2019 2020年高考数学学业水平测试一轮复习专题十二不等式第43讲二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1、专题十二专题十二 不等式不等式 第第43讲讲 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 1二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直在平面直角坐标系中表示直线角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的某一侧所有点组成的_我们把直线画成虚线以表示区域我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线当我们在坐标系中画不等式边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应所表示的平面区域时，此区域应_边界边界直线，则把边界直线画成直线，则把边界直线画成_ (2

2、)由于对直线由于对直线AxByC0同一侧的所有点同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标，把它的坐标(x，y)代入代入AxByC，所得的符号都，所得的符号都_，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由作为测试点，由Ax0By0C的的_即可判即可判断断AxByC0表示的是直线表示的是直线AxByC0哪一侧的平哪一侧的平面区域面区域 答案：答案：(1)平面区域平面区域 不包括不包括 包括包括 实线实线 (2)相同相同 符号符号 2线性规划相关概念线性规划相关概念 名称名称 约束条件约束条件 线性约束条件线性约束条件 目标函数目标函数 意意

3、义义 由变量由变量x，y组成的一次不等式组成的一次不等式 由由x，y的的_不等式不等式(或方程或方程)组成组成的不等式组的不等式组 欲求欲求_或或_的函数的函数 线性目标函数线性目标函数 可行解可行解 可行域可行域 关于关于x，y的的_解析式解析式 满足满足_的解的解 所有所有_组成的集合组成的集合 最优解最优解 线性规划问题线性规划问题 使目标函数取得使目标函数取得_或或_的可行解的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的在线性约束条件下求线性目标函数的_或或_问题问题 答案：答案：一次一次 最大值最大值 最小值最小值 一次一次 约束条件约束条件 可行解可行解 最大值最大值 最小值最小值 最

4、大值最大值 最小值最小值 3.重要结论重要结论 (1)画二元一次不等式表示的平面区域的方法是直线画二元一次不等式表示的平面区域的方法是直线定界，特殊点定域定界，特殊点定域 直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；等号时直线画成实线； 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或或(1，0)来验来验证证 (2)利用利用“同号上，异号下同号上，异号下”判断二元一次不等式表判断二元一次不等式表示的平面区域示的平面区域 对于对于

5、AxByC0或或AxByC0时，区域为直线时，区域为直线AxByC0的上方；的上方； 当当B(AxByC)0时，区域为直线时，区域为直线AxByC0的下方的下方 (3)最优解和可行解的关系最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个 1二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 ? ?x0，? ? (1)不等式组不等式组 ? ?xy3， 表示的平面区域为表示的平面区域为，? ?yx1，? ?直线直线ykx1与区域与区域有公共点，则实数有

6、公共点，则实数k的取值范围为的取值范围为( ) A(0，3 B1，1 C(，3 D3，) ? ?xy2，? ?yx1(2)已知实数已知实数x，y满足满足 ? ?xy0，则则zx1? ?x3 y60，? ?的取值范围为的取值范围为( ) ? ?3? ?A(，2? ?2，? ? ? ? ? ?1? ?B(，3? ?2，? ? ? ? ? ?3? ?C.? ?2，2? ? ? ? ? ?1? ?D.? ?3，2? ? ? ? ?解析：解析：(1)直线直线ykx1过定点过定点M(0，1)，由图可，由图可知，当直线知，当直线ykx1经过直线经过直线yx1与直线与直线xy3的的2（1）交点交点C(1，2)

7、时，时，k最小，此时最小，此时kCM3，因，因10此此k3，即，即k3，)故选故选D. y(2) z1表示的是可行域内的点表示的是可行域内的点(x，y)与与(1，0)x13连线的斜率减去连线的斜率减去1.画出可行域如下图所示，画出可行域如下图所示，kAB，kAC22，即，即(x，y)与与(1，0)连线的斜率取值范围是连线的斜率取值范围是(，? ?3? ? ?1? ?2? ?2，? ?，去减去，去减去1得得(，3? ?2，? ?，? ? ? ? ?故选故选B. 答案：答案：(1)D (2)B 2求目标函数的最值问题求目标函数的最值问题 ? ?x2 y2，? ? (1)变量变量x，y满足约束条件满

