高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用习题课

1、1第三章 微分中值定理与导数的应用习 题 课教学要求典型例题2一、教学要求一、教学要求1. 理解罗尔理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)2. 了解柯西了解柯西(Cauchy)定理和泰勒定理和泰勒(Tayloy)定理定理.3. 理解函数的极值概念理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数掌握用导数判断函数定理定理.的单调性和求极值的方法的单调性和求极值的方法.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课3 5. 会用洛必达会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限法则求不定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算

2、曲率和了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径曲率半径. 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形会描绘函数的图形(包括水平包括水平,铅直和斜渐近线铅直和斜渐近线).第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课4)()(bfaf 1 1. .微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 0)( f)()()()()()( FfaFbFafbf 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )()()(bfafxxF 10)1()

3、()!1(1 nnxxfn 柯西中值定理柯西中值定理 xxF )( 泰勒中值定理泰勒中值定理 nnxxxfn)(!100)( 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课 ( )f bf afba000( )f xf xfxxx0n 52. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(3) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(4) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课6利用利用一般解题

4、方法一般解题方法: :证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在, ,若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数, ,可考虑用可考虑用若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数, ,若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值, ,3 3. .有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数. .(2)柯西中值定理柯西中值定理. .中值定理中值定理. .(3)(4)有时也可考虑有时也可考虑多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式, ,逆向思维逆向思维, ,设设辅助函数辅助函数. .多用多用罗尔定

5、理罗尔定理, ,必须必须多次应用多次应用对导数用中值定理对导数用中值定理. .第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课7(1) 研究函数的性态研究函数的性态: :增减增减, ,极值极值, ,凹凸凹凸, ,拐点拐点, ,渐近线渐近线, ,曲率曲率(2) 解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立目标函数的建立 最值的判别问题最值的判别问题(3)其他应用其他应用: :求不定式极限求不定式极限; 几何应用几何应用;相关变化率相关变化率; 证明不等式证明不等式; 研究方程实根等研究方程实根等. .4.4.导数应用导数应用第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定

6、理与导数的应用 习题课习题课8二、典型例题二、典型例题在在)(xf),(ba内可导内可导, ,且且,)(Mxf 证明证明在在内有界内有界. . 证证, ),(0bax 再取异于再取异于0 x的点的点, ),(bax 在以在以xx ,0为端点的区间上用为端点的区间上用)()()(00 xxfxfxf )(0之间之间与与介于介于xx )()(0abMxf K 定数定数对任意对任意, ),(bax ,)(Kxf 即证即证. .例例)(xf),(ba取点取点拉氏定理拉氏定理, ,)()()(00 xxfxfxf 00)()(xxfxf 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习

7、题课习题课( )f x9在在)(xf 1 ,0内可导内可导, ,且且,0)1( f证明至少存在一点证明至少存在一点 )(2)(ff , )1 ,0( 使使上连续上连续, ,在在)1 ,0(问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数)()(2xfxxF )(xF用用罗尔定理罗尔定理, , )1 ,0( 使使即有即有例例证证上上在在1 , 0 )(2)(ff 分析分析0 )(2xfx x第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课( )2 ( )0ff 2( )2( )0Fff10在在)(xf,ba内可导内可导, ,且且,0ba 试证存在试证存在).(2)( fb

8、af ),(,ba 使使上连续上连续, ,在在),(ba例例欲证欲证,2)()( fbaf f (x)在在 a , b 上用上用故有故有, )()()(abfafbf 即要证即要证.2)()( ff 证证)(ab 22ab ),(ba 又又 f ( x )及及2x在在 a , b 上用上用 22)()(abafbf将将(1)代入代入(2), ,化简得化简得故有故有).,(,ba 拉氏定理拉氏定理, ,柯西定理柯西定理, , )(2)( fbaf ),(ba ,2)( f )(xf )(2 x x(1)(2)第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课11例例.)

9、()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设证证10 baa 介值定理介值定理,)(baaf ),1 , 0( 存在存在在在)(xf1 , , 0 上分别用上分别用使得使得拉氏定理拉氏定理,),()0()0()( fff ),()1()()1( fff (1)(2), 0( )1 ,( 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课12),()0()0()( fff ),()1()()1(

10、fff 由由(1),有有)()(1bafbbafa )( fbaa 1)( fbab 得得 .)()(bafbfa (1)(2)由由(2),有有), 0( )1 ,( baaf )( .)()(,)1 ,0(,:, 1)1(,0)0(,)1 ,0(,1 ,0)(bafbfabaffxf 使使内内存存在在不不同同的的在在对对任任意意给给定定的的正正数数试试证证且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课13, sBA两地间的距离为两地间的距离为、设设地地今有一汽车从今有一汽车从A.,地停下地停下在在经过时间经过时间开出作直线

11、行驶开出作直线行驶BT在该时刻汽车加速度在该时刻汽车加速度时刻时刻在行驶过程中必有某一在行驶过程中必有某一,.42Ts的绝对值不小于的绝对值不小于提示提示 设路程函数为设路程函数为),(tss 起始速度为起始速度为0, 即即; 0)0( s终止速度为终止速度为0,即即. 0)( Ts例例证证一阶泰勒公式一阶泰勒公式 )(ts t 10 21)0(! 2)()0(! 1)0()0( tstss 处展开处展开在在, 0)( tts )(ts22)(! 2)()(! 1)()(TtsTtTsTs Tt 2 )4|(|2Tsa T证明证明:第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用

