线代总复习精简版ppt课件

1、线性代数线性代数总复习总复习要求：了解行列式的概念，计算低阶及特殊的行列式。两个定义： n 阶行列式; n 阶方阵行列式.一、行列式一、行列式会用其性质与展开式定理两个重要概念：余子式和代数余子式2、性质1、概念是计算行列式的中心环节，性质5用的较多。利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。3、重要结论：4、特殊关系式是数，则阶方阵是设knBA,1,nkAkA112,AA3,ABBAA B1nAA 1*,nAA0AA BCB上下三角行列式的值=对角线上元素之积 则的代数余子式是设,ijijnnijaAaA11220,ijijinjnAija Aa Aa Aij当当5

2、5、展开定理、展开定理jijiAAaAaAanjnijiji当当,02211例例1 1、计算以下行列式。、计算以下行列式。 10220310020130120210310212123211) 11D解解1D13100rr r4-100r2230112321212321123rr r2-2r1r4-r111100020521032111110521000203211110052000010321127000110000103211214解：解：10531852174324321)2D5000420012104321D1043)abbbbabbDbbabbbba解：解：4D123nrrrr 21r

3、rb11113babbabbbabbbba41rrb11110003000000abababab33()abab4设行列式11113131322233332221112232323, 1cbaccbbaacbaDcbacbacbaD计算解解 3D322rr 111333222333cbacbacba3332221112)1(3cbacbacba332D，求设BAAAAA, 2,532133解：312132,AAAA132cc B21cc 3213,AAA36A 322212,AAAAAB其中逆矩阵、分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程组。主要内容：主要内容：二、矩阵二、矩阵矩阵的概念、运算、初等变

4、换、秩、1、定义：、定义： 由mn个数ija(i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵， 简称为mn矩阵.1111nmmnaaAaa特别：特别： 零矩阵、n阶方阵、行列矩阵、对称矩阵、n阶对角阵、三角阵、单位阵、最简阶梯形。2 2、矩阵的线性运算、矩阵的线性运算 nmijaA与 nmijbB假设ijijba BA) 1 (BA)2()(ijijba )()3(ijaA)(ijaAsmA) 4(nsBnmijnmcC)(skkjiksjisjijiijbabababac12211BAAB CBAACAB推不出：, 0,AOBO普通来说ABO能够有(2)AA

5、TT)(3)TTTBABA)(5)TTTABAB)(4)TTkAkA)(3、矩阵的运算律、矩阵的运算律()ACBCAB C()CACBC AB()CACC AE(1)定义定义nnA那么称A是可逆方阵,那么B是A的一个逆矩阵,记为EBAAB4 4、可逆矩阵的定义和等价条件、可逆矩阵的定义和等价条件中假设存在方阵B, 使.1 ABn 阶方阵A可逆0 AEBAEABB或，使存在方阵,nAnn秩n nAX性无关。的行（列）向量组线AEA即齐次线性方程组仅有零解。 设A、B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，那么,111AA1113ABABTTAA1141112AkkA5 5、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的性质*

6、1, 011AAAAA且可逆则如果BAA1可逆，且则或使如果存在方阵,2EBAEABB 1,3AAEEA可逆，且则如果行变换EAAAAA1AAA1nAAAAAn11特别：111EAAAAAA116 6、求方阵、求方阵A A的逆矩阵的方法的逆矩阵的方法8 8、初等方阵、初等方阵;jirr ;kri.jikrr 共三种)(,(kjiE;ijE( ( );E i k互换阵倍加阵倍乘阵用初等方阵左右乘 A，相当于对 A 作初等行列变换得到的矩阵列变换得到的矩阵.7 7、矩阵的初等行变换、矩阵的初等行变换9 9、矩阵、矩阵A A的规范形的规范形,rm nm nEOR ArAOO初等变换设则1、RA：A的