8、足约束条件 ? ?2 xy4，则目则目? ?4 xy1，? ?标函数标函数z3 xy3的取值范围是的取值范围是( ) ? ?3? ?A.? ?2，9? ? ? ? ? ? ?3? ?B.? ?2，6? ? ? ? ?C2，3 D1，6 ? ?xy1，? ?(2)已知实数已知实数x，y满足约束条件满足约束条件 ? ?x0，则则zyx? ?y0，? ?的最大值为的最大值为( ) A1 B0 C1 D2 解析：解析：(1)做出线性约束条件下的可行域，观察可知做出线性约束条件下的可行域，观察可知可行域为由三点可行域为由三点? ?1? ? ?，3? ? ?2? ?，(2，0)，(0，1)围成的三角形，围

9、成的三角形，当当z3 xy3过点过点(2，0)时取得最大值时取得最大值3，过点，过点(0，1)时时取得最小值取得最小值2，所以取值范围是，所以取值范围是2，3 (2)由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值解，由题意画出实数的最大值解，由题意画出实数x，y满足约束条件，满足约束条件，? ?xy1，? ? ?x0，的可行域，如图，的可行域，如图， ? ?y0，? ? 当当zyx经过经过M(0，1)时取得最大值即时取得最大值即zmax101.故答案为故答案为A. 答案：答案：(1)C (2)A 剖析：剖析：(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的

10、几先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值何意义求目标函数的最值 (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： 2xy22表示点表示点(x，y)与原点与原点(0，0)的距离，的距离，2（xa） （yb） 表示点表示点(x，y)与点与点(a，b)的距离；的距离； ybyx表示点表示点(x，y)与原点与原点(0，0)连线的斜率，连线的斜率，表示表示xa点点(x，y)与点与点(a，b)连线的斜率连线的斜率 (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定

11、当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件参数所满足条件 3线性规划的实际应用线性规划的实际应用 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用产品要用A原料原料3吨，吨，B原料原料2吨：生产每吨乙产品要用吨：生产每吨乙产品要用A原料原料1吨，吨，B原料原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润吨，销售每吨甲产品可获得利润5万万元，每吨乙产品可获得利润元，每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周万元该企业在一个生产周期内消耗期内消耗A原料不超过原料不超过13吨，吨，B原料不超过原料不超过18吨，那么该吨，那么该企业可获得最大利润是企业可获得最

12、大利润是( ) A12万元万元 B20万元万元 C25万元万元 D27万元万元 解析：解析：设企业生产甲产品为设企业生产甲产品为x吨，乙产品为吨，乙产品为y吨，则吨，则x0，? ? ? ?y0，? ? ?3 xy13，? ? ?2 x3 y18，该企业可获利润该企业可获利润z5 x3 y，且，且联立联立? ? ?3 xy13，? ?解得解得x3，y4，所以，所以zmax27(万元万元)，故，故? ? ?2 x3 y18，选选D. 答案：答案：D 剖析：剖析：解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量分析题意，设出未知量 (2)列出线性约束条件和目标

13、函数列出线性约束条件和目标函数 (3)作出可行域并利用数形结合求解作出可行域并利用数形结合求解 (4)作答作答 x0，? ? ? ?y0，1直线直线2 xy100与不等式组与不等式组 ? ?表表? ?xy2，? ? ?4 x3 y20，示的平面区域的公共点有示的平面区域的公共点有( ) A0个个 B1个个 C2个个 D无数个无数个 解析：解析：由不等式组画出平面区域如图由不等式组画出平面区域如图(阴影部分阴影部分) 直线直线2 xy100恰过点恰过点A(5，0)，且其斜率，且其斜率k42kAB，即直线，即直线2 xy100与平面区域仅有一个与平面区域仅有一个3公共点公共点A(5，0) 答案：答

14、案：B ? ?xy2，? ?2设变量设变量x，y满足约束条件满足约束条件 ? ?2 x3 y9，则目标函则目标函? ?x0，? ?数数z2 xy的最大值是的最大值是( ) A2 B3 C5 D7 ? ?xy2，? ? 解析：解析：画出约束条件画出约束条件? ?2 x3 y9，表示的可行表示的可行? ?x0，? ? ? ? ?xy20，? ?x3，域，如图，由域，如图，由? ?可得可得? ? ? ? ? ?2 x3 y90，? ?y1， 将将z2 xy变形为变形为y2 xz，平移直线，平移直线y2 xz，由图可知当直，由图可知当直y2 xz经过点经过点(3，1)时，直线在时，直线在y轴上的截距最

15、大，轴上的截距最大，z最大值为最大值为z2315. 答案：答案：C ? ?x2 y50，? ?3若实数若实数x，y满足不等式组满足不等式组 ? ?3x0，则则zx? ?xy0，? ?2 y的最小值是的最小值是( ) 5A3 B 35C. D11 3解析：解析：做出线性约束条件下的可行域，观察图形可做出线性约束条件下的可行域，观察图形可知可行域为点知可行域为点? ?55? ? ? ，? ? ?33? ?，(3，3)，(3，4)围成的三角围成的三角形，当形，当zx2 y过点过点(3，3)时取得最小值时取得最小值3. 答案：答案：A ? ?x1，? ?4已知已知x，y满足约束条件满足约束条件 ? ?

