孙训方材料力学03扭转

1、材材 料料 力力 学学材材 料料 力力 学学2第三章第三章 扭转扭转3- -1 概述概述3- -2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3- -3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3- -4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 强度条件强度条件3- -5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件3- -6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能3- -7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形材材 料料 力力 学学工程实例工程实例3- -1 概概 述述材材 料料 力力 学学汽车传动轴汽车传动轴从动轮从动轮主动轮主动轮从动

2、轮从动轮nMe2Me1Me3材材 料料 力力 学学汽车方向盘汽车方向盘材材 料料 力力 学学6变形特点：变形特点： . . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；相邻横截面绕杆的轴线相对转动； . . 杆表面的纵向线变成螺旋线；杆表面的纵向线变成螺旋线； . . 实际构件在工作时除发生扭转变形外，实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形还伴随有弯曲或拉、压等变形。第三章第三章 扭转扭转MeMe受力特点受力特点: 杆件的两端作用两个杆件的两端作用两个大小相等大小相等、转向相反转向相反、且、且作作用面垂直于杆件轴线用面垂直于杆件轴线的力偶。的力偶。材材 料料 力力 学学杆件的任意两个

3、横截面都发生绕轴线的相对转动。杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。圆轴扭转变形圆轴扭转变形材材 料料 力力 学学83- -2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒薄壁圆筒通常指通常指 的圆筒的圆筒100r 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩力偶矩扭矩扭矩eMT 第三章第三章 扭转扭转材材 料料 力力 学学9薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转第三章第三章 扭转扭转（1 1）薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了）薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了，这种直，这种直角改变量称为角改变量称为切应变。切应变。（2 2）该圆筒两个断面之间绕

4、圆筒轴线相对转动了）该圆筒两个断面之间绕圆筒轴线相对转动了角，这角，这种角位移称为种角位移称为相对扭转角。相对扭转角。材材 料料 力力 学学实实 验验应力分析应力分析dxxMeMe实验现象实验现象（1 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；只是绕轴线作了相对转动；（2 2）各纵向线均转动了同一微小角度）各纵向线均转动了同一微小角度 ；（3 3）所有矩形网格均变成平行四边形。所有矩形网格均变成平行四边形。材材 料料 力力 学学推推 论论（1 1）横截面上无正应力，）横截面上无正应力， 只有切应力；只有切应力；（2

5、 2）切应力方向垂直半径）切应力方向垂直半径 或与圆周相切。或与圆周相切。dx ABDCMeMe （3 3）对于薄壁圆筒，可认为切）对于薄壁圆筒，可认为切 应力沿壁厚均匀分布；应力沿壁厚均匀分布； （4 4）圆周上所有点处的切应力）圆周上所有点处的切应力 相同。相同。T材材 料料 力力 学学12. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式TrAAd02 AT引进，上式可写作引进，上式可写作200rA 20000(2)2dATTTrrrrA0dArAT第三章第三章 扭转扭转T材材 料料 力力 学学13. . 剪切胡克定律剪切胡克定律第三章第三章 扭转扭转 在认为切应力沿壁

6、厚均匀分布的情况下，切应变也是在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，不沿壁厚变化的，故有故有/r l注意：注意：此处此处 r 为薄壁圆筒的为薄壁圆筒的外半径外半径。材材 料料 力力 学学三个弹性常数的关系三个弹性常数的关系可推出可推出 与与 间的线性关系：间的线性关系：该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律G G 剪切剪切( (切变切变) )模量模量02TAG2(1)EGO薄壁圆筒的扭转试验发现：薄壁圆筒的扭转试验发现：rlT材材 料料 力力 学学思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变2 切应变为切应变为切应变为切应变为0 材材 料料 力

7、力 学学163-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图. . 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，作用于某一当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在轮上的外力偶在t 秒秒钟内所作功等于外力钟内所作功等于外力偶之矩偶之矩Me 乘以乘以轮在轮在t 秒钟内的转角秒钟内的转角a a 。第三章第三章 扭转扭转从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nMe2Me1Me3P P 轴传递的功率轴传递的功率(kW)(kW) n n 轴的转速轴的转速( r/min )( r/min )Me材材 料料 力力 学学17 因此，外力偶因此，外力偶M Me e每秒钟所作功，即每秒

