线性空间的定义与性质

1、6.1 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质线性空间是线性代数线性空间是线性代数最基本的最基本的概念之一概念之一, 也是一也是一个个抽象抽象的概念的概念, 它是向量空间概念的推广它是向量空间概念的推广. 线性空间是为了解决实际问题而引入的线性空间是为了解决实际问题而引入的, 它是某它是某一类事物从量的方面的一个抽象一类事物从量的方面的一个抽象, 即把实际问题看作即把实际问题看作向量空间向量空间, 进而通过研究向量空间来解决实际问题进而通过研究向量空间来解决实际问题. 定义定义: 设设V是一个非空集合是一个非空集合, R为实数域为实数域. 如果对于如果对于任意两个元素任意两个元素 , V,

2、总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素 V与之与之对应对应, 称称 为为 与与 的和的和(加法运算加法运算), 记作记作 = + . 若对于任一数若对于任一数 R与任一元素与任一元素 V, 总有唯一的总有唯一的元素元素 V与之对应与之对应, 称称 为为数数 与与 的积的积(数乘运算数乘运算), 记记作作 = . 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那那么么, 就称就称V为为数域数域R上的线性空间上的线性空间(或或向量空间向量空间): (1) 加法交换律加法交换律: + + = + + ; (2) 加法结合律加法结合律: ( ( + + ) +) + =

3、 +(+( + + ) ) ; (3) 零元素零元素: 存在存在O V, 对任一向量对任一向量 , 有有 + O = ; (4) 负元素负元素: 对任一对任一元素元素 V, 存在存在 V, 有有 + + =O, 记记 = ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .设设 , , , O V, 1, l, k R, 说明说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运凡满足以上八条运算规律的加法

4、及乘数运算统称为算统称为线性运算线性运算. 说明说明2. 向量向量(线性线性)空间中的元素称为空间中的元素称为向量向量, 但不一但不一定是有序数组定是有序数组. 说明说明3. 判别线性空间的方法判别线性空间的方法: 一个集合一个集合, 对于定义对于定义的加法和数乘运算不封闭的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质或者运算不满足八条性质的任一条的任一条, 则此集合就不能构成线性空间则此集合就不能构成线性空间. (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加通常实数间的加, 乘运算乘运算, 则只需检验运算的封闭性则只需检验运算的封闭性.线

5、性空间的判定方法线性空间的判定方法: 例例1: 实数域上的全体实数域上的全体m n矩阵矩阵, 对矩阵的加法和对矩阵的加法和数乘运算构成实数域数乘运算构成实数域R上的线性空间上的线性空间, 记作记作Rm n. Rm n中的向量中的向量(元素元素)是是m n矩阵矩阵. 例例2: 次数次数不超过不超过n的多项式的全体记作的多项式的全体记作Pxn, 即即Pxn = p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R 对通常对通常多项式加法多项式加法, 数乘数乘构成构成向量空间向量空间.通常的多项式加法通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律满

6、足线性运算规律. 实际上实际上 对对p(x)=a0+a1x+anxn, q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn, R, = (a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn )= (a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xnp(x)+q(x)= (a0+a1x+anxn) p(x)= a0+ a1x+ anxn Pxn,所以所以Pxn对对线性运算封闭线性运算封闭. 例例3: 次数次数等于等于n 的多项式的全体记作的多项式的全体记作Qxn, 即即Qxn= p(x)=a0+a1x+anxn | a0, a1, , an R, an 0 对于通常的对于通常的多项式加法多项式加法, 数乘

7、数乘不构成不构成向量空间向量空间. 多项式加法多项式加法, 数乘两种运算对数乘两种运算对Qxn不满足线性运不满足线性运算的封闭性算的封闭性. 实际上实际上 Pxn,对对p(x)=a0+a1x+anxn Qxn, 0 R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn) = 0+0 x+0 xn = 0 Qxn. 所以所以Qxn对对线性运算不封闭线性运算不封闭. 例例4: 正弦函数的集合正弦函数的集合Sx= s(x)=Asin(x+B) | A, B R对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.对对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A

8、2sin(x+B2) Sx, R,由于由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)= (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)= Asin(x+B)= (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx Sx, s1(x) = A1sin(x+B1)= ( A1)sin(x+B1) Sx,所以所以, Sx是一个线性空间是一个线性空间. 例例5: 在区间在区间a, b上全体实连续函数构成的集合上全体实连续函数构成的集合记为记为Ca, b, 对函数的加法和数与函数的数量乘法对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构构成实数域上的线性空间成实数域上

