线性空间与线性变换(重要)

1、第三章第三章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换3.1 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质0数轴数轴平面平面三维空间三维空间yxzOxyO常见的几何空间：常见的几何空间：几何空间几何空间R R3 3的运算的运算运算规律运算规律加法加法;()kkR33(3)0,0;RR 中存在零元素对都有;)1( ;)2( u对几何空间进行推广，通过抽对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；象出几何空间线性运算的本质；u在任意研究对象的集合上定义在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。具有线性运算的代数结构。线性空间线性空间 若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有

2、唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作FV V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为一个数域如果为一个数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作V ,V VF如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律: :(3)0,0;VV 中存在零元素对都有;)1( ;)2( (8)1;(5); (7). (6); ( ),;VV40对任何都有 的负元素使()，F那么那么 就称为数域就称为数域 上的线性空间上

3、的线性空间VF2 判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 注注1 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为称为线性运算线性运算特别地，特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是当集合中定义的加法和乘数运算是通常通常的实数间的加乘运算的实数间的加乘运算，则，则只需检验对运算的封闭性只需检验对运算的封闭性例例1 1 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵

4、，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .m nR是实数域上的线性空间( ), nmmnRnmR11111由行向量组构成的线性空间称为 维行向量空间；,由列向量组构成的线性空间称为维列向量空间.( )nnn2维行向量空间和 维列向量空间统称为 维向量空间.( )nRn3 如无特别说明表示 维列向量空间.注注易易验验证证加加法法和和数数乘乘满满足足八八条条运运算算律律. .加法：加法：)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01ax

5、axann )()()(01axaxann xPn nP x故对加法、数乘运算封闭,因此构成实数域上的线性空间.1010 , , |,.,.nnnnnnP xP xpa xa xaaa aR次数不超过 的多项式的全体 记作即对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成实数域上的线性空间例例2 2数乘数乘: |,.,.nnnnnnQ xpa xa xaaa aRa10100注次多项式的全体且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间例例3 3 全体正实数全体正实数R R+ +, ,定义加法和数量乘法如下：定义加法和数量乘法如下：, , kababa bRk aakRaR 解：解：,a bRaba

6、bR，故加法运算封闭；(3),;a Raa 存在零元 ，使都有(1); ab ba(2);abcabc零元为常数零元为常数1 1, kkRaRk aaR ，故数乘运算封闭。1(8)1.aaa(5);aa(7)abab ；(6)()();aaa 故在该加法和数乘运算下，对应集合构成故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实数域上的线性空间。实数域上的线性空间。(4),;aRa对任何都存在 的负元素负元为负元为1/1/a注：线性空间的元素统称为注：线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. .线性空间的简单

7、性质：线性空间的简单性质： 零元素是唯一的；零元素是唯一的； 负元素是唯一的；负元素是唯一的； 0 0 =0;k0=0;(-1)=0;k0=0;(-1) =-=- ； 如果如果k k =0,=0,那么那么k=0k=0或或 = =0 0。0 01=0 01+0 02=0 02 - 1=(- 1)+0 0=(- 1)+( +(- 2) =(- 1)+ )+(- 2)=0 0+(- 2)=- 23.4 线性子空间线性子空间对三维几何空间：对三维几何空间：yxzO任何过原点的平面是任何过原点的平面是R3的子集的子集 在该平面上的所有向量对于向量的加法和数在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成

8、一个二维的线性空间。乘运算构成一个二维的线性空间。R3的线性子空间的线性子空间线性子空间线性子空间 定义：定义：设设W是数域是数域F上线性空间上线性空间V的非空子集合的非空子集合. .如果如果W中的向量对中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算中所定义的向量加法和数乘运算也构成也构成F上的线性空间，则称上的线性空间，则称W为为V的线性子空间的线性子空间, ,简称子空间简称子空间. . 定理定理: : W是是V的非空子集合，则的非空子集合，则W是是V的子空间的充要的子空间的充要条件是条件是,.WkFkW 有 V的子空间的子空间注注V和零子空间是和零子空间是V的平凡子空间的平凡子空间；其它子空间称

9、为其它子空间称为V的真子空间的真子空间.生成子空间生成子空间,sV12设设则则 (,)|,ssssLkkkk kkF12112212 .VL上述集合记为是是的的子子集集. . .LV易易证证是是 的的子子空空间间 .ssL1212, , , 我我们们称称是是由由生生成成的的子子空空间间 是是它它的的生生成成向向量量组组 3.2 向量的线性相关性向量的线性相关性 如果线性空间如果线性空间V以通常的向量作为元素，即以通常的向量作为元素，即V中含有无穷多个向量。如何用有限个向量刻划中含有无穷多个向量。如何用有限个向量刻划空间中的所有向量？需要讨论向量间的关系空间中的所有向量？需要讨论向量间的关系.y