8、钟所作功，即该轮所传递的功率为该轮所传递的功率为3radkweN ms3eN m/3/mineN m 10 10 2 1060rad srPMtMnM作用于每一轮上的外力偶矩：作用于每一轮上的外力偶矩：33kwkweN m/min/min 1060 9.55 102 rrPPMnn第三章第三章 扭转扭转Me材材 料料 力力 学学18. . 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩传动轴横截面上的扭矩T T 可利用可利用截面法截面法来计算。来计算。第三章第三章 扭转扭转T = MenABnmnm(a)MeMeIIMeT材材 料料 力力 学学19 扭矩的正负可按扭矩的正负可按右手螺旋法右手螺

9、旋法则确定：扭矩矢量离开截则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。面为正，指向截面为负。第三章第三章 扭转扭转mITImIITmITImIIT正正负负材材 料料 力力 学学20例题例题3 3- -1 1 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速 ；主动轮输入；主动轮输入的功率的功率P P1 1= 500 kW= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：，三个从动轮输出的功率分别为：P P2 2= = 150 kW150 kW，P P3 3= 150 kW= 150 kW，P P4 4= 200 kW= 200 kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 300minrn 第三章第三章 扭转扭转材

10、材 料料 力力 学学2133e15009.55 1015.9 1015.9300MN mkN me2e3e44.786.37MMkN mMkN m材材 料料 力力 学学22ABCDMe4Me1Me3Me2BCxT2Me2Me32239.56eeTMMkN m00232TMMMeex22材材 料料 力力 学学231234.789.566.37TkN mTkN mTkN m mNT 9560max+4780N.m9560 N.m6370N.mABCDMe4Me1Me3Me2同理同理材材 料料 力力 学学24思考：思考：如果将从动轮如果将从动轮D D与与C C的位置对调，试作该传动轴的扭的位置对调，

11、试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？矩图。这样的布置是否合理？第三章第三章 扭转扭转材材 料料 力力 学学25第三章第三章 扭转扭转15.94.786.37 4.78材材 料料 力力 学学263- -4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件. . 横截面上的应力横截面上的应力第三章第三章 扭转扭转观察变形观察变形提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系材材 料料 力力 学学1、变形现象、变形现象 （1 1）轴线仍为直线，且长度不变；）轴线仍为直线，且长度不变；（2

12、 2）横截面仍为平面且与轴线垂直；）横截面仍为平面且与轴线垂直；变形几何关系变形几何关系（3 3）纵向线保持为直线，只是绕轴）纵向线保持为直线，只是绕轴 线旋转。线旋转。2 2、平面假设、平面假设 假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动材材 料料 力力 学学aabO1O2dxb28横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律第三章第三章 扭转扭转TTADDdGEGdtand GGxEG材材 料料 力力 学学29xdd 式中式中 相对扭转角相对扭转角沿杆长的变化率，常用沿杆长的变化率，常用 来表示，对于给定的横截面为来

13、表示，对于给定的横截面为常量。常量。xdd第三章第三章 扭转扭转bbTTO1O2d GGDDaadxAE材材 料料 力力 学学30物理方面物理方面第三章第三章 扭转扭转ro 同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力 均相同，且其值与均相同，且其值与 成正比，成正比， 与半径垂直。与半径垂直。由剪切胡克定律由剪切胡克定律GxGGddmax材材 料料 力力 学学rOdAdAT静力关系静力关系 公式的建立公式的建立TAAdTAxGAdddTAxGAddd2p2dIAApddGITx 代入物理关系中得到代入物理关系中得到PITT 横截面上的扭矩横截面上的扭矩 求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距

14、离Ip 横截面对圆心的极惯性矩横截面对圆心的极惯性矩材材 料料 力力 学学32pppmaxWTrITITrpITTmaxmaxd式中式中Wp称为称为扭转截面系数扭转截面系数，其单，其单位为位为 m3。横截面周边上各点处横截面周边上各点处 r) )的最大的最大切应力为切应力为第三章第三章 扭转扭转TmaxmaxdD材材 料料 力力 学学33实心圆截面实心圆截面：32042d32dd 圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩Ip 和扭转截面系数和扭转截面系数Wp第三章第三章 扭转扭转162/3ppddIWAAId2p材材 料料 力力 学学34空心圆截面：空心圆截面：DdDdDAIDdA其中44442232