12、 习题课习题课14 )(ts t 10 21)0(! 2)()0(! 1)0()0( tstss )(ts22)(! 2)()(! 1)()(TtsTtTsTs Tt 2 2Tt )2(Ts21)2(! 2)()0(Tss )2(Ts22)2(! 2)()(TTsTs 22)2(! 2)()(TsTs (1)(2) 相减相减2122! 2)()()0()(0 TsssTs )()(21232 ssTs 24|Tsa )()(8212 ssTs )1()2( 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课15)()(8212 ssTs 24|Tsa | )(| |,

13、)(|21 ss 记为记为|2 a24|Tsa 所以所以,max 2第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课12|( )|()|ss16例例,)(,)(的两个零点之间的两个零点之间试证在试证在可导可导若若xfxf一定一定.0)()(的零点的零点有有 xfxf分析分析 构造辅助函数构造辅助函数F(x),( ) ( )( ),xF xef xfx使则问题转化为则问题转化为)(xF 的零点存在问题的零点存在问题.证证 设设),()(xfexFx 设设, 0)(, 0)(21 xfxf,21xx 罗尔定理罗尔定理),(21xx 使得使得)()()( fefeF 0)

14、()( ffe, 0 e因此必定有因此必定有. 0)()( ff第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课17,0)0( f且在且在),0 上上)(xf 存在存在, ,并并单调递减单调递减, ,证明对一切证明对一切0,0 ba有有)()()(bfafbaf 证证, )()()()(xfafxafx 则则0)0( )()()(xfxafx )0(0 x所以当所以当0 x时时, ,)(x 0)0( 令令,bx 得得即所证不等式成立即所证不等式成立. .设设例例设设第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课 ()( )( )0bf

15、abf af b18例例.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x 551x)()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx 原式原式.21 51)51(x )1()(21 lim2220 xxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课19例例).0(,11)11ln( xxx证证 法一法一 用单调性用单调性设设xxxf 11)11ln()(即即xxxxf 11ln)1ln()(由由 2)1(

16、1111)(xxxxf2)1(1xx , 0 ,0时时当当 x)(xf证明不等式证明不等式 xxxfxx1111lnlim)(lim0 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课20,0时时当当 x可知可知, 0)( xf即即).0(,11)11ln( xxx法二法二 用拉格朗日定理用拉格朗日定理).0( ,11)11ln( xxx证明证明设设,ln)(xxg 1, xx拉格朗日定理拉格朗日定理 xxln)1ln(1 xx ),1(1xx ,111x 由由得得).0(,11)11ln( xxx即即 xxln)1ln(x 11第三章第三章 微分中值定理与导数的应

17、用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课21例例 判断方程判断方程0|2| xex有几个实根有几个实根, 并指出各个根所在的区间并指出各个根所在的区间.解解 (1)即即,02时时当当 x, 2 x02 xex设设, 2)( xexfx, 1)( xexf令令, 0)( xf得驻点得驻点0 x唯一的驻唯一的驻点点xexf )(又又0 所以所以,0 x是最小值点是最小值点,最小值为最小值为, 1)0( f,0 , 2上上在在 , 01)0( f. 0)2(2 ef第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课22,)0 , 2(内内又在又在 , 0)( xf所以所以,

18、.)0 , 2()(内有一实根内有一实根在在因而因而 xf2lim)(lim xexfxxx 21 limxxxxeexe ,), 0()(内有实根内有实根在在故故xf,), 0(内内又在又在, 0)( xf,0 , 2)(单减单减在在 xf所以所以,), 0)(单增单增在在xf.), 0()(内内有有一一实实根根在在因因而而 xf(2)自己证自己证!, 2)( xexfx1)( xexf,02时时当当 x第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课23例例1994年考研数学二年考研数学二, 9分分,11,02仅有一个解仅有一个解方程方程时时设设 xkxx.的取

19、值范围的取值范围求求k解解11)(2 xkxxf设设,0时时当当 k,), 0(内内在在, 0)( xf)(xf )(lim0 xfx又又且且且且, 0 x,0时时当当 k,0时时当当 k其图形必与其图形必与x轴有一个交点轴有一个交点.112有唯一的根有唯一的根方程方程 xkx所以所以,0时时当当 k, 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课32( ),fxkx46( )fxx21lim( )lim11xxf xx lim( )xf x 24第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课得得令令,20kx 3,6)(4xxf

20、, 0)(0 xf所以所以)(xf有极小值有极小值k23k k23221 k3,11,02仅有一个解仅有一个解方程方程时时设设 xkxx.的取值范围的取值范围求求k32)(xkxf 11)(2 xkxxf, 0)( xf所以所以, .f令令k23 f1 0 . 392 k,392时时当当 k函数图形与函数图形与x轴轴相切相切,3920时时当当 k函数图形与函数图形与x轴无交点或有两个交点轴无交点或有两个交点.,0时时当当 k又又综上所述综上所述,11,02仅有一个解仅有一个解方程方程时时若若 xkxx. 392 k0 k或或则则25例例.,12并作函数的图形并作函数的图形渐近线渐近线拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数 xxxy解解:定定义义域域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y 222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 习题课习题课26y 322)1()3(2 xxx, 0 y令令. 0 x得得