逆矩阵重点和习题

1、定理：行列式某一行（或列）的每一元素与另一行（或列）元素的代数余子式乘积之和为零。02211ntnjtjtjAaAaAatj 02211sninsisiAaAaAasi 即:snssiniiaaaaaaD2121iniiiniiaaaaaa212102 2 逆矩阵逆矩阵一、准备知识siDsiAaAaAasninsisi 02211结合行列式的展开定理，有：ntnjtjtjAaAaAa2211tjDtj 0引例：若 ，求矩阵X，使：AX=E2 3121A解：设4321xxxxXAX43213121xxxx1001423142313322xxxxxxxx解线性方程组容易得到：x1=3, x2=2

2、,x3=1, x4=1.问题：对于矩阵A，是否存在一个矩阵A1，使得：EAAAA11比较矩阵方程AX=B与数的方程ax=b.1123二、逆矩阵的概念1.定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使 AB=BA=E，则称A为可逆矩阵（简称可逆），并称B为A的逆矩阵。例：对于 ，1123,3121BA否则称A是不可逆的。AB=E=BA.故A是可逆的，并且B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为：A1，即： A A1= A1 A=E2.问题： (1)怎么样的方阵才可逆？(2)若A可逆，逆阵有多少个？(3)若A可逆，怎样去求它的逆阵A1？分析：设B和C都是A的逆矩阵, 则：AB=BA=E , AC=CA=E

3、,B=BE=B (AC)= (BA) C=EC=C需证明B=C（证明唯一性常用同一法）又注：适当乘上单位阵E，并将E表示成一个矩阵与其逆阵乘积的形式，是一种常用的技巧。单位阵技巧3.定理：若A可逆，则A的逆阵唯一。三、逆阵存在的充分必要条件1.定理：若A可逆，则 . 0|A注：如果 ，则称A是非奇异的，否则称A是奇异的。0|AijA2.伴随矩阵：设An=（aij），令Aij是A的行列式|A|中元素aij的代数余子式，将这n2个数排成如下n阶方阵:nnnnnnaAAAAAAAAA212221212111*（注意 中Aij 的排列）*A称之为A的伴随矩阵。例：求 的伴随矩阵。343122321A3

4、41211A331212A同理可得：, 2, 6, 6, 223222113AAAA, 2, 5, 4333231AAA解：, 2, 3 A所以：2326624520|A*1|1AAA3.定理：设A为n阶方阵，若 ，则A可逆，且： 111一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和 |1AnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaA212221212111212222111211|1|A|000|A|0|A|00一行元素与对应代数余子式乘之和同理：EAAA)|1(E)|1(AAA)(|1AAA证明：例：求 的逆矩阵。343122321A解：343122321A20A1存在，,22

5、2563462A故AAA11.11125323231注:求逆阵需注意:1.Aij的符号(-1)i+j;2. 中Aij的排列。*A4.定理：方阵A可逆0|A推论：若A、B都是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E，即A、B皆可逆, 且A、B互为逆矩阵。证明：因为AB=E，所以|A|B|=1，|A|0, |B|0,故 A、B皆可逆。BA=EBA=(A1A)BA =A1(AB)A =A1EA =A1A=E注：1.判断B是否为A的逆, 只需验证AB=E或BA=E的一个等式成立即可。2.逆矩阵是相互的。即：若A1=B，则B1=A.（课本54页推论1）练习：1.求 的逆矩阵。121011322A答案：1.461

6、3513411A（其中|A|=1）2.设A、B都是n阶方阵，B可逆，且A2+AB+B2=O，证明：A和A+B均可逆。2.提示：只需证明0, 0BAA把A2+AB+B2=O改写为A(A+B)=B21)(A思考：AA|1四、逆阵的性质1.若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1=A.2.若A可逆，数 ，则kA也可逆，且：0k111)(AkkA3.若A可逆，则AT也可逆，且 (AT)-1= (A -1)T.4.若A、B为同阶可逆方阵，则其积AB也可逆，且: (AB)-1= B-1A-1推广：11121121)(AAAAAAkk5.若A可逆，|A1|=|A|1，(AB)-1 A-1B-1注：一般的，(kA

7、)-1 kA-1例：设 求矩阵X，使 AX=B.,121011322A,231221B0A分析：法一：待定系数法若法二：，则A可逆，由 AX=B可得：X=A1B461351341231221162313181216注：若YA=B，则Y=BA1.例：矩阵A、B满足AB=2A+B，求A，其中：321011324B分析： AB=2A+B AB2A=B A(B2E)=B若|B2E|0 ，则A=B (B2E)1容易错为 A(B2)=BA=B (B2E)132101132411210113223210113244613513419122692683练习：用逆矩阵解线性方程组3 22 1 2 2 3232121321xxxxxxxx223321xxxX答案：思考：若A、B均可逆，那么A+B可逆吗？ 不一