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文档简介
1、弯弯 曲曲 变变 形形第第 六六 章章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁目录6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7-16-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方
2、程一、基本一、基本概念概念挠曲线方程:挠曲线方程:)(xfw 由于小变形,截面形心在由于小变形,截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为:挠度转角关系为:dxdwtan挠曲线挠曲线yxx转角转角挠度挠度w w:截面形心截面形心在在y y方向的位移方向的位移w向上为正向上为正转角转角:截面绕中性轴转过的角度。:截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正逆时针为正7-2w挠度挠度二、挠曲二、挠曲线的近似微分方程线的近似微分方程推导弯曲正应力时,得到:推导弯曲正应力时,得到:z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 6-2 6-2 挠
3、曲线的微分方程挠曲线的微分方程由数学知识可知:由数学知识可知:3222)(1 1dxdwdxwd略去高阶小量,得略去高阶小量,得221dxwd所以所以zEIxMdxwd)(222M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1)由梁整体平衡分析得:)由梁整体平衡分析得:lFaFlFbFFByAyAx ,02 2)弯矩方程)弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段:段: lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段:段:6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形maxwa
4、b1x2xACDFxAyFByFAByB3 3)列挠曲线近似微分方程并积分)列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxwdEI1211112)(CxlFbxEIdxdwEI1113116DxCxlFbEIwAC AC 段:段:ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxwdEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB CB 段:段:lxa26-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB4 4)由边界条件确定积分常数)由边界条件确定积分常数
5、0)(,22lwlx0)0(, 011wx代入求解,得代入求解,得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx)()(,2121awawaxxlFbFblCC661321 021 DD6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB5 5)确定转角方程和挠度方程)确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI12231)(661xbllFbxlFbEIwAC AC 段:段:ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFb
6、EIwCB CB 段:段:lxa26-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB6 6)确定最大转角和最大挠度)确定最大转角和最大挠度令令 得,得,0 dxd )(6,maxalEIlFablxB令令 得,得,0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFbwblx6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点?积分法求变形有什么优缺点?6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形优点:可以求得转角和挠度的普遍方程。优点:可以求得转角
7、和挠度的普遍方程。缺点:载荷复杂时,弯矩方程分段多,积缺点:载荷复杂时,弯矩方程分段多,积 分常分常 数也多,计算复杂;数也多,计算复杂;只需计算某些特定截面转角和挠度时,只需计算某些特定截面转角和挠度时,不需求方程,积分法过于累赘。不需求方程,积分法过于累赘。6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形)(22xMEIwdxwdEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用,任意截面上的弯矩个载荷同时作用,任意截面上的弯矩为为M(x)M(x),转角为,转角为 ,挠度,挠度为为w w,则有:则有: )(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用,截面上弯矩个载荷单独作用
8、,截面上弯矩为为 ,转角为,转角为 ,挠度为,挠度为 ,则有:,则有:i iw)(xMi由弯矩的叠加原理知:由弯矩的叠加原理知:)()(1xMxMnii所以,所以,)( )( 11xMwEIwEIniinii7-4故故 )( 1niiww由于梁的边界条件不变,因此由于梁的边界条件不变,因此,1niiniiww1重要结论:重要结论: 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角,梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角,等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是和。这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加
9、法求弯曲变形例例3 3 已知已知简支梁受力如图示,简支梁受力如图示,q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面的截面的挠度挠度w wC C ;B B截面的转角截面的转角 B B1 1)将梁上的载荷分解)将梁上的载荷分解321CCCCwwww321BBBByC1yC2yC32 2)查表得)查表得3 3种情形下种情形下C C截面的挠度和截面的挠度和B B截截面的转角面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643解解6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形3 3) 应用叠加法,将简单载荷应用叠加
10、法,将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形yC1yC2yC3例例4 4 已知:已知:悬臂梁受力如图示,悬臂梁受力如图示,q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的截面的挠度挠度w wC C和和转角转角 C C1 1)首先,将梁上的载荷变成有表)首先,将梁上的载荷变成有表可查可查的情形的情形: : 为了利用梁全长承受均布载为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果,先将均布
11、载荷延荷的已知结果,先将均布载荷延长至梁的全长,为了不改变原来长至梁的全长,为了不改变原来载荷作用的效果,在载荷作用的效果,在AB AB 段还需段还需再加上集度相同、方向相反的均再加上集度相同、方向相反的均布载荷。布载荷。 Cw解解6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形Cy2Cy1Cy2By,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlwwiCiC384414213 3)将结果叠加)将结果叠加 EIqliCiC4873212 2)再将处理后的梁分解为简单载荷)再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形,计算各自作
12、用的情形,计算各自C C截面的挠度截面的挠度和转角。和转角。 6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点?叠加法求变形有什么优缺点?6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1.1.基本概念:基本概念:超静定梁:超静定梁:支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束:多余约束:从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数:超静定次数:多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法:求解方法:解除多余约束,建立相当系统
13、解除多余约束,建立相当系统比较变形,列变比较变形,列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统:相当系统:用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6解解例例6 6 求梁的支反力,梁的抗弯求梁的支反力,梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1)判定超静定次数)判定超静定次数2 2)解除多余约束,建立相当系统)解除多余约束,建立相当系统0)()(ByFBFBByyy 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a
14、) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC3 3)进行变形比较,列出变形协调条件)进行变形比较,列出变形协调条件6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁4 4)由物理关系,列出补充方程)由物理关系,列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5)由整体平衡条件求其他约束反力)由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByA
15、BFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAAA AM MA Ay yF F6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接,处铰接,A A、C C 两端固定,梁的抗弯刚度均为两端固定,梁的抗弯刚度均为EIEI,F F = 40kN= 40kN,q q = 20kN/m= 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开,使超静定结构变成两个悬臂处拆开,使超静定结构变成两个悬臂梁。梁。变形协调方程为:变形协调方程为:21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关
16、系EIFEIqyBB3484341322423 4263BBFFyEIEI解解6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得补充方程:代入得补充方程:EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqM6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁FB F ByB1yB20, 0 FFFFCBy确定确定C C 端约束力端约束力 kN75.48
17、75. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m11540275. 8424 FFMBC6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁A A、C C 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图)( )( 25.7175. 875.48 kN SF)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM)( 12511594. 15 .17)mkN( M)( 6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1 1)选择合理的截面形状)选择合理的截面形状6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2)改善结构形式,减少弯矩数值)改善结构形式,减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2)改善结构
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