第5章 控制系统的稳定性分析

1、自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5.1 5.1 系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念 5.2 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 5.3 5.3 代数稳定性判据（代数稳定性判据（RouthRouth判据判据）判据判据） 5.4 5.4 乃奎斯特稳定性判据（乃奎斯特稳定性判据（NyquistNyquist判据）判据） 5.5 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6 5.6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 5.7 5.7 控制系统的相对稳定性控制系统

2、的相对稳定性 * *5.8 5.8 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5.1 5.1 系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念acbd稳稳定定的的摆摆不不稳稳定定的的摆摆自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a) 外加扰动注意：以上定义只适注意：以上定义只适用于线性定常系统。用于线性定常系统。稳定性的定义稳定性的定义( )x t0t控制系统( )x t( )y t自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论注意：注意：稳定性是控制系统自

3、身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。(b) 稳定(c) 不稳定自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论大范围稳定大范围稳定: :不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。（a a） 大范围稳定大范围稳定A AB B自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论（b b）小范围稳定）小范围稳定小范围稳定小范围稳定: :当扰动引起的初始偏差在一定范围内，当扰动取消后，系统能够恢复到原有的平衡状态；而扰动引起的初始偏差超出其范围内，当扰动取消后，系统不能够恢复到原有的平衡状态。a ab bc cd de e自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理

4、 论（C C）不稳定）不稳定A AB B不稳定不稳定: :只要扰动引起一点初始偏差，当扰动取消后，系统也不能够恢复到原有的平衡状态。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因原因：(1) 在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或线性化； (2) 实际系统参数的时变特性； (3) 系统必须具备一定的稳定裕量。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5.2 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件系统的稳定性系统的稳定

5、性 关于系统运动的稳定性理论，是俄国学者李亚普诺夫（. . ）于1892年确立的。 线性定常系统，在脉冲扰动的作用下，系统的运动随着时间的增长，可以逐渐趋于零，则称该系统是稳定的（系统（渐近）稳定）。否则系统是不稳定的。定义：定义：若系统在初始偏差作用下若系统在初始偏差作用下, ,其过渡过程随时间其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的性能，则称该系统为渐近稳定性能，则称该系统为渐近稳定, ,简称稳定。反之为不简称稳定。反之为不稳定。稳定。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论1110111011.( )( )( )( ).

6、( )( )()()()mmmmnnnnKrnijjjjijb sbsb sbC sM ssR sa sasa saD sB saspsjsj设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为: :理想脉冲函数作用下 R(s)=1。对于稳定系统，t 时,输出量 c(t)=0。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论11( )(cossin)jikrtptijjjjijc tceeAt Bt由上式可知，如果系统稳定，应有：11( )( )( )( )()()krjjiijijjjjscBsC sRsDss psjsj0 c(t)=0t ，即：0 0ijp，自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理

7、论系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即：系统闭环传递函数的极点全部在S平面左半部。111011( )()()()0nnnnKknijjjjijD sa sasa saaspsjsj系统特征方程系统特征方程自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论3P2P1P4P5PnPS平面jO稳稳定定区区不不稳稳定定区区临临界界稳稳定定mIeRS S平面平面注：注：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5.3 5.3 代数稳定性判据代

8、数稳定性判据10110nnnna sa sasa不用求解代数方程的根，基于各次项的，来判别系统的方法称为代数稳定性判据代数稳定性判据。5.3.1 5.3.1 劳斯稳定判据劳斯稳定判据系统的特征方程要使特征方程的根全部具有负实部的必要条件：（1）特征方程的各项系数（2）特征方程的各项系数的符号全部相同 即：特征方程的各项系数全部大于0。0 (012)iain， ，自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论02411352123312311201nnnnsaaasaaasbbbscccsvvsw充分条件充分条件：“劳斯阵列”第一列所有项全部为正。劳斯阵列劳斯阵列021311aaaaba 0415

9、21aaaaba 131211aabbcb 注：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实部根的个数。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例】：特征方程为 ， 试判断稳定性。22100a sa sa【解】：劳斯阵为：210sss201100aaaba所以二阶系统二阶系统稳定的充要条件是：v 均大于零210,aa a自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例】：特征方程为 ， 试判断稳定性。0012233asasasa【解】：劳斯阵为：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa三阶系统稳定的充要条件：v 均大于零0123,aaaa00321aaaav且自 控 控

10、 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例】 已知特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解解 作劳斯表如下 43223450ssss12 34 112b 22 50 152b 第一列中有出现，不全部大于零，所以系统不稳定。432101352415605sssss11 45 261c 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论两种特殊情况两种特殊情况特殊情况一特殊情况一02s3s3ss) s (D234【例】【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件2s023s2)(0s031s231s01234特殊情况：第一列出现0。解决方法：用任意小正数代之。第一列符号改变2次，有2个正实根。自 控

