简单的优化模型ppt课件

1、简单的优化模型 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目确实定恰当的目的函数据建模目确实定恰当的目的函数 求解静态优化模型普通用微分法简单静态的优化模型简单静态的优化模型1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线消费假设干种产品，轮换产品时因改换设配件厂为装配线消费假设干种产品，轮换产品时因改换设备要付消费预备费，产量大于需求时要付储存费。该厂备要付消费预备费，产量大于需求时要付储存费。该厂消费才干非常大，即所需数量可在很短时间内产出。消

2、费才干非常大，即所需数量可在很短时间内产出。知某产品日需求量知某产品日需求量100件，消费预备费件，消费预备费5000元，储存费元，储存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的消费方案，即多少天消费元。试安排该产品的消费方案，即多少天消费一次消费周期，每次产量多少，使总费用最小。一次消费周期，每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答以下问题，而且要建立消费周期、产量与不只是回答以下问题，而且要建立消费周期、产量与需求量、预备费、储存费之间的关系。需求量、预备费、储存费之间的关系。问题分析与思索问题分析与思索 每天消费一次，每次每天消费一次，每次100件，无储存费，预备费件，无储存费，预备

3、费5000元。元。日需求日需求100件，预备费件，预备费5000元，储存费每日每件元，储存费每日每件1元。元。 10天消费一次，每次天消费一次，每次1000件，储存费件，储存费900+800+100 =4500元，预备费元，预备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天消费一次，每次天消费一次，每次5000件，储存费件，储存费4900+4800+100 =122500元，预备费元，预备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天消费一次平均每天费用最小吗天消费一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5

4、000元元 这是一个优化问题，关键在建立目的函数。这是一个优化问题，关键在建立目的函数。显然不能用一个周期的总费用作为目的函数显然不能用一个周期的总费用作为目的函数目的函数目的函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思索问题分析与思索储存费少，预备费多储存费少，预备费多预备费少，储存费多预备费少，储存费多存在最正确的周期和产量，使总费用二者之和最小存在最正确的周期和产量，使总费用二者之和最小模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次消费预备费为每次消费预备费为 c1, 每天每件产

5、品储存费为每天每件产品储存费为 c2；3. T天消费一次周期天消费一次周期, 每次消费每次消费Q件，当储存量件，当储存量 为零时，为零时，Q件产品立刻到来消费时间不计；件产品立刻到来消费时间不计；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 r, c1, c2 知，求知，求T, Q T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为延续量处置。为方便起见，时间和产量都作为延续量处置。模模 型型 建建 立立0tq储存量表示为时间的函数储存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0消费消费Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递

6、减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值目的函数值目的函数2)(21rTcTcTCTC离散问题延续化离散问题延续化AcdttqcT202)(一周期储存费为一周期储存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型运用模型运用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答以下回答以下问题问题 经济批量订货公式经济批量订货公式EOQEOQ公式公式

7、212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件储存费每天每件储存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不思索消费费用？在什么条件下才不思索？问：为什么不思索消费费用？在什么条件下才不思索？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当储存量降到件，当储存量降到零时，零时，Q件立刻到货。件立刻到货。允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当储存量降到零时仍有需求当储存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，呵斥损失出现缺货，呵斥损失原模型假设：储存

8、量降到零时原模型假设：储存量降到零时Q件件立刻消费出来立刻消费出来(或立刻到货或立刻到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期储存费储存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1储存量降到零储存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值目的函数目的函数213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总

9、费用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型为与不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQrT1tT留意：缺货需补足留意：缺货需补足Q每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的消费量每周期的消费量R 或订货

10、量或订货量332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQRDiscussions2 生猪的出卖时机生猪的出卖时机豢养场每天投入豢养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使备，估计可使80千克重的生猪体重添加千克重的生猪体重添加2公斤。公斤。问问题题市场价钱目前为每千克市场价钱目前为每千克8元，但是预测每天会降元，但是预测每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出卖。元，问生猪应何时出卖。假设估计和预测有误差，对结果有何影响。假设估计和预测有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间添加，出卖单价随投入资

11、金使生猪体重随时间添加，出卖单价随时间减少，故存在最正确出卖时机，使利润最时间减少，故存在最正确出卖时机，使利润最大大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出卖，可多得利润天后出卖，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出卖价钱出卖价钱 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，假设当前出卖，利润为假设当前出卖，利润为808=640元元t 天天出卖出卖=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研讨研讨 r, g变化时对模型

12、结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的相对敏感度的相对敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重添加量生猪每天体重添加量r 添加添加1%，出卖时间推迟，出卖时间推迟3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研讨研讨 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的相对敏感度的相对敏感度 tgdgdtggttgtS/

