15导数的概念及计算

1、、知识概述导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的 过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义并借助函数图象，运用观 察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系导数的计算主要包括两个方面， 首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数.二、重难点知识归纳1. 变化率与导数(1) 平均变化率通常把式子称为函数f(x)从X1到X2的平均变化率.令，则平均变化率可表示为(2) 导数的概念一般地，函数y=f(x)

2、在x=xo处的瞬时变化率是则称它为函数y=f(x)在x=x。处的导数(derivative)，记作或，即当x变化时，便是x的一个函数，则称它为 f(x)的导函数(derivative funtion) (简称导数)，记作或，贝V.(3) 注意事项：弄清“函数f(x)在点xo处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系， 可以从以下几个方面来认识. 函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限， 它是一个常数，不是变数. 导函数(导数)是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于 每一个确定的值X0,都对应着一个确定的导数，根据函数的定义，在某一区间内就构

3、成 了一个新函数，即导数. 函数y=f(x)在点X。处的导数就是导函数在 x=xo处的函数值，即=.这也是求函 数在x=xo处的导数的方法之一.(4) 导数的几何意义函数y=f(x)在点X。处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率 k，即.2. 导数的计算(1) 基本初等函数的导数公式 若f(x)=c，贝y； 若，则; 若 f(x)sinx ，贝V； 若 f(x)=cosx ，贝U； 若 f(x)，则(a>0); 若f(x)，则; 若 f(x)，贝U( a>0,且 a1); 若f(x)，则.(2) 导数运算法则 ； ；(3) 复合函数的求导法则(难点)设函数在点x处有导数，函

4、数y=f(u)在点x的对应点u处有导数或写作.复合函数求导法则： 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以 中间变量对自变量的导数，即三、典型例题剖析例 1利用导数的定义，求出函数y=x 的导数，并据此求函数在 x=1 处的导数 解析 例 2 求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程. 解析 例3设f(x)是定义在R上的函数，且对任何 xi, X2R都有f(x 1 + x=f(x 1) f(x 2).若 f(0)0 ， .(1) 求 f(0) 的值；证明：对任何xR,都有. 解析 例4.求下列函数的导数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解析 例5.求下列函数的导数：(1

5、) ；(4) . 解析 例一 解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算从而总结：求函数 y=f(x) 的导数可分如下三步：(1) 求函数的增量；(2) 求函数的增量与自变量的增量的比值 ;(3) 求极限，得函数例二 解：函数 f(x) 图象上点 P 处的切线方程的求解步骤： 先求出函数在点处的导数 (即过点 P 的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程 .切线的斜率，切线方程为 y2= 4(x ) ，即 4xy4=0.注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程 .例三 解析：本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法， 以及函数极限的运算(1) 对任意都成立，令，得

6、f(0)=f 2(0) 对任何xR,都有.例四 解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时， 可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导(1)(2) 解法一：解法二：(3)(4) ,例五解析：应用指数、对数函数的求导公式,结合函数四则运算的求导法则及复合函数 的求导法则进行求导 .(1)(2) 设,则方法一：方法二：在线测试一、选择题1 若函数f(x)=2x 2- 1的图象上一点(1,1)及邻近一点，贝U()EIa.4B. 4x'C.4+ 2D. 4+ 22. 物体运动方程为，则t=5时的瞬时速度为()A. 5B. 25C. 125D. 6253. 设，

7、则曲线y=f(x)在点处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D .与x轴斜交4 .曲线在点(1 , - 1)处的切线方程为()A. y=3x 4B. y= 3x+ 2D. y=4x 5C. y= 4x+ 35.与直线2x y + 4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A.2x y+ 3=0B. 2x y 3=0C. 2x y+ 1=0D. 2x y 1=06 .设 f(x)=(2x+5)6,在函数中，A. 2000C. 240007.设，则等于()A. 01Ic.8 函数y=cos(cosx)的导数为(A. =si n( cosx)si nxx3的系数是()B. 1200

8、0EId.非以上答案EIb.13 d .)B . = si n( cosx)si nxC. =cos(si nx)si nxD.=cos(s inx)A.C.9.设f（x）=且，贝V a的值为（）B. 2D. 0D.C.二、填空题11.若曲线f(x)= x在点P处的切线平行于直线3x y=0,则P点的坐标是 12 .设,则不等式的解集为13.设 f(x)=，且，则 a= 14若曲线与直线y=3x + 1相切，则常数a的值为答案三、解答题15.求曲线y=cosx在点A处的切线方程.答案16已知曲线，直线，且直线 I与曲线C相切于点求直线I的方程及切点方程.答案17直线I与m都是抛物线的切线，I过

9、点P(3 , 2)且斜率小于1,求I , m的直线方程.答案18.求下列函数的导数:(2) 答案 第 1 题答案错误 第 2 题答案错误 第 3 题答案错误 第 4 题答案错误 第 5 题答案错误 第 6 题答案错误 第 7 题答案错误 第 8 题答案错误正确答案为 C 正确答案为 C 正确答案为 B 正确答案为 B 正确答案为 D 正确答案为 C 正确答案为 C 正确答案为 A第 9 题答案错误 ! 正确答案为 B 第 10 题答案错误 ! 正确答案为 D提示：1解析：2解析：3解析：，即切线的斜率为0.4解析：本题主要考查导数的几何意义由题意可知，当x=1 时，则过点(1，- 1)的切线方

10、程为y+仁一3(x 1)，即为y= 3x + 2.5解析：由题意可知上的点为 (1 , 1)，则所求的切线方程为 y 1=2(x 1)，即为 2x y 1=0.6 解析：，根据二项式定理，则含有 x3项为7解析：，.8解析：.可得，解得 a=210解析：答案：11 （1 ， 0）12（1，3） 13a=0，b=11415解：，在点A处的切线方程为.16解：直线 l 过原点，则，由点在曲线 C 上，得，又整理得此时，因此直线 l 的方程为，切点坐标为17解：，设 l 与抛物线相切于点 Q， 则因 Q 在抛物线上，故又点 P（3，2），即，于是当时，；当时，（舍去）则 l 的方程为，即 x2y 1

11、=0由于，故m的斜率k= 2,从而，即，所以切点为，故m的方程为，即16x+ 8y+ 1=0.18解：(1)(2) 设则高考解析a 的值为( )1. ( 2009年全国卷)已知直线 y=x+ 1与曲线y=ln (x + a)相切，则A. 1 B. 2C. 1D. 2答案： B解析：对y=ln (x+ a)求导得，设切点为(m, n),则切线斜率为=1,计a=1,n=ln ( ma) =ln1=0 ,再由(m, n)在直线 y=x + 1上得 m=- 1, 从而得 a=2. 故选 B.2. ( 2009年湖北卷)已知函数 f(x) =cosxsinx ，则 f ()的值为答案： 1解析：从而有3. (湖北省高考试题)某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的距 离对时间的变化率是 km/h.解析：本题主要考查导数的几何意义，设时刻t时，甲到C处，乙到D处，此时两船的距为 y ，则两边同时求导可得答案：4. (全国高考试卷 III 试题)已知直线为曲线在点 (1 ， 0)处的切线，为该曲线的另一条 切线，且 .(1) 求直线的方程；(2) 求由直线，和 x 轴所围成的三角形的面积.解析：本题主要考查导数的几何意义、两条直线垂直的性质，以及分析问题和综合运算的能力.