第一章 金融时间序列分析基础

1、第一章 金融时间序列分析基础 时间序列：博克斯与詹金斯的理念“让数据自己说话”，着重于分析经济时间序列本身的概率或随机性质，Yt而可由自身的过去或滞后值以及误差项来解释，不是寻求经济变量之间的联系。（泛理论性）1.1 时间序列的基本概念p随机时间序列（随机时间序列（随机过程）： 依赖于参数时间 t 的随机变量 的集合 Y1 ，Y2，。，。 Yt 。一个具体的时间序列数据集则是该随机时间序列的一个样本一个具体的时间序列数据集则是该随机时间序列的一个样本9.1.1 随机时间序列的数字特征均值函数nttfYEtt,.,2 , 1),()(Yt（t=1，2n)自协方差函数自相关函数的自相关函数为tss

2、t tststY的方差函数的自协方差函数或的协方差函数、为tttttttstssttstYstYEYYYnstYYE)(,.,2 , 1,)(22样本自相关系数和偏相关的计算22ltttltttllttrrrrrrrr的样本自相关系数与pptptptttttttttllttPPurrrurrrurrrr21.32122111102221101110。，得到偏自相关函数。，记为，估计，记为，估计的样本偏自相关系数与市场有效性检验p检验股价收益率的序列相关性Ljung-Box 的Q统计量可用于检验时间序列的相关性)ln(,1)2()(0:0.H22110TmmTTTmQHlmliam一般分布的渐进

3、服从自由度为）（存在一个：1.1.2时间序列数据的（弱）平稳性检验1.平稳随机过程 随机过程 ，对于任意的 t , s，满足：tY tt sE YE Y 2tt syVar YVar Y常数Cov,tt stt ssY YEYY p白噪声过程 随机过程 ，对于任意的 t , s ，满足：tY 0tt sE YE Y 2tt sVar YVar YCov,0tt stt sY YEYY 2、随机游走过程p 随机过程 满足方程 其中， 为第 t 时刻的观测值， ； 期望值为零、方差为 、相互独立。p随机过程满足11tttYYtYtY00Y 1t2 10ttiiE YE 21ttiiVar YVar

4、t21t st siiVar YEts p具有确定性趋势（常数项）的随机游走过程 若 ，则p两种随机游走过程均不满足平稳性随机过程条件101tttYY00Y 001ttiiE YEt21ttiiVar YVart 3、平稳时间序列和非平稳时间序列p平稳时间序列 时间序列符合平稳随机过程的条件p非平稳时间序列p判断：时间序列数据的均值、方差是否都为常数，且两个时期的协方差是否只与时间的间隔有关，与时间的起点无关1.2时间序列数据的平稳性检验1、为什么要进行平稳性检验 “伪回归”（Spurious Regression）现象 例 其中， 和 是相互独立的白噪音过程。01tttYX1ttytYY1t

5、txtXXytxt 假设 ， ； 时，为随着t的增加，随机干扰项的误差会趋于无穷大，出现“伪回归现象”。00Y 00X 001111tttttyixiiiYX2221111tttyixiyziiVarVartt 2、平稳性检验的ADF检验法p单整过程，单位根过程 如果 ,存在一个单位根的时间序列 称为单位根过程或单整过程。单位根过程或单整过程。p 与否表明时间序列 是否平稳，对其的检验称为单位根检验。011tttYY11tY11tY ADF单位根检验p 检验模型 为常数项；t 为时间趋势项； 为 的 阶滞后项；p 为滞后阶结束，采用赤池信息准则（AIC）或施瓦茨信息准则确定11pttit it

6、iYYYu11pttit itiYYYut iYtYiitPiitittYYtY11 pADF单位根检验的假设为 原假设： ， 存在单位根 备择假设： ，不存在单位根p结果： 得到的ADF统计量小于给定显著水平下所对应的ADF临界值，则拒绝原假设，表明不存在单位根，时间序列是平稳的，否则，存在单位根，时间序列是非平稳的。0:0H1:0H p补充说明 1、在判断是否 的时候用的是ADF统计量而非 t 统计量； 2、构造三个F 统计量（ ）来检验系统的联合假设。 （1）对无截距带趋势的模型，采用 对联合假设 进行检验； （2）对无截距和无趋势的模型，采用 对联合假设 进行检验； （3）对带截距无趋

7、势的模型，采用 对联合假设 进行检验；0123， ，102030 3、构造的 为： 其中，RSS（约束）和RSS（无约束）分别表示有约束和无约束的残差平方和，r为约束条件个数，n为样本观测值个数，k为无约束模型中解释变量个数。p若 ，拒绝联合假设； 若 ，接受联合假设 。123， ，()() /()/(1)iRSSRSSrRSSnk约束无约束约束iiiip随机时间序列平稳性检验p散点图:围绕Y的均值随机波动p样本自相关函数:样本相关系数为0的置信区间（-0.2089,0.2089),当K增大时,样本相关系数迅速衰减直至为0p单位根检验（unit root test）金融时间序列的统计特性价格序

8、列一般都是非平稳的收益率序列一般都认为是平稳的，而且是序列不相关的或很弱的序列相关性（有效市场假说）日收益率的均值接近于零，月收益率的均值要稍大些收益率序列的分布与矩1.3 时间序列的单整与协整1.3.1 单整性单整性若一个非平稳的时间序列Yt必须经过d次差分后才能变成一个平稳的时间序列,则称其具有d阶单整性, 即Yt I(d)单整的检验即平稳性检验,用单位根检验即可时间序列平稳化的方法-差分方法会使原始数据中包含的信息滤去)(),.,(,121tdtdtttttYYYYYYY时间序列平稳化的方法-差分、除趋势、季节调整选择那种方法取决于时间序列不平稳的原因选择那种方法取决于时间序列不平稳的原