15、p13232 d2d第三章第三章 扭转扭转4344pp116162/DDdDDIW材材 料料 力力 学学【练习练习】图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径 D=100mm，内径，内径d=80mm， M1=6kNm，M2=4kNm，材料的切变模量，材料的切变模量G=80GPa。（1） 作轴的扭矩图；作轴的扭矩图；（2） 求轴的最大切应力及其位置。求轴的最大切应力及其位置。M1M2ABCll材材 料料 力力 学学解解:（1）作轴的扭矩图）作轴的扭矩图Me1Me2ABCllBC段段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2 =2kNm AB段段T1 = -4kNm最大

16、扭矩发生在最大扭矩发生在BC段段|T|max=4kNm4kNm2kNm+_材材 料料 力力 学学T（2）求轴的最大切应力及位置）求轴的最大切应力及位置 max 最大切应力发生在截面的最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径。周边上，且垂直于半径。maxmaxpTWM1M2ABCllMPa5 .34)1 (1643maxDT max材材 料料 力力 学学38可得：可得：切应力互等定理切应力互等定理Mz=0，第三章第三章 扭转扭转dddd ddyzxxzyxydydzabdzdxc材材 料料 力力 学学39 现分析现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面

17、 ef ( (如图如图) )上的应力上的应力。. . 斜截面上的应力斜截面上的应力第三章第三章 扭转扭转xydydzabdzdxc an bcdef材材 料料 力力 学学40分离体上作用力的平衡方程为分离体上作用力的平衡方程为0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0AAAFAAAF利用利用 ，经整理得经整理得2cos,2sin第三章第三章 扭转扭转bef材材 料料 力力 学学41 单元体的四个侧面单元体的四个侧面( = 0和 = 90)上切应力的绝对上切应力的绝对值最大；值最大； =-45和和 =+45截面截面上切应力为零，而正应力的绝上切应力为零，而正应力

18、的绝对值最大；对值最大；min45max45第三章第三章 扭转扭转2cos,2sin讨 论材材 料料 力力 学学42第三章第三章 扭转扭转低碳钢扭转试验低碳钢扭转试验铸铁扭转试验铸铁扭转试验材材 料料 力力 学学43 思考：思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图别如图a a及图及图b b所示，试问为什么它们的断口形式不同？所示，试问为什么它们的断口形式不同？第三章第三章 扭转扭转（a）（b）低碳钢低碳钢铸铁铸铁材材 料料 力力 学学44 例题例题3 3- -2 2 实心圆截面轴实心圆截面轴( (图图a a) )和空心圆截面轴和空心圆截面

19、轴( (图图b) b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上种圆轴在横截面上最大切应力相等最大切应力相等的情况下，的情况下，D D2 2与与d d1 1之比以之比以及两轴的重量比。及两轴的重量比。8 . 0/22Dd第三章第三章 扭转扭转材材 料料 力力 学学4531e1pe1p1max, 116dMWMWT432e2pe2p2max, 2116DMWMWT解：4322p311p116,16DWdW第三章第三章 扭转扭转194. 18 . 0113412dD由1,max=2,max，并将 0.8代入得材材 料料 力力 学学46两轴的重量比

20、即为其横截面面积之比：两轴的重量比即为其横截面面积之比：512. 08 . 01194. 1144222122221222212dDddDAA第三章第三章 扭转扭转材材 料料 力力 学学47. 强度条件强度条件第三章第三章 扭转扭转1 1、数学表达式、数学表达式2 2、强度条件的应用、强度条件的应用强度校核强度校核设计截面设计截面确定许可荷载确定许可荷载maxmaxp TWmaxp TWmaxp TWmaxp TW材材 料料 力力 学学48【练习练习】图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120 mm，BC段直径段直径d2=100 mm。扭转力偶矩扭转力偶矩MA =22 kNm

21、，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力材料的许用切应力 80 MPa。试校核该轴的强试校核该轴的强度。度。第三章第三章 扭转扭转ABCMAMBMC材材 料料 力力 学学49BC BC 段内段内MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WTAB AB 段内段内MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WT解：解：1. 1. 绘扭矩图绘扭矩图 2. 2. 求每段轴的横截面求每段轴的横截面上的最大切应力上的最大切应力第三章第三章 扭转扭转+2214ABCMAMBMC材材 料料 力力 学学503. 3. 校核强度校核强度 需要指出的