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文档简介

1、 第10节 平面向量的数量积一、知识梳理 两个向量的夹角定义:已知两个 向量和,作,则叫向量和的夹角.范围:向量夹角的范围是 , 向量和同向时,夹角= ; 向量和反向时,夹角= .向量垂直:如果向量和的夹角= ,则向量和垂直,记作 . 平面向量的数量积定义:已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量 叫做向量和的数量积(或内积),记作,即= ,并规定:零向量与任一向量的数量积为0;几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角). 向量的数量积的性质设和都是非零向量,是与的夹角,则当和同向时,= .当和反向时, = .当为锐角时,且和不同向,;当为钝角时,且和不反向,;特

2、别地: = = ,或= | . (是和的夹角). 平面向量数量积的坐标表示 设 = = (是和的夹角).若的起点坐标和终点坐标分别为,则= .二、基础训练若与的夹角为,则= ;若则 ;已知则和的夹角为 ;若则和的夹角为 ;已知且和的夹角为,则= .已知两个单位向量的夹角为,若向量,则 ;已知向量则当时,向量与平行.已知向量满足,且,则的形状是.如图(1),在矩形中,点为的中点,点在边上,若则的值为. (9题) (第10题)如图,已知中,是的中点,若向量且的终点在的内部(不含边界),则的取值范围是.三、例题选讲例 已知,(1); (2) ;分别求.已知向量,求和例 设为坐标原点,为单位圆上的两点

3、,且,则=.已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.已知为单位向量,当它们之间的夹角为时,在方向上的投影是多少?例 在中,是的中点,,点在上且满足学,求的值.如图,在中,已知点分别在边上,且为的中点,则=.(2)例已知向量,.求证:四边形为矩形; 若为直线上的一个动点,当取最小值时,求的坐标.科,X,例如图,半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点,为上任意一点,则的取值范围是.四、课后总结重视数量积的定义、模、夹角等公式;应用向量运算将问题转化为代数函数有关的问题,转化是关键;计算向量数量积时要注意方法的选择,一种是利用坐标运算,另一种是整体运算,化归成基本向量的数量积运算。答案:1、 知识梳

4、理1. 两个向量的夹角(1)定义:已知两个 非零 向量和,作,则叫向量和的夹角.(2)范围:向量夹角的范围是 , 向量和同向时,夹角= ; 向量和反向时,夹角= .(3)向量垂直:如果向量和的夹角= ,则向量和垂直,记作 。2. 平面向量的数量积定义:已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量 叫做向量和的数量积(或内积),记作,即= ,并规定:零向量与任一向量的数量积为0.几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角).3. 向量的数量积的性质设和都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则(1)当和同向时,= .当和反向时, = .当为锐角时,且和不同向,;

5、当为钝角时,且和不反向.(2)特别地: = = ,或= (3)| .(4) (是和的夹角).4. 平面向量数量积的坐标表示 设(1) = (2) = (3) =0 (4) (是和的夹角).(5)若的起点坐标和终点坐标分别为,则= 。二、基础训练1若与的夹角为,则= ;2若则 -2 ;3. 已知则和的夹角为 ;4.若则和的夹角为 ;5已知且和的夹角为,则= 1 .6.已知两个单位向量的夹角为,若向量,则 -6 ;7.已知向量则当-时,向量与平行.8.已知向量满足,且,则的形状是等边三角形.9.如图(1),在矩形中,点为的中点,点在边上,若则的值为.(9题)10.如图,已知中,是的中点,若向量且的终点在的内部(不含边界),则的取值范围是(-2,6).三、例题选讲例1 (1)已知,(1); (2) ;分别求.(2)已知向量,求和例2 (1)设为坐标原点,为单位圆上的两点,且,则=.(2)已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围已知为单位向量,当它们之间的夹角为时,在方向上的投影是多少?(2)【解析】由题可得,则有(3)例3 (1)在中,是的中点,,点在上且满足学,求的值。由题可得则有(2)如图,在中,已知点分别在边上,且为的中点,则4.(2)例4.已知向量,.(1)求证:四边形为矩形; (2)若为直线上的一个动点,当取最小值时,求的坐标.解:(1)由题可

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