16、xy0， 若目标函数若目标函数z? ?x2 y9，? ?axy可在点可在点(3，3)处取得最大值，则处取得最大值，则a的取值范围为的取值范围为( ) ? ?1? ?A.? ?2，? ? ? ? ? ?1? ?C.? ?1，2? ? ? ? ? ? ?1? ?B.? ?2，? ? ? ? ? ?1? ?D.? ?1，2? ? ? ? ? ? ?x1，? ?解析：解析：x，y满足约束条件满足约束条件 ? ?xy0， 的可行域如图，的可行域如图，? ?x2 y9，? ? ? ?xy0，由目标函数由目标函数zaxy可得可得yaxz，由，由? ? ? ? ?x2 y9，11解得解得C(3，3)，可得，可

17、得a ，即，即a . 22 答案：答案：A 5某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品品1桶需耗桶需耗A原料原料1千克、千克、B原料原料2千克；生产乙产品千克；生产乙产品1桶需桶需耗耗A原料原料2千克、千克、B原料原料1千克每桶甲产品的利润是千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是元，每桶乙产品的利润是400 元公司在生产这两种产元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过原料都不超过12千克，千克，则通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产则通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，

18、公司共可获得的最大利润是品中，公司共可获得的最大利润是( ) A1 800 元元 B2 400 元元 C2 800 元元 D3 100 元元 解析：解析：设每天生产甲种产品设每天生产甲种产品x桶，乙种产品桶，乙种产品y桶，桶， x0，xN，? ? ? ?y0，yN，则根据题意得则根据题意得x，y的约束条件为的约束条件为? ? ? ?x2 y12，? ? ?2 xy12.设获利设获利z元，则元，则z300 x400 y. 画出可行域如图画出可行域如图 画直线画直线l300 x400 y0，即，即3 x4 y0.平移直线平移直线l，从图中可知，当直线过点，从图中可知，当直线过点M时，时， 目标函数

19、取得最大值目标函数取得最大值 ? ? ? ?x2 y12，? ?x4，由由? ?解得解得? ?即即M的坐标为的坐标为(4，4)， ? ? ? ?2 xy12，? ?y4，故故zmax300440042 800(元元). 答案：答案：C ? ?2 xy20，? ?6设变量设变量x，y满足约束条件满足约束条件 ? ?x2 y40， 则则z? ?x10，? ?xy3的最大值为的最大值为( ) x332A. B. 43513C. D. 38? ?2 xy20，? ?解析：解析：约束条件约束条件? ?x2 y40，画出的平面区域如下：画出的平面区域如下： ? ?x10，? ? xy3y0另外，另外，z1

20、，z要取得最大要取得最大x3x（3）y0y0值，只要值，只要取得最大值，而取得最大值，而看成是看成是x（3）x（3）两点两点(x，y)和和(3，0)的斜率，当点的斜率，当点(x，y)落在落在A处时，处时， ? ? ?2 xy20，y0最大，由最大，由? ?得得A(0，2)，所以，所以z的的? ?x（3）? ?x2 y40，205最大值为最大值为zmax1 .故选故选C. 0（3）3答案：答案：C ? ?xy2，? ?222 x3 y9，7若变量若变量x，y满足满足 ? ?则则x2 xy的最的最? ?x0，? ?大值是大值是( ) A4 B9 C16 D18 解析：解析：可行域为一个三角形可行域

21、为一个三角形ABC及其内部，其中及其内部，其中A(0，2)，B(0，3)，C(3，1)，而，而x 2 xy(x1)y1PM1，其中，其中M(1，0)，P为可行域内一点，因为为可行域内一点，因为PMCM，所以，所以x2 xy的最大值是的最大值是CM116. 答案：答案：C 22222222? ?x2 y10，? ?8已知实数已知实数x，y满足满足 ? ?x2，则则z2 x2 y? ?xy10，? ?1的取值范围是的取值范围是( ) ? ?5? ?A.? ?3，5? ? ? ? ? ?5? ?C.? ?3，5? ? ? ? ? B0，5 ? ?5? ?D.? ?3，5? ? ? ? ?解析：解析：画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，分所示， 12可知可知221z222(1)1，即，即z的的33? ?5? ?取值范围是取