2020年海淀一模高三数学试题及答案(WORD版

1、海淀区高三年级第二学期阶段性测试2020 春本试卷共6页，150分。考13t时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)在复平面内，复数i (2 i)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知集合A x0 x 3 , A B1 ,则集合B可以是(A) 1 ， 2(B) 1 , 3(C) 0,1, 2(D) 1 , 2, 3(3)已知双曲线x22 y b21(b 0)的离心率为J

2、5 ,则b的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是c h Ct o(A) b a c a(B) c2 ab(C) 一 一(D) bc ac，一、，.16.(5)在(-2x)的展开式中，常数项为x(A) -120(B) 120(C) -160(D) 160(6)如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆M 时，圆M与直线l相切于点B.点A运动到点A ,线段AB的长度为,则点M到直线BA的距离为(A) 1(D)已知函数f(x)m与函数g(x)的图象关于y轴对称.g(x)在区间(1,2)内单调

3、递减，则 m的取值范围为(A) -1 , +00)(B)(-I(C) -2, +8)(D) (-8,-2(8)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为(A) <5(B) 2厩(C) 2 展(D)Ji3(9)若数列an满足a,2,则“ p, r N , apapa.”是“ an为等比数列”的(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件2n(10)形如2(n是非负整数)的数称为费马数，记为Fn .数学家费马根据Fo, E, F2, F3, F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5,不是质数，那么 F5的位数是

4、（参考数据；lg 2 0.3010 ）(A ) 9(B) 10(C) 11(D) 12第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知点P (1, 2)在抛物线C: y2 =2px上，则抛物线C的准线方程为 .(12)在等差数列an中，a1=3, a2+a5=16,则数列an的前4项的和为.(13)已知非零向量 a, b满足|a|二|a-b|,则(a-1b) . b=.2(14)在 ABC 中，AB= 4>/3 , / B=，点 D 在边 BC 上，/ ADC= 2 , CD=2 ,贝U AD= 43 ACD的面积为.(15)如图，在等边三角形 ABC

5、中，AB=6 .动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心 O距离的平方为f(x),给出下列三个结论：函数f(x)的最大值为12 ;函数f (x)的图象的对称轴方程为 x=9 ;关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。 全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共14分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB，平面 BB1C1C, AB=BB 1=2BC=2 , BC1=

6、J3,点 E 为 A1C1 的中占I 八、(I)求证：GBL平面ABC ：(II)求二面角 A BC E的大小.(17)(本小题共14分)已知函数 f(x) 2cos2 1x sin 2x.(I)求f(0)的值；(II)从 i 1, 2 2；i 1, 2 1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件， 求函数f(x)在一,一 上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.2 6注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。(18)(本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2

7、019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值 (单位：十亿元).(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(II )从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过 500亿元的年份的个数， 求X的分布列和数学期望；(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.(19)(本小题共15分)已知函数f(x) ex ax.(I)当 a=-1 时，求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;求函数 f

8、( x) 的最小值：(II)求证：当aC (-2, 0)时，曲线y f(x)与y=1-lnx有且只有一个交点.(20)(本小题共14分)已知椭圆2C. x_ C.ay2 .3.' 1(a 0,b 0)的离心率为 ,A( a，0), A2(a,0)b2B(0,b),AB4 的面积为2.(I )求椭圆C的方程;(n)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线AB与直线A2M交于点P，直线AM与直线A2B交于点Q.求证： BPQ为等腰三角形.(21)(本小题共14分)已知数列 an是由正整数组成的无穷数列，若存在常数k N ,使得a2n 1 a2n kan，对任意的n N成立，则称数列 an

9、具有性质(k).(I)分别判断下列数列an是否具有性质(2)；(直接写出结论) an 1； an 2n.(n)若数列an满足%1 an(n 1,2,3,)，求证：“数列工具有性质(2)”是“数列an为常数列”的充分必要条件；(出)已知数列 an中a1 1,且an1 an(n 1,2,3, ).若数列 为 具有性质(4),求数列an的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案数 学2020春阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案ABB

10、DCCDCAB、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.题号1112131415答案X 12404/2， 276注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得 0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)解：(I)因为 AB 平面 B0C1C , gB 平面 BB1cle所以AB C1B.在4 806 中，BC 1, BC1 而，CC1 2,所以 BC2 BC2 CC12.所以CB C1B.因为 ABI BC B, AB,BC 平面 ABC ,所以CiB 平面ABC.(n)由(I)知， AB CiB, BC