7、不等于0的子式的最大阶数。2、秩的根本关系式：1min,;Tm nRAm nRARA3、关于秩的重要结论：矩阵的秩；矩阵的初等变换不改变1 300AnR AnAAR AnA 设是 阶方阵，则可逆1010、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵是阶可逆矩阵，阶、分别是、设nmAnmQP2 R AR PAR AQR PAQ则20.RAAO3m in,RABRARB11、秩的求法：1)RA：A的不等于0的子式的最大阶数;2初等变换法：,AT阶梯形RA= T的阶梯数；3假设P可逆，那么 R AR AP常需先验证P可逆。12、分块对角阵及其性质、分块对角阵及其性质rAAAA21rrBABABACAB2211. 1rBB

8、BB21其中,1,2, .kkA Bkr均为方阵。kskkkAAAA212、4、3、sAAAA21RA=si 1()iR A5、112111sAAAAiA可逆时，那么A可逆，且例1、1111122,112BB设求解：解： 100211010221001111EB12rr 13rr 10110001111000111121rr32rr 1011001100100120011210所以011101B例例2 2、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，解：解：EEAEA21012并且可逆所以,2EAEAEA210121原式可写为010)2)(2(EEAEA.)2(1 EA并求

9、例例3 3、设矩阵 X 满足：AXB = XB+C，求X，其中110101,100012002,2012CBA由知，得 AXB-XB = C，那么得 1CXBEA显然A - E、B均可逆，并且1000110021,10111011111BEA11CBEAX11BCEAX解：解：例例4 4、2A AAAAA11111设A是5阶方阵，且求.)(1 A解：解：161211451AAAAA1A AA定义定义1 1如果设向量组,21nmR,21线性相关则称向量组m推论：推论：使存在不全为零的,21Rm 11222mm 线性相关m,21否则称为线性无关。(2) 有非零解。线性无关m,21(2)只需零解。三

10、、向量组的线性相关性三、向量组的线性相关性 定义定义2 2,21nmR设向量组线性表示，可由则称向量m,21称为组合系数。mkkk,21使如果存在,21Rkkkm 12211mmkkk的一个线性组合。是或称向量m,21推论：推论：线性表示能由m,21(1) 有解。满足的一个部分组如果向量组rT,21定义定义3 312,r .R Tr线性无关；，r211线性表示。，中每一向量都可由rT212T的最大无关组。假设 R( T ) =r,那么T中恣意r个线性无关的向量都构成那么称是向量组T的一个最大线性无关组。r称为T的秩，记为定理定理1 1线性相关向量组2,21mm定理定理2 2,2121mm线性无

11、关，设向量组关键：至少有一个，但不能保证是哪一个。定理定理3 R3 RA A=A=A的列向量组的秩的列向量组的秩=A=A行向量组的秩行向量组的秩定理定理4 4 矩阵的初等行变换不改动列向量组的线性关系。矩阵的初等行变换不改动列向量组的线性关系。留意：求最大无关组、讨论线性表示主要用此方法； 个线性表示中至少有一个可由其余1,21mm线性表示，必可有由则线性相关m,21并且表法惟一。讨论线性相关性、求秩也可用此方法。定理定理5 5线性表示可由向量m,21定理定理6 6线性相关向量组m,21数字型1122mmxxx112,mmxx mRm,21有解mmxxx2211有解线性方程组mmxx121,，

12、mmRR,2121有非零解；齐次线性方程组有非零解；0,21n例例1 1、 设987675431310745432432154321，12345, ， 解：解：进行初等行变换：，对矩阵54321,A9713548510437473263421A51110521105211063421242rr122132rrrrr00000010005011040201的一个最大线性无关组，并将其他向量用此线性无关组线性表示。求9713548510437473263421A1 0 2 040 1 10 50 0 01 00 0 00 012345, ，421，其他向量由此最大无关组表示为：312512245