10、xzO( , , )rx y zxiyjzk( , , );( , , );( , , ).ijk1 0 00 1 00 0 1, ,rij k 与线性相关 kcid j无法表示成的形式线性组合与线性表示线性组合与线性表示 设设V是数域是数域F上的一个线性空间，上的一个线性空间， 是是V 中的一组向量，中的一组向量， 是数域是数域F 中的数，那中的数，那么向量么向量,s 12,sk kk12sskkk1122,s 12称为向量称为向量 的一个线性组合，有时也称向量的一个线性组合，有时也称向量 可可以由以由 线性表示。线性表示。 例例1:1: nnxx ex ex e1 122,.,nne ee

11、12 维单位向量组线性表示:(,)12nTnnRxxxx维向量空间中任一向量可由线性相关与线性无关线性相关与线性无关 设设V是数域是数域F上的一个线性空间，且上的一个线性空间，且 如果在数域如果在数域F中存在中存在s 个不全为零的数个不全为零的数 , ,使使得得,.sV 12,sskkk11220,12sk kk,s 12则称向量组则称向量组 线性相关线性相关. ,s 12否则称向量组否则称向量组 线性无关，即若线性无关，即若,sskkk11220则必有则必有=.skkk120此时至少有一个此时至少有一个向量可以由其他向量可以由其他向量线性表示。向量线性表示。进一步来理解向量组的线性相关与线性

12、无关进一步来理解向量组的线性相关与线性无关考虑等式考虑等式)(02211 rrkkk r12向量组， ，线性相关：r12向量组， ，线性无关：总总成成立立。时时，等等式式当当关关，是是线线性性相相关关还还是是线线性性无无，无无论论向向量量组组)(02121 rrkkk ( )rkkk12至少有两组以上的数 ， ， ， ，使得等式成立。( )rrkkkkkk12120只存在唯一的一组数 ， ， ， ，使得等式成立，即注：注：(1)(1)给定向量组给定向量组 ，该向，该向量组要么线性相关，要么线性无关。量组要么线性相关，要么线性无关。 (2)(2)含有零向量的向量组一定线性相关。含有零向量的向量组

13、一定线性相关。(3)(3)向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 时：时：若若 , ,则说则说 线性相关；线性相关； 0若若 , ,则说则说 线性无关。线性无关。 0,s 12TTTneee12(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) n例例3.3.维维向向量量组组 n称称为为 维维单单位位坐坐标标向向量量组组, , 讨讨论论其其线线性性相相关关性性. .解：令解：令+nnk ek ek e1 1220即即nkkk120故故,.ne ee12 线线性性无无关关1231021 , 2 , 4157 例例4. 4. 已已知知, , , 12312.试试讨讨论论向向量量组组及及的的线线性

14、性相相关关性性解：令解：令+xxx1122330即即 2+4+7xxxxxxxx1312312302050系数矩阵为方阵系数矩阵为方阵,102124157A故方程组故方程组Ax=0存在非零解存在非零解. 即即 线性相关线性相关., , 123, 0A 且A102102102124022022157055000即即r(A)=23，故，故Ax=0存在非零解存在非零解.另解：另解：同理，对同理，对 ,令令, 12kk11220即即 kkkkk1121202050.kk120得故故 线性无关线性无关., 12注：向量组只包含两个非零向量注：向量组只包含两个非零向量 时，则时，则,12 ,= 12211

15、2线性相关，使或定理定理1 n维列向量组维列向量组 线性相关的充要线性相关的充要条件是条件是r(A) s，其中，其中,s 12,).(sA 12线性相关性的判定线性相关性的判定推论推论 n个个 n维列向量组维列向量组 线性相关的充线性相关的充要条件是要条件是|A|=0，其中，其中,).(nA 12,n 12注：若给定的是行向量组，需要将其转化成列向量组。注：若给定的是行向量组，需要将其转化成列向量组。1234(2, 1, 1,1,2),(1,1, 2,1,4),(4, 6,2, 2,4),(3,6, 9,7,9). A21431166122911272449 例例5 设设, 1234判断判断