11、控 制 理 论自 控 控 制 理 论4321014163120( )161248016sssss【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件432( )3412160D sssss【例】第一列符号改变2次，有2个正实根。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论特殊情况二特殊情况二5432( )55660D ssssss【例】【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件543210411561560005/262/506ssssss（）（ ）特殊情况特殊情况：有一行元素全为0。解决方法解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。42( )560A sss31( )4

12、100dA sssds2js2, 13js4, 31s5第一列全为正，第一列全为正，临界稳定临界稳定, ,解解A(sA(s) )可可得虚根得虚根自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论32100112202ssss（4）【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件32( )2120D ssss【例】D(s)=s2(s+2)+(s+2)=(s+2)(s2+1)第一列全为正，无正实根，有虚根,临界稳定。s1=j, s2=-j, s3= -2 ()4d Assd sA(s)=2s2+2自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论劳斯表出现零行劳斯表出现零行2( )10A ss 特征方程为：特征方程

13、为： 由零行的上一行构成辅助方程由零行的上一行构成辅助方程 有大小相等符号相反的特征根有大小相等符号相反的特征根时会出现零行。时会出现零行。对其求导得零行系数方程对其求导得零行系数方程: :继续计算劳斯表继续计算劳斯表第一列全大于零，则系统稳定第一列全大于零，则系统稳定由综合除法可得另两个根为由综合除法可得另两个根为S S3 3，4 4= -2= -2，-3-3 解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根: : S S1 1，2 2= =j j43257560ssss 43210117600110121sssss（ ）20s 自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论劳斯阵列出现全零行:系统在系统

14、在s s平面有对称分布的根平面有对称分布的根大小相等符号相反的根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例】设系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。【例】系统的闭环传递函数为32( )( )( )(1)(2)32oiXsKKsX ss ssKsssK根据三阶系统稳定的充要条件：v 均大于零0123,aaaa00321aaaav且0066KKK【解】系统的特征方程32320sssK自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论32(2)( )23(1)2K ssssKsK【例例】已知系统的开环传递函数(2)( )(1)(21)K sG ss ss试确定闭

15、环系统稳定时参数K的取值范围。【解】系统的闭环传递函数特征方程32( )23(1)20D sssKsK自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论3(1)43KKK特征方程32( )23(1)20D sssKsKK+10 即 K -1,同时要满足 K 0, K 3，所以稳定范围：0 K 0， f顺时针包围原点 N=1 时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈 N=-1，而P=1，则Z=N+P=0 闭环系统是稳定的。2）当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。3）当k0）则无论开环传递函数G(s)H(s)有无右极点,闭环系统总是不稳定的（Z=P

16、+N0）。 综上，开环奈氏曲线是否包围GH平面的(-1,j0) 点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存在s平面右半部的开环极点和开环奈氏曲线包围（-1,j0 ）点的方向）。当开环奈氏曲线恰好通过GH平面的（-1,j0 ）点（注意不是包围），此时如果系统无位于s平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论最小相位系统最小相位系统 系统稳定的充要条件为：奈魁斯特曲线不包围(-1+j0)点。原点处有开环极点情况原点处有开环极点情况 原点有个开环极点： 0 时，复变函数G(j)H(j)在原点处不解析，幅角增量值不定。 处理方法如图。作无穷小半圆

17、饶过原点，即将原点处的开环极点视为s左半平面的极点(左极点) 处理, 系统稳定的充要条件为：奈魁斯特曲线不包围(-1+j0)点。+0jS 平面0dRe=0+ImG(j)H(j)平面平面 0 增补角增补角 增补线增补线自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 3）非最小相位系统）非最小相位系统当系统开环传递函数G(s)H(S) 有P个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线GH 逆时针包围(-1,j0 )点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（-N=P），则闭环系统是稳定的(Z=P+N=0 ），否则是不稳定的。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 5.4.5 5.4.5 简易简

18、易奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 （1）正、负穿越的概念G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画=0的部分。所谓“穿越”是指G(j)H(j)曲线，从=0时穿过负实轴（-1，- ）段。正穿越正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 N+表示。负穿越负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N- 表示。正穿越正穿越负穿越负穿越0(1，j0)ImRe+-0(1，j0)ImRe自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 N+=2N+=2，N-=1N-=1自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 若G(j)H(j)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+

19、 1/2 次穿越和-1/2次穿越。奈魁斯特稳定判据：奈魁斯特稳定判据：闭环系统稳定的充要条件是，当由0变化到时，G(j)H(j)曲线在(-1，j0)点以左的负实轴上的正负穿越之差为P/2。（P为开环传递函数在s右半平面的极点数）N+-N- = P/2实际上曲线逆时针绕实际上曲线逆时针绕(-1,j0)点圈数点圈数R=2(N+- N-)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论【例例】 某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。【解解】系统有2个开环极点分布在s的右半平面(P=2)，G(j)H(j) 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越

