北京市海淀区高三数学

1、2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 1 / 13 1 / 132016北京市海淀区高三（一模）数学（理） 2016.4 本试卷共 4 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1函数( )21xf x的定义域为（）a 0，） b 1，） c （， 0 d（，12某程序的框图如图所示，若输入的zi （其中 i 为虚数单位） ，则输出的 s 值为（）a 1 b1 c i di 3若 x，y 满足20400 xyxy

2、y，则12zxy的最大值为（）a52 b3 c72 d4 4某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）a33 b32 c2 33 d2 635已知数列na的前 n 项和为 sn，则“na为常数列”是“*,nnnnsna”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件6在极坐标系中，圆c1 :2cos与圆 c2:2sin相交于 a，b两点，则 ab （）a1 b 2 c 3 d 2 7已知函数sin(),0( )cos(),0 xaxf xxbx是偶函数，则下列结论可能成立的是（）a,44abb2,36abc,36abd52,63ab精品学习资料 可选择p d f -

3、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 2 / 13 2 / 138某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）a甲只能承担第四项工作b乙不能承担第二项工作c丙可以不承担第三项工作d丁可以承担第三项工作

4、二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9已知向量(1, ),( ,9)atbtrr，若a brrp，则 t _ 10在等比数列na中， a22，且131154aa，则13aa的值为 _11在三个数1231,2.log 22中，最小的数是_12已知双曲线 c：22221xyab的一条渐近线 l 的倾斜角为3，且 c的一个焦点到 l 的距离为3，则 c 的方程为_13如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1， 2，3 中的一个（）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_种；（）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_种14已知函数( )f x，对于实数 t ，若

5、存在 a0，b 0 ，满足：,xta tb，使得|( )( ) |f xf t2，则记 ab的最大值为 h（ t ） （）当( )f x2x时， h（0） _（）当( )f x2x且 t1,2时，函数 h（t ）的值域为 _精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 3 / 13 3 / 13三、

6、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15 （本小题满分13 分）如图，在 abc 中，点 d在边 ab上，且13addb记 acd ， bcd （）求证：sin3sinacbc；（）若,1962ab，求 bc 的长16 （本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖目前，国内青蒿人工种植发展迅速某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验现在从

7、山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s，22s，根据样本数据，试估计21s与22s的大小关系（只需写出结论） ；（）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这 2 株的产量总和为，求随机变量的分布列和数学期望编号位置山上5.0 3.8 3.6 3.6 山下3.6 4.4 4.4 3.6 17 （本小题满分14 分）如图，在四棱锥pabcd 中， pa 平面 abcd ，四边形 abcd 为正方形，点m ，n 分别为线段 pb

8、，pc 上的点， mn pb （）求证： bc平面 pab ；（）求证：当点m 不与点 p ，b 重合时， m ， n ，d ， a 四个点在同一个平面内；（）当 pa ab 2，二面角 can d的大小为3时，求 pn 的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 4 / 13 4 / 131

9、8 （本小题满分13 分）已知函数 f (x) ln x 1x 1，1( )lnxg xx（）求函数 f (x)的最小值；（）求函数 g(x) 的单调区间；（）求证：直线 y x不是曲线 y g(x) 的切线。19 （本小题满分14 分）已知椭圆 c：22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆 c 与y 轴交于 a ， b 两点，且 ab 2（）求椭圆 c的方程；（）设点 p是椭圆 c上的一个动点，且点p在 y 轴的右侧直线pa ，pb 与直线 x 4 分别交于 m ，n两点若以 mn 为直径的圆与 x 轴交于两点 e，f，求点 p 横坐标的取值范围及ef的最大值20 （本小题满分13

10、分）给定正整数 n(n 3)，集合1,2,nun若存在集合 a， b，c，同时满足下列条件： u n a bc，且 a b bc ac；集合 a 中的元素都为奇数，集合b 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合c 中（集合 c 中还可以包含其它数）；集合 a， b ，c 中各元素之和分别记为sa ，sb ， sc ，有 sa sb sc ；则称集合 un为可分集合（）已知 u8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合a，b，c ；（）证明：若n 是3 的倍数，则 un不是可分集合；（）若 un 为可分集合且n 为奇数，求 n 的最小值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）精品