11、CiB, AB BC,如图，以B为原点建立空间直角坐标系 B xyz.1 L则 B。,。)，E( 273,1), C(i，0，0).uuruuu 1BC (1,0,0) , BE ("质1).设平面BCE的法向量为n (x,y,z),LULTn BC0,贝(JLLLTn BE0.x 0,即 1Xc-x3y z 0.令y 不则x 0, z 3,所以 n (0, . 3, 3).所以cos m, nm n 1|m|n| 2由题知二面角A BC E为锐角，所以其大小为 -.(17)解：(I) f (0) 2cos2 0 sin0 2 .(n)选择条件.f (x)的一个周期为 兀.2f (x

12、) 2cos x sin 2x(cos2 x 1) sin 2x又因为平面ABC的法向量为m (0,1,0),.2(sin2x二cos2x) 122 sin (2x )4因为x 2冶,所以3 712x+ , .44 12所以 1 sin (2x ) 1. 4所以 12 f (x) 12.一3 TT当2x -= _时，即x=时， 428f (x)在2,百取得最小值1 选择条件.f(x)的一个周期为2 m2.f (x) 2cos x sin x22(1 sin x) sin x1 2172(sin x ).11,-.48因为x 一，一,所以sinx 2 6所以当sinx= 1时，即x=时， 2f

13、(x)在2,取得最小值 1.(18)解：(I)设事件 A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以 p(A)_9 .10(n)由图表信息，从 2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X的所有 可能取值为0,1, 2 .且 P(X 0)C2CT9； P(X 1)1 12_C5c5 5C522- = 一 ； P( X2) -2-=.C109 ''C109所以X的分布列为:X012p2529992 9 12故X的期望E(X) 0

14、 - 19(ID)本题为开放问题，答案不唯一.要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.(19)解：(I)当 a 1 时，f(x) ex所以 f'(0) 0.又 f(0) 1,所以曲线y f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为y 1令 f'(x) 0 ,得 x 0.随x的变化如下:可知f (x)min f 01,函数f(x)的最 小值为1.x(-? ,0)0(0,+?)f (x)-0+f (x)极小值此时 f(x), f (x)(n)由题意可知，x(0,).i令 g(x) e ax lnx 1,则 g'(x) e a . x由(I)中

15、可知ex x 1 ,故ex 1 x .因为 a ( 2,0),则 g'(x) ex 1 a x 1 axx所以函数g(x)在区间(0,)上单调递增.1 J2因为 g(-) = ee + - - 2 < e2 - 2 < 0 , e e又因为 g(e) = ee + ae>e2 - 2e> 0 ,所以g (x)有唯一的一个零点.即函数y f(x)与y 1 lnx有且只有一个交点c _3一 ,a 2(20)解：(I )由题 ab 2,222a b c .解得b 1.2所以椭圆方程为y2 1.4(II )解法1证明：设直线AM方程为y k(x 2)(k 0且k 1),

16、直线A1B方程为y -x 1 22k(x1-x22)，解得点1.2k 1 2k1).y2 x4k(x2),得(4k 1.1)x1 2 16k2x16k2 40,2xm =216k 44k2 1所以xM噂4kyM =l4k28k2 2M (24k 14k 4k21).4k2k4k1Kam28k 2 c224k 114k于是直线AiM的方程为1 (x 4k2),直线A2B的方程为y4k 22k 1日XpXq ,所以PQ x轴.4k设PQ中点为N ,则N点的纵坐标为2k 1 2k 1 12.故PQ中点在定直线y 1上.从上边可以看出点 B在PQ的垂直平分线上，所以|BP BQ所以 BPQ为等腰三角形

17、.解法2证明：设 M(xo,yo)(xo2, yo1)则 x2 4y2 4 .直线A2M方程为y y(x 2),直线A1B方程为y -x 1. xo22y”(x 2), Xo21 y - x 1.22x0 4yo 4 4yo 解得点p(上,i°一)2 yo xo (2y° x°2)(2y°+x0 2)_2_2 (xo 2yo)4) (4 (xo 2y0)o.(2yo x 2)(2yo+xo 2)于是xp xq ,所以PQ x轴.2 yo xo 2直线AM方程为y (x 2),直线A2B方程为y -x 1. xo 22xV 2)，1x 1. 2解得点Q(X

18、>2% 4y。4 2% 4y0+4xpxQT-T2 yoxo22 yo +%2ypyQ4yo4y02yo %2 2yo+xo 24yo(4yo4)(2 yo xo 2)(2 yo+xo2)4 yo(4yo一一 2(2yo2)42.xo2(xo2yo2)(2yo+xo2) 2(m 2yo+2)(2 y。x。2)故PQ中点在定直线y 1上.从上边可以看出点 B在PQ的垂直平分线上，所以|BP BQ,所以 BPQ为等腰三角形(21)解：(I)数列 an具有“性质 (2)” ；数列an 不具有“性质(2) ” .(n)先证“充分性”：当数列an 具有“性质(2) ”时，有a2n 1a2n2an又因为an 1 an ，所以 0 a2n anan a2n 10 ，进而有an a2n结合