13、，所以的一个最大线性无关组为：例2、线性相关？取何值时，向量组讨论bbb73,111,11321解：解： 由于行列式bbbbD131171311 所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关； 否那么线性无关。例例3 设向量组设向量组 1111k1112kk111320kk问 k 为何值时线性表示？，可由321表示法独一，不独一，不可表示。解：解： 设存在数设存在数332211xxx即01321xxxkkxxkx321123211kxkxxkkkDA111111111用克莱姆法那么) 3(2kk30kk0)3(2kk123,.xxx使 k = - 3 时，.321线性表示，可由表示法独一。0k时，

14、011101110111A同解方程组321xxx有无穷多解。921131210112A1000123309211.321线性表示，不可由30kk且时，方程组有独一解；,321线性表示，可由表示法不独一，例例4、1、 设 321,线性无关，432,线性相关， 证明1不能由432,线性表示。2、 设A是n阶实对称矩阵，假设 2,AO证明证明证明 1、321,线性无关，那么32,线性无关。432,线性相关，那么.AO4可由32,线性表示，即存在实数21,kk使得) 1 (32214kk假设1可由432,线性表示， 即存在实数123, 1122334(2) 使得将(1)代入(2)可由132,线性表示，

15、这与321,线性无关矛盾，故1不能由432,线性表示。 由于 A 是 n 阶实对称矩阵， 必存在正交矩),(211ndiagAPP1212APPAPP2222212(,)nAOdiagO 故NoImage), 2 , 1(0nii从而OAO 2、 解法解法1 解法解法2nA21AA nnA21212nnnnnnn21222122211O从而0),(iiii), 2 , 1(0niiAO阵 P, 使线性方程组解的存在性定理各种解法解的构造四、线性方程组的解法与解的构造四、线性方程组的解法与解的构造例2、 讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、bxxaxxxxxxxxx323213213211

16、051336312baA10501133631121112rr133rr ba1050464024201211解解 对增广矩阵对增广矩阵 进展初等行变换进展初等行变换A有独一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。221r24235,4rrrr1 1210 1210 0200 005ab 此时无解；时当,51ARARb 此时有解；时当,52ARARb时，即有解时5,3b 有无穷多解；则若, 32, 2ARARa 2,3,aR AR A若则有惟一解；时当有无穷多解，即2, 54ab0000000012101211T21rr1000012100000000那么通解为Rkkxxx,120010321

17、那么得一同解方程组为令kx 3123021xxx例6、AX 12341 ， ，解解1是；2 112233441xxxx设112223334441xtxtxtxt即141122233344xtxtxxtxxtxx即是基础解系，因为4321,112223334441tttt， 线性无关？，满足什么条件时，43212t线性无关。故故4321,1234, 设是的一个根底解系，AX是不是的解向量？043332221141xxtxxtxxtxtx即000043322141xxtxxtxxtxtx因为系数行列式是实数，所以因为t 线性无关，仅有零解，此时时当线性相关，有非零解，此时时当41411, 0,11

18、, 0,1DtDt411111tttttD五、内积、施密特正交化。五、内积、施密特正交化。.,21nnRbbbnnbababa2211,定义定义1 1,21naaa设称为向量与的内积 .性质性质 设设01 ,03 ,02,kk时等式成立。040,当且仅当,都是 n 维向量，K 为实数那么有niiiba1,nnbbbaaa2121,定义定义2 2 设,21naaa22221,naaa称为的长度。1当时， 称为单位向量。0,当时，称与正交。定理定理nrr,21nR中两两正交、非零向量组线性无关。jijiji, 1, 0,nR在欧氏空间中，n,21假设满足n,21称为规范正交基。定义定义3 定义定义