11、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 5 / 13 5 / 13dabc数学试题答案阅卷须知 : 1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共8 小题 , 每小题 5分 , 共 40 分）题号1 2 3 4

12、5 6 7 8 答案a d c a c b c b 二、填空题（本大题共6 小题 , 每小题 5 分, 有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，共 30 分）三、解答题 ( 本大题共6 小题 , 共 80 分) 15解： （）在acd中，由正弦定理, 有sinsinacadadc在bcd中，由正弦定理,有sinsinbcbdbdc因为adcbdc, 所以sinsinadcbdc因为13addb, 所以sin3sinacbc（）因为6，2, 由（）得sin3223sin6acbc设2 ,3 ,0ack bck k, 由余弦定理 , 2222cosabacbcac bcacb代入 , 得到222

13、19492 23cos3kkkk, 解得1k, 所以3bc. 16 解: (i)由山下试验田4 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数93 10 5 11. 12122213yx 13 4,6 14 2, 62,2)23,4u精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 6 / 13 6 / 133

14、.64.44.43.644x则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量s估算为100400sxg （）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差21s和22s，结果为21s22s. （）依题意，随机变量可以取7.2 7.4 8 8.28.6 9.4，1(7.2)4p, 1(7.4)8p1(8)4p, 1(8.2)8p1(8.6)8p, 1(9.4)8p随机变量的分布列为随机变量的期望111111( )7.27.4+8+8.2+8.6+9.4=8484888e. 17 解: （）证明：在正方形abcd中，abbc, 因为pa平面abcd，bc平面abcd， 所以pabc. 因为abpaai，且ab，pa平

15、面pab，所以bc平面pab（）证明：因为bc平面pab，pb平面pab, 所以bcpb在pbc中，bcpb，mnpb，所以mnbcp. 在正方形abcd中，adbcp, 所以mnadp，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 7 / 13 7 / 13所以mnad，,可以确定一个平面，记为所

16、以,m n d a四个点在同一个平面内（）因为pa平面abcd，,ab ad平面abcd，所以paab,paad.又abad, 如图，以a为原点，,ab ad ap所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系axyz, 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)cdbp. 设平面dan的一个法向量为( , )nx y zr，平面can的一个法向量为( , , )ma b cu r, 设pnpcuuu ruuu r, 0,1，因为(2,2,2)pcuuu r，所以(2 ,2,22 )anuuu r，又(0,2,0)aduuu r，所以00an nad nuuu rruu

17、u rr，即22(22 )020 xyzy，取1z, 得到1(,0,1)nr, 因为(0,0,2)apuuu r，(2,2,0)acuuu r所以00ap mac muuu r u ruuu r u r，即20220cab，取1a得, 到(1, 1,0)mu r, 因为二面cand大小为3, 所以1|cos,|cos32m nu r r, 所以211|cos,|2|12()1m nm nm nu r ru r ru ru u r解得12, 所以3pn18 解: （）函数( )f x的定义域为(0,)，22111( )xfxxxx当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：zyxnmd

18、cbap精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 8 / 13 8 / 13函数( )f x在( ,)0上的极小值为1( )ln1101f a，所以( )f x的最小值为0（）解：函数( )g x的定义域为(0,1)(1,)u，22211ln(1)ln1( )( )lnlnlnxxxf xxxg

19、 xxxx由（）得，( )0f x，所以( )0gx所以( )g x的单调增区间是(0,1),(1,)，无单调减区间. （）证明：假设直线yx是曲线( )g x的切线 . 设切点为00(,)xy，则0()1g x，即00201ln11lnxxx又000001,lnxyyxx，则0001lnxxx. 所以000011ln1xxxx, 得0()0gx，与0()1g x矛盾所以假设不成立，直线yx不是曲线( )g x的切线19 解： （）由题意可得，1b，32cea，得22134aa，解24a，椭圆c的标准方程为2214xy. （）设000(,)(02)p xyx，(0,1)a，(0, 1)b，精品