16、是线性相关还是线性无关？是线性相关还是线性无关？解解rr rr3221,11660102008900890000 116603815038150281306821 故r(A)=35,. 125线性相关11660102008900000000 26 证证123112223331123,bbbb b b 例例6 6. . 已已知知向向量量组组线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关 , .xxxx bx bx b1231 12233 , 0,设设有有三三个个数数使使得得xxx112223331 ()()()0, 即即xxxxxx131122233 ()()()0, 亦亦即即123 , , 因因线线

17、性性无无关关, , 故故有有 xxxxxx1312230,0,0. 定理定理2 向量组向量组线性相关的充要条件是其中至线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示少有一个向量可以由其他向量线性表示.定理定理3,s12 ,sss t121 线性相关线性相关线性相关线性相关定理定理4,s12 线性无关线性无关,s12 线性相关线性相关,可可由由线线性性表表示示，且且表表示示法法唯唯一一. .s 12部分相关部分相关, 则整体相关则整体相关; 整体无关整体无关, 则部分无关则部分无关.向量组的等价向量组的等价ms1212 , ,. : 向向量量组组等等价价. .设设有有两两个个向向量

18、量组组(I)(I)及及 (II) (II)若若 (II) (II) 组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由向向量量组组 (I) (I) 线线性性表表 示示, , 则则称称向向量量组组 (II) (II) 可可由由向向量量组组 (I) (I)线线性性表表示示, , 若若向向量量组组 (I) (I) 与与向向量量组组 (II) (II) 能能相相互互线线性性表表示示, , 则则 称称这这两两个个 A B CAAABBAABBCAC, ： 与， ，. 设设是是向向量量组组，则则( (1 1) )反反身身性性与与 等等价价( (2 2) )对对称称性性：等等价价则则 与与 等等价价( (3 3) )

19、传传递递性性: :与与 等等价价与与 等等价价, ,则则 与与 等等价价性质性质定理定理1 下列命题等价下列命题等价(1)m nm ss nCAB (2) C的行向量组可由的行向量组可由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示(3) C的列向量组可由的列向量组可由A的列向量组线性表示的列向量组线性表示TTsTTsTTmmmsmsaaaaaaaaa1111211212222212 nnnssssnbbbbbbbbb1112121222121212(,)(,) 推论推论1 矩阵矩阵A经过初等行经过初等行(列列)变换化为变换化为B, 则则A的行的行(列列)向量组与向量组与B的行的行(列列)向量组等价。

20、向量组等价。定理定理2 若向量组若向量组 线性无关，且可线性无关，且可由由 线性表示，则线性表示，则r12, s12, rs. 推论推论2 等价的线性无关向量组必含有相同个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量数的向量.3.4 线性子空间线性子空间对三维几何空间：对三维几何空间：yxzO任何过原点的平面是任何过原点的平面是R3的子集的子集 在该平面上的所有向量对于向量的加法和数在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。乘运算构成一个二维的线性空间。R3的线性子空间的线性子空间线性子空间线性子空间 定义：定义：设设W是数域是数域F上线性空间上线性空间V的非空子集合的非

21、空子集合. .如果如果W中的向量对中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算中所定义的向量加法和数乘运算也构成也构成F上的线性空间，则称上的线性空间，则称W为为V的线性子空间的线性子空间, ,简称子空间简称子空间. . 定理定理: : W是是V的非空子集合，则的非空子集合，则W是是V的子空间的充要的子空间的充要条件是条件是,.WkFkW 有 V的子空间的子空间注注V和零子空间是和零子空间是V的平凡子空间的平凡子空间；其它子空间称为其它子空间称为V的真子空间的真子空间.生成子空间生成子空间,sV12设设则则 (,)|,ssssLkkkk kkF12112212 .VL上述集合记为是是的的子子集集.

22、 . .LV易易证证是是 的的子子空空间间 .ssL1212, , , 我我们们称称是是由由生生成成的的子子空空间间 是是它它的的生生成成向向量量组组 如果线性空间中含有无穷多个向量。如何如果线性空间中含有无穷多个向量。如何找出有限个向量刻划空间中的所有向量？找出有限个向量刻划空间中的所有向量？yxzO( , , )rx y zxiyjzk( , , );( , , );( , , ).ijk1 0 00 1 00 0 1, ,.ij kR3 可以用刻划中的任意向量, ,i j k3 个最基本的向量构成坐标系, ,rxiyjzkx y z中称为在该坐标系下的坐标.3.4 线性子空间线性子空间基