9、因差分平稳过程差分平稳过程(DSP)考察考察Y,会使原始数据中包含的信息滤去会使原始数据中包含的信息滤去一个时间序列在其趋势线附近是平稳的一个时间序列在其趋势线附近是平稳的,则可用除趋势平则可用除趋势平稳过程稳过程(TSP)注意注意:大多数宏观经济时间序列都是大多数宏观经济时间序列都是DSP而不是而不是TSP,而微观经济数据而微观经济数据TSP较多较多 )(),.,(,121tdtdtttttYYYYYYY序列线性（非线性）除趋势的为是平稳的，则称若）（tttttttttYeeXYeuXY1010趋势的识别：数据本身的动态特征、散点图、差分原理或对数变换等数学变换差分原理：若数据呈现水平趋势，

10、则一阶差分近似为0；若线性趋势，则一阶差分近似为常数；若二次曲线趋势，则二阶差分近似为常数。的除趋势序列为是平稳的，则称若）（考察应该是平稳的是趋势函数，则广义上讲，若ttttttttttYeeXYetfYutftfuY10)()()(季节识别经济变量的含义、散点图、季节数据的自相关和偏相关函数（领先或落后4个季度和领先或落后12个月的时间序列数据的自相关函数和偏相关函数应该出现高峰）季节调整把季节性数据某一个时刻的观察值与下一个周期相应时刻的观察值相减，可能将周期性变化消除掉，获得一个近似平稳的时间序列。1.3.2 多个时间序列之间的协整多个时间序列之间的协整 非平稳经济变量之间可能存在长期

11、稳定的均衡关系,如两个非平稳时间序列的线性组合却可能是平稳的 协整协整：如果X1t, X2t .Xkt是I(d),存在一个向量 =( 1, 2, k), 使得Zt = Xt是I(d-b),b1, 则称X1t, X2t .Xkt是CI(d,b),即它们产生了协整。 为其协整向量之一。 用 表示X1t, X2t .Xnt期的线性组合，亦是其对长期均衡关系的偏离，该均衡误差一定是平稳的。 1122tttnnteXXXte协整的意义在于协整的意义在于: :多个非平稳经济变量只要能发生协多个非平稳经济变量只要能发生协整整, ,存在一个协整向量使得其线形组合成为存在一个协整向量使得其线形组合成为CI(CI

12、(d,dd,d),),即即I(0),I(0),则这种线形回归是合适的则这种线形回归是合适的, ,随机误差项是白噪随机误差项是白噪声声, ,不存在虚假回归不存在虚假回归 协整理论是从经济变量的数据显示的关系协整理论是从经济变量的数据显示的关系, ,确定模确定模型包含的变量和变量之间的理论关系型包含的变量和变量之间的理论关系, ,而而不是从经济不是从经济理论确定模型理论确定模型. .1、ENGLE-GRANGER检验 步骤（1）先用OLS方法估计下式，得到et （2）检验残差的单整性，用DF和ADF方法，但t统计量服从ENGLE-GRANGER分布，临界值查ENGLE-GRANGER分布表 若残差

13、稳定，则认为Yt，Xt为（d，d）协整，若残差是I（1），则认为Yt，Xt为（d，d-1）协整。 协整检验的重要意义：只要我们检验过两个时间序列协整检验的重要意义：只要我们检验过两个时间序列的线形回归的残差是平稳的（的线形回归的残差是平稳的（I（0），传统的回归方法），传统的回归方法（估计、检验、预测等）就可以用于研究的时间序列数据。（估计、检验、预测等）就可以用于研究的时间序列数据。 tttXY1.4 协整的检验2、协整D-W检验（CRDW）（1）提出零假设H0 ：d=0，即两时间序列不存在协整（2）对下式做OLS回归，得d值（3）若dCRDW的临界值，则拒绝零假设，两时间序列存在协整ttt

14、XY 3、 Johansen协整检验（JJ检验） 指导思想： 对于多变量之间的协整关系， Johansen（1988）以及Johansen与Juselius(1990)提出了一种向量自回归模型进行检验的方法。 p具体检验方法建立一个VAR（P）的差分向量自回归模型但矩阵的秩等于非零特征根的个数。假定系数矩阵 的特征根为进行特征根迹检验（trace检验）和最大特征值检验 是从估计矩阵 得到的特征根的值； 是有效的样本观测数011122ttttptptXXXXXe12n trace1ln 1nii rrT max1,1ln 1ir rT iT的秩决定的的协整性，而这是由即的协整性，模型的平稳性决定

15、于此),.,(),.,(11111ntntttXXXXXXVAR p两个公式用于检验零假设：不同协整向量（特征根）的个数小于等于 。其备择假设是协整向量的个数等于 。 从 开始检验，若 被拒绝，则检验 直至 不能被拒绝，即可得出 中存在 个协整向量。r1r 0r 0r 1r *rrtX*r（1）序列 没有确定性趋势，协整方程不含截距项；（2）序列 没有确定性趋势，协整方程包含截距项；（3）序列 有确定性线性趋势，协整方程只包含截距项；（4）序列 和协整方程都具有线性趋势；（5）序列 有二次趋势，协整方程只有线性趋势。tXtXtXtXtX序列 和协整方程的形式:tX1.5 误差修正模型 p模型的导出 假设两个变量的长期均衡关系表现为 变量 和 都是1阶单整的，则其动态特征的 阶分布滞后模型 变换得 其中 ， ， 模型（13-15）被称为误差修正模型（误差修正模型（Error Correction Model，简记为，简记为ECM）01tttYXXY1,1012131tttttYXXY11011tttttYXYX310031 11231p一般地，误差修正模型写成 多变量的误差修正模型 其误差修正模型可写为 其中pGran