19、4 4 A是n阶方阵,假设 是正交矩阵A称EAAT性质性质2 2A的列(行)向量组为正交单位向量组是正交矩阵A1 AAT性质性质1 是正交矩阵那么A可逆且A设性质性质3设 A、B 都是正交矩阵， 那么 AB 也是正交矩阵。EAATjiji,jiji, 1, 0即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。性质性质4设 A 是正交矩阵，那么AA与1也是正交矩阵。性质性质5设 A 是正交矩阵，那么. 1A3、施密特正交化方法、施密特正交化方法321,3R设在中为线性无关向量组11令正交化过程：正交化过程：1111222,222231111333,321,那么是正交向量组，六、特征值与特征向量、矩阵的对

20、角化六、特征值与特征向量、矩阵的对角化内容：内容： 矩阵的特征值与特征向量的定义、求法、性质；类似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法。定义定义1 1使方程 1XAX的一个特征值,相应的非零向量X,nnijaA设方阵,X成立数和 n 元非零列向量那么称数 为A对应的特征向量.称为A的于1式也可写成即XAX ()2EA X2式阐明特征向量 X 的坐标nxxx,21是齐次方程3的非零解。定义定义2 2设 ,nnijaA称含参数 的矩阵 AE 为 的特征矩阵,A( 的 次多项式)n称该矩阵的行列式)(fAE 称 为 的特征方程.0 AEAA为 的特征多项式,特征值的性质特征值的性质nnnijna

21、A,1个特征值分别为的设矩阵那么：那么： .1221121nnnaaa的迹A An212 nAA,0321可逆全不为零。特征向量的性质特征向量的性质1方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。rrA,2121的互不相同的特征值是设2实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相,21值的两个互不相同的特征是实对称矩阵设A0,21即必相互正交。是相应的特征向量，则2121,必线性无关是相应的特征向量，则r,21互正交。即4-n4-n阶方阵阶方阵A A可对角化的条件、方法可对角化的条件、方法1、一个充分必要条件：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量2、两个充分条件：1假设A有n个互不一样

22、的特征值，那么A必可对角化2假设A是实对称矩阵，那么A必可用正交矩阵对角化。3、对角化方法：nnnA,2121，个线性无关的特征向量的是设nAPP2114、正交对角化可逆，并且，则令是相应的特征值PPn,21例1、求矩阵A、B的特征值与特征向量411141 ,114A解：1411141114E A 36321，的特征值为所以 A1116 141114263714174444B 1116 030003233,3,EA X对解:1111113111000111000EA ,101,011:32得基础解系为不全为零特征向量为323322,:kkkk2111211126AE1010110001,0kk

23、1111 特征向量：411141 ,114A444471417B4444714172BE12644447106612, 6, 0:321的特征值为所以 B10,0,EA X对解26,6,EA X对解312,12,EA X对解0,:,1 , 1, 13333kkXT特征向量为0,:222kkX特征向量为0,:111kkX特征向量为1:1,1,2T 得根底解系2:1,1,0T得根底解系得根底解系例例2 2、设矩阵A、B类似，求参数a,b,c.;11,201200011bBaA解解 1 1由于矩阵由于矩阵A A、B B类似，所以类似，所以nniiiiiiabABbab411221即31ba2由于矩阵

24、A、B类似，所以1也是A的特征值，所以1452016 ,03Ac并且1是B的一个特征值。0,242060054010cccAE例例3 3分别求可逆矩阵C、正交矩阵P，411141114A解解 1 1241114163114EA 36321，的特征值为所以A, 06, 621XAE解对, 03, 332XAE解对101,011:32基础解系为将矩阵A对角化。111:1得基础解系为411141114A36321，1111101,011321233,C 令， 4将每个根底解系Schmidt正交化、再单位化;1111121121,0112222333221633CAC那么C可逆，且1231 312161 312161 3026Pppp令， ，1PAP3361163232,33112233123111,ppp令那么P是正交矩阵，并且111 ;1 23111 ,102七、二次型化规范形七、二次型化规范形-1-1-根本定义、根本内容根本定义、根本内容1、二次型二次齐次多项式； 222123123121323,23242fx xxxxxx