20、，1次负穿越，因为： N+-N_= 2-1=1=P/2，所以系统稳定。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 【例例】系统的开环频率特性如下图所示，试分析系统稳定性。【解解】a）N+=0，N-= 1，N+- N-=-1P/2=0，系统不稳定。b）K1时，N+=1， N-= 1，N+- N-=0 =P/2，系统稳定。 K1时，就相当时，就相当于开环伯德图于开环伯德图L()0dB；A()1时，就相当于开环伯时，就相当于开环伯德图德图L()0dB。这样，把图这样，把图5-34转换成伯德转换成伯德图时，其单位圆相当于对数图时，其单位圆相当于对数幅频特性的幅频特性的0dB线，而线，而g点点处相当于

21、对数相频特性的处相当于对数相频特性的-轴。轴。如果开环特征多项式没有右半平面的根，且在如果开环特征多项式没有右半平面的根，且在L()0的所的所有角频率范围内，相角范围都大于有角频率范围内，相角范围都大于 -线，那么闭环系统是线，那么闭环系统是稳定的稳定的。(图中曲线1稳定,曲线2不稳定)自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 5.5 5.5 对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：极坐标图极坐标图 单位圆 单位圆以内区域(幅值1) 负实轴伯德图伯德图 0db线（幅频特性图） 0db线以下区域 0db线以上区域 -180

22、线（相频特性图） 因此，奈魁斯特曲线自上而下（或自下而上）地穿越 （-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L()0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论ReIm = 0+12c4 =-1L()0()12c40-90-1800(1，j0)ImRe+-+-0-180()自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论由伯德图判断闭环系统稳定由伯德图判断闭环系统稳定在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对开环对数相频特性曲线对 - - 线线的正、负穿越次数之差为P/2 。即 N+N-=P/2 。 P 为系统开环传递函数

23、位于S右半平面的极点数。 20lg()()0G jH j自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论例例 系统的开环对数频率特性如下图，试判别开环系统的稳定性。解：N+=1， N-=2， N+-N-=-1P/2=1 系统闭环不稳定。解：N+=2， N-=1， N+-N-=1=P/2 系统闭环稳定。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论5.6 5.6 频域稳定裕度频域稳定裕度 稳定裕度稳定裕度衡量是反映闭环系统稳定程度（相对稳定性）的指标。稳定性裕度可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。 稳定裕度常用相位裕度 和幅值裕度Kg来衡

24、量。 1 1）相位裕度）相位裕度 剪切频率剪切频率 c ：开环幅相曲线上，幅值为1时的频率称为剪切频率。 即 )0(1| )j(H)j(G|)j(Acccc 相角裕度相角裕度 ： = 180 + ( c )物理意义物理意义：若系统剪切频率c处的相位滞后再增加角，系统处于临界稳定。自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 2 2）幅值裕度）幅值裕度Kg ( ( 或或h) ) 相角交界频率相角交界频率 g：开环幅相曲线上，相角为-180点的频率称为相角交界频率。即)0(180)j(H)j(G)(gggg 幅值裕量幅值裕量Kg ：开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，记为：物理意义物

25、理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。A(g)=1/Kg自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论L(）0(）-90-180-270Kg(db)0gc 0L(）0(）-90-180-270Kg(db)0gc 1 或 Kg (dB)0， 0。 一般，为了确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。 工程上，一般取：自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论)25s2s( s40)s(H)s(G2 )2j25(j40)j(H)j(G2 2224)25(401)(A 3 3）相角裕度和幅值裕度的求解方法）相角裕度和幅值裕度的求解

26、方法 通常有三种求解系统相位裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和伯德图法。 (1)(1) 解析法解析法【例例】 已知最小相位系统的开环传递函数为 试求出该系统的幅值裕度和相位裕度。【解解】 系统的开环频率特性为幅频特性自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论0g180)( 5g 5 .8082. 12582. 12arctg90)j(H)j(G1802cc 25. 1)j(H)j(G1Kggg )dB(94. 125. 1lg20)dB(Kg 82. 1c 1)(Ac 令解得令解得2cc10252tg90)( 相频特性自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论(3) Bode图法图法自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论(2) (2) 极坐标图法极坐标图法 gK1mIeRGH0gc1 01jjA自 控 控 制 理 论自 控 控 制 理 论 稳定裕度说明稳定裕度说明u稳定裕度定义只适用于最小相位系统只适用于最小相位系统。 非最小相位系统非最小相位系统，由于情况不唯一，没有实用意没有实用意义。义。u稳定裕度可以作为频域性能指标使用。可以用于系统分析，也可以用于系统设计指标使用。u稳定裕度又可成为相对稳定性指标。u部分情况下，幅值裕度