9、的线性空间. (2) 一个集合一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的常的实数间的加加, 乘运算乘运算, 则则必需必需检验是否满足检验是否满足八条线八条线性运算规律性运算规律. 例例6: 正实数的全体记作正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘在其中定义加法及乘数运算为数运算为:a b = ab, a = a , ( R, a, b R+)验证验证R+对上述加法与乘数运算构成对上述加法与乘数运算构成(实数域实数域R上的上的)线线性空间性空间.证明证明: 对任意对任意a, b R+, R, a b = ab R+, a = a R+,所以对所以对R+

10、上定义的加法与乘数运算封闭上定义的加法与乘数运算封闭. 下面验证八条线性运算规律下面验证八条线性运算规律: 对任意对任意a, b, c R+, k, l R, (1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 对对任意任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 对任一元素对任一元素a R+, 存在负元素存在负元素a-1 R+, 有有a a1= a a1 =1;(5) 1 a = a1 = a ;(6) k (l a) = k al =

11、 (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a b) = k (a b) = (a b)k = ak bk(8) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = k a k b;所以所以, R+对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间.= ak al = k a l a .对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘: (x1, x2, , xn)T = (0, 0, , 0)T不构成线性空间不构成线性空间.例例7: n元实有序数组组成的全体元实有序数组组成的全体 Sn= x=(x1, x2, , xn)T| x

12、1, x2, , xn R 但但1 x = 0 x, 故不满足第故不满足第(5)条运算规律条运算规律.即所定义的运算不是线性运算即所定义的运算不是线性运算, 所以所以Sn不是线性空间不是线性空间.显然显然, Sn对运算封闭对运算封闭.证明证明: 假设假设01, 02是线性空间是线性空间V中的两个中的两个零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.则对任何则对任何 V有有, + 01 = , + 02 = ,由于由于01, 02 V, 则有则有 02+01=02, 01+02=01.所以所以01=01+02=02+01=02.则有则有 + =0, + =0,2. 负元素是唯一的负元素是唯一

13、的.证明证明: 设设 的负元素为的负元素为 与与 ,所以所以= . = +0= +( + )=( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 将向量将向量 的负元素记为的负元素记为 .证明证明: 因为因为 + 0 =1 + 0 3. 0 = 0; (1) = ; 0 = 0.则由零元素的唯一性得则由零元素的唯一性得: 0 =0= .= 1 = (1+0) 因为因为 + (1) =1 + (1) =1+(1) = 0 =0.则由负元素的唯一性得则由负元素的唯一性得: (1) = . 0 = +(1) = +( ) = 0 = 0.= +( ) 4. 如果如果 = 0, 则则 = 0 或或 =

14、0.证明证明: 如果如果 0,( () ), 0011 又又那么那么,( () ).1)1(1 所以所以, = 0. 故结论成立故结论成立. 定义定义2: 设设V是一个线性空间是一个线性空间, L是是V的一个非空子的一个非空子集集, 如果如果L对于对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间成一个线性空间, 则称则称L为为V的的子空间子空间. 定理定理: 线性空间线性空间V的非空子集的非空子集L构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是必要条件是: L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭. 证明证明: 由于由于L是线性空间是线性空间V的子空间的子空

15、间, 则由定义知则由定义知, L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭. 反之反之, 由于由于L是线性空间是线性空间V的非空子集的非空子集, 则则L中的元中的元素必为素必为V中的元素中的元素.则则L中的元素的线性运算就是中的元素的线性运算就是V中元素在中元素在V中的运算中的运算,又由于又由于L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭, 因此因此, 八条运算律中八条运算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)显然成立显然成立,故只需验证故只需验证(3), (4)两条成立两条成立, 即零元素即零元素0在在L中中, 且且L中中元素的负元素也在元素的负元素也在L中中. 对任意

16、的对任意的 L, 则则0 R, 由运算的封闭性知由运算的封闭性知: 0 L, 而而0 =0, 故故0 L, 从而从而(3)成立成立. 再由再由(1) R, 则则(1) L, 且且 +(1) = 0, 所以所以 的的负元素就是负元素就是(1) , 从而从而(4)成立成立.所以所以L是线性空间是线性空间V的子空间的子空间.;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 + + + RcbacbacbaW 例例8: 线性空间线性空间R2 3的下列子集是否构成的下列子集是否构成R2 3的子的子空间空间? 为什么为什么?解解(1): W1不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对,000001

17、1WBA 1Rcbacba + + +, 0有有 + +000002BA即即W1对矩阵加法不封闭对矩阵加法不封闭, 故不构成故不构成R2 3的的子空间子空间.,0000002W 对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有于是于是 + + + + + +212121000ccbbaaBA解解(2): 因因故故W2非空非空.a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0,满足满足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此因此, 有有A+B W2, 即即W2对加法封闭对加法封闭.对任意的对任意的k R, 有有,000111 kckbkakA2 W1.有有ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0,因此因此, 有有kA W2, 即即W2对数乘封闭对数乘封闭.从而从而, W2构成构成R2