23、、维数和坐标基、维数和坐标,( ),;rriiiiiiV12121线性空间设设是是中中的的一一个个向向量量组组，若若满满足足线线性性无无关关rV，为为 的的维维数数( ),riiiV122：中中任任意意一一个个向向量量 都都可可由由线线性性表表示示 ,riiiV12：.则则称称是是 的的一一组组基基 注注: (1)规定规定V= 为零维空间为零维空间. (2)有限维线性空间有限维线性空间V的基不唯一的基不唯一.riirixxx1212= = ,rxxx12 称为 在该基下的坐标. dim( )Vr .记记为为0向量组的秩向量组的秩sLLrL 12(,),设设子子空空间间的的维维数数为为如如何何确

24、确定定的的一一组组基基( (或或向向量量组组的的秩秩) )? ? sssLr121212 (,),(,) 生生成成子子空空间间的的维维数数称称为为的的记记为为定定义义 向向量量，秩秩组组. .(一一) ：若以：若以 的部分组为基的部分组为基 12,s Lr总总而而言言之之，若若维维数数为为 , ,则则 (I)(II)使使得得中中任任意意向向量量都都可可以以由由线线性性表表示示. .(II)(I)即即是是的的一一组组基基( (或或最最大大线线性性无无关关组组) ). .rsiii1212(I), (II),：中中存存在在线线性性无无关关的的向向量量组组： 寻寻基基求求秩秩的过程的过程明确向量组线

25、性明确向量组线性关系的过程关系的过程(找最大线性无关组的过程找最大线性无关组的过程)38解解TTTTT12345. (1,1,0,0) , ( 1,2,1, 1) , (0,1,1, 1) , ( 1,3,2,1) , ( 2,6,4,1) . 例例1 1 求求向向量量组组的的秩秩及及其其最最大大线线性性无无关关组组, ,并并把把不不在在该该组组中中的的向向量量用用最最大大线线性性无无关关组组线线性性表表示示AA 12345 (), 设设用用初初等等行行变变换换化化为为阶阶梯梯形形A110121213601124011111101201124000350000012345 124, 线线性性无

26、无关关；135, 也也线线性性无无关关r124()3) 123, 线线性性相相关关13235310100110000100000124, 线线性性无无关关12345 3121255124.333=+,=+ 3故故向向量量组组的的秩秩为为 ，124,是是一一组组最最大大线线性性无无关关组组, ,且且 3121255124.333=+,=+ 继继续续行行变变换换11012011240003500000(行最简形)3最最大大无无关关组组的的个个数数为为 ，总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间 ssiLxxxxF1122=+| 的基：的基：(1)将向量按

27、列写成矩阵：将向量按列写成矩阵：sA12(,) (2)用初等用初等行变换行变换将矩阵化为行阶梯形；将矩阵化为行阶梯形；(3)行阶梯形非零行的行数行阶梯形非零行的行数r即为空间的维数；即为空间的维数； (4)如果行阶梯形每个非零行的首非零元对如果行阶梯形每个非零行的首非零元对应列指标为应列指标为 ，则，则riii12,riiiL12,且且为为的的一一组组基基( () ). .或或最最大大无无关关组组 (向向量量组组的的秩秩) )(5)若要明确其他向量和最大无关组的线性关系，需继若要明确其他向量和最大无关组的线性关系，需继续进行续进行行变换行变换将矩阵化为行最简形将矩阵化为行最简形.注：注：若生成

28、向量组为行向量组，则可以转置为列向若生成向量组为行向量组，则可以转置为列向量组，量组，选取部分组选取部分组为对应子空间的基为对应子空间的基.转置不改变转置不改变行向量组的行向量组的线性关系。线性关系。(二二) ：若：若不以不以 的部分组为基的部分组为基 12,s 设设 中中有有两两个个向向量量组组( (I I) )及及 ( (I II I) )则则的的充充要要条条件件是是( (I I) )与与( (I II I) )等等价价. .rsrsVLL12121212 , ,. , : ( () )= = ( () )定定理理则需要找与则需要找与 等价的线性无关向量组等价的线性无关向量组12,s (二

29、二) ：若：若不以不以 的部分组为基的部分组为基 12,s Recall 推论推论 矩阵矩阵A经过初等行经过初等行(列列)变换化为变换化为B, 则则A的行的行(列列)向量组与向量组与B的行的行(列列)向量组等价。向量组等价。 等等价价的的向向量量组组有有相相同同的的注注秩秩. .1212, ssA 设设为为行行向向量量组组. .令令= =100rB = =初等行变换初等行变换AB则则 ， 的的行行向向量量组组等等价价，因因此此,LL BL 的的行行向向量量组组生生成成子子空空间间的的基基也也为为的的基基. .(行阶梯形行阶梯形)TTTTLL12341234=(1,1, 2, 2, 1) ,=(