20、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 9 / 13 9 / 13所以001paykx，直线pa的方程为0011yyxx，同理：直线pb的方程为0011yyxx，直线pa与直线4x的交点为004(1)(4,1)ymx，直线pb与直线4x的交点为004(1)(4,1)ynx，线段mn的中点004(4

21、,)yx，所以圆的方程为22200044(4)()(1)yxyxx，令0y，则222002016(4)(1)4yxxx，因为220014xy，所以2020114yx，所以208(4)50 xx，因为这个圆与x轴相交 , 该方程有两个不同的实数解，所以0850 x，解得08(,25x. 设交点坐标12(,0),(,0)xx，则1208| 2 5xxx（0825x）所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. 方法二：（）设000(,)(02)p xyx，(0,1)a，(0, 1)b，所以001paykx，直线pa的方程为0011yyxx，同理：直线pb的方程为0011yyxx，直线pa与直线4x的交点

22、为004(1)(4,1)ymx，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 10 / 13 10 / 13直线pb与直线4x的交点为004(1)(4,1)ynx，若以 mn为直径的圆与x 轴相交，则004(1)1yx004(1)10yx，即2000200016(1)4(1)4(1)10,yyyxx

23、x即2020016(1)810.yxx因为220014xy，所以2020114yx, 代入得到0850 x，解得08(,25x. 该圆的直径为000004(1)4(1)8|+1(1)|=|2|yyxxx，圆心到 x 轴的距离为0000004(1)4(1)41|+1+(1)|=|2yyyxxx，该圆在 x 轴上截得的弦长为22000044882 (1)()2 5,(2)5yxxxx；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. 方法三：（）设000(,)(02)p xyx，(0,1)a，(0, 1)b，所以001paykx，直线pa的方程为0011yyxx，同理：直线pb的方程为0011yyxx，直线

24、pa与直线4x的交点为004(1)(4,1)ymx，直线pb与直线4x的交点为004(1)(4,1)ynx，所以000004(1)4(1)8|=|+1(1)|=|2|yymnxxx，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 11 / 13 11 / 13圆心到 x 轴的距离为0000004(

25、1)4(1)41|+1+(1)|=|2yyyxxx，若该圆与x轴相交，则04|1|x004|yx，即2200044(1)()0yxx，因为220014xy，所以2020114yx,所以0850 x，解得08(,25x该圆在 x 轴上截得的弦长为22000044882 (1)()2 52 5=22yxxx；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. 方法四：记(2 0)d， , (4 0)h，设00(,) (4,) (4, )p xymmnn由已知可得(0,1) (0,1)ab，所以ap的直线方程为0011yyxx，bp的直线方程为0011yyxx，令4x，分别可得004(1)1ymx，004(1)

26、1ynx，所以004(1)(4,1),ymx004(1)(41)ynx，若以mn为直径的圆与x轴相交于,e f，因为ehmn， 所以2ehhnhm，200004(1)4(1)(1) (1)yyehhnhmxx220002016168()yxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 12

27、/ 13 12 / 13因为220014xy，所以2020114yx, 代入得到2eh20020850 xxx所以08(,25x，所以08822 52 522efehx所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. 方法五：设直线op与4x交于点t因为/mny轴，所以有,apaoopbpbooppntnptpmtmpt所以aobotntm，所以tntm，所以t是mn的中点 . 又设000(,)(02)p xyx, 所以直线op方程为00yyxx, 令4x, 得004yyx, 所以004(4)ytx，而041rtnx若以mn为直径的圆与x轴相交于,e f则00044|1ydrxx所以220016(4)y

28、x因为220014xy，所以2020114yx, 代入得到所以200580 xx，所以085x或00 x因为点002x，所以0825x而22220004422 (1)()yefrdxx0882 52 522x所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. 20 解：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - -2016 北京市海淀区高三(一模 )数学 (理) 13 / 13 13 / 13（i ）依