30、0, 2, 1, 5, 1) ,=(2, 0, 3, 1, 3) , (1,1,2,4, 1) .,子子例例2 2空空间间由由生生成成，求求生生成成组组以以外外的的一一组组 设设基基. . 11221021512031311241A 解：解：11221021510215100022 行变换行变换11221021510002200000 1234 123(1,1,2,2,1),(0,2,1,5,1),(0,0,0,2,2) 故故是所求空间的一组基是所求空间的一组基.矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩给定矩阵给定矩阵A，称矩阵称矩阵A的的行向量组行向量组生成的子空间生成的子空间R(A), 对应空间的

31、维数为对应空间的维数为矩阵的行秩；矩阵的行秩；称矩阵称矩阵A的的列向量组列向量组生成的子空间生成的子空间C(A)， 对应空间的维数为对应空间的维数为矩阵的列秩矩阵的列秩.矩矩阵阵的的行行秩秩、列列秩秩和和矩矩阵阵的的秩秩相相等等. .定定理理 回顾：求回顾：求列向量组列向量组生成子空间的维数：生成子空间的维数： (1)将向量按列写成矩阵：将向量按列写成矩阵：nA 12(,) (2)用初等用初等行变换行变换将矩阵化为行阶梯形；将矩阵化为行阶梯形；(3)行阶梯形非零行的行数即为空间的维数。行阶梯形非零行的行数即为空间的维数。 mA 12= = 100rB = =初等行变换初等行变换行向量组：行向量

32、组：(行秩行秩=矩阵的秩矩阵的秩)(列秩列秩=矩阵的秩矩阵的秩)3.6 欧氏空间欧氏空间对三维几何空间：对三维几何空间：yxzO定义了向量长度，向量夹角定义了向量长度，向量夹角线性空间中对向量如何度量？线性空间中对向量如何度量？向量的内积向量的内积 , , V对对于于线线性性空空间间 中中任任意意两两个个向向量量如如果果有有唯唯一一确确定定的的实实数数 与与定定之之且且足足义义对对应应，满满 1212(1);, , , , ;(3) , 0,=0kkkkV 对对称称性性: :线线性性性性 , , ,( (2 2) ) 当当且且仅仅当当: :正正定定时时立立性性等等号号成成; ;: :,V 则则

33、称称 为为 的的内内积积. .,欧欧几几里里德德定定义义了了内内积积的的线线性性空空间间称称为为简简空空间间称称欧欧氏氏空空间间. ., ,kk,0V 是是 中中任任意意元元素素：( (1 1) ) , , = =0 0; ; ( (2 2) ) , , + + = = , , + + , , ; ;( (3 3) ) = = 性性质质 向量的长度与夹角向量的长度与夹角.V , , 称称为为欧欧氏氏空空间间 中中向向量量 的的长长定定 度度 记记为为义义. .长长度度为为1 1单单位位向向量量 的的向向量量 1 0 若若，则则是是单单单单位位化化 位位向向量量. .欧氏空间的标准正交基欧氏空间

34、的标准正交基1212,. .ssV设设, , ,是是欧欧氏氏空空间间 的的两两两两正正交交的的非非零零向向量量组组，则则, , ,线线性性无无关关 反反不不真真质质 之之性性 nVn在在 维维欧欧氏氏空空间间 中中，由由 个个两两两两正正交交的的向向量量组组组组成成的的基基称称为为正正定定义义 交交基基; ; 由由单单位位向向量量组组成成的的正正交交基基称称为为标标准准正正交交基基. .12, nne eeR如如: :为为的的一一组组标标准准正正交交基基. .12,1, ,0,.sijVijij , , ,是是欧欧氏氏空空间间 的的一一组组标标准准正正交交基基性性 质质 51得得即即TTxxx3123(,)(1,0,1) . TT1231231. (1,1,1) , (1,2,1) , 3 , , . 例例已已知知向向量量正正交交试试 求求一一个个非非零零的的维维向向量量使使两两两两正正交交 Tx xx3123 (,)0, 设设则则由由两两两两正正交交的的性性质质知知 xxxxxx1312323123,0, ,20. .xxx 12311101210 xxx132, 0.