13、),(32033),(ggtS生猪价钱每天的降低量生猪价钱每天的降低量g添加添加1%，出卖时间提早，出卖时间提早3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt强壮性分析强壮性分析(Robustness)保管生猪直到利润的增值等于每天的费用时出卖保管生猪直到利润的增值等于每天的费用时出卖由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。wwpp,研讨研讨 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 假设假设 (

14、10%), 那么那么 30% 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(Discussions3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合思索损失费和救援费，确定队员数量。综合思索损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时辰失火时辰t=0, 开场救火时辰开场救火时辰t1, 灭火时

15、辰灭火时辰t2, 时辰时辰t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决议决议. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决议由队员人数和救火时间决议.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小NoImage 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时辰失火时辰t=0, 开场救火时辰开场救火时辰t1, 灭火时辰灭火时辰t2, 画出时辰画出时辰 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析

16、分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费 10tt1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速火势蔓延速度度 2t1tt2, 降为降为- x ( 为队员的平均灭火速度为队员的平均灭火速度 4每个队员的单位时间灭火费用每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1 1的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向周围呈圆形蔓延，均匀向周围呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面

17、积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目的函数目的函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设34xttt112假设假设2)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目的函数目的函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员是火势不继续

18、蔓延的最少队员数数dtdBb0t1t2 tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为知参数为知参数模型模型运用运用c1,c2,c3知知, t1可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用每个队员一次性费用, t1开场救火时辰开场救火时辰, 火势蔓延速度火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度每个队员平均灭火速度.为什么为什么? ? , 可设置一系列数可设置一系列数值值由模型决议队员数量由模型决议队员数量xDiscus

19、sionsn模型能否实践？4 最优价钱最优价钱问题问题根据产品本钱和市场需求，在产销平根据产品本钱和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价钱，使利润最大衡条件下确定商品价钱，使利润最大假设假设1产量等于销量，记作产量等于销量，记作 x2收入与销量收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价钱即价钱3支出与产量支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即本钱即本钱4销量销量 x 依赖于价钱依赖于价钱 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0

20、* ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价钱最大的最优价钱 p*满满足足*ppppdpdCdpdI最大利润在边沿收入等于边沿支出时到达最大利润在边沿收入等于边沿支出时到达pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模与求解与求解边沿收入边沿收入边沿支出边沿支出结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapx q / 2 本钱的一半本钱的一半 b 价钱上升价钱上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度需求对价钱的敏感度幅度需求对价钱的敏感度 a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思索：如何得到参

21、数思索：如何得到参数a, b?Discussions5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养给血管壁以营养抑制血液流动的阻力抑制血液流动的阻力耗费能量取决于血管的几何外形耗费能量取决于血管的几何外形在长期进化中动物血管的几何外形在长期进化中动物血管的几何外形曾经到达能量最小原那么曾经到达能量最小原那么研讨在能量最小原那么下，血管分支研讨在能量最小原那么下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度处粗细血管半径比例和分岔角度问问题题模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点

22、对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随血液给血管壁的能量随管壁的内外表积和体积管壁的内外表积和体积的添加而添加，管壁厚的添加而添加，管壁厚度近似与血管半径成正度近似与血管半径成正比比qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?调查血管调查血管AC与与CB, CB 粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动lprq84 pA,C压力差，压力差， 粘性系数粘性系数抑制阻力耗费能量抑制阻力耗费能量4218dlqpqE提供营养耗费能量提供营养耗费能量21,2lbrE管壁内外表积管壁内外表积 2rl管

23、壁体积管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABB CHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218dlqpqE抑制阻力耗费能量抑制阻力耗费能量21,2lbrE提供营养耗费能量提供营养耗费能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HltgHLlsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqr

24、brkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32. 1/26. 1rrsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE模型模型解释解释生物学家：结果与察看大致吻合生物学家：结果与察看大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732. 1/26. 1rr察看：狗的血管察看：狗的血管)4(5n3025n血管总条数血管总条数97302510103222n推论推论n=？6

25、. 实物交换问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需求，双方为满足更高的需求，商定相互交换一部分。研讨实物交换方案。商定相互交换一部分。研讨实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲的数量。设交换前甲占有占有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的数量为的数量为y0, 作图：作图：假设不思索双方对假设不思索双方对X,Y的偏爱，那么矩形内任一点的偏爱，那么矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xoxyyoy1y

26、20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模假设甲占有假设甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的称心程度，即具有同样的称心程度，即p1, p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，MN将一切与将一切与p1, p2无差别的点衔接无差别的点衔接起来，得到一条无差别曲线起来，得到一条无差别曲线MN, 线上各点的称心度一样线上各点的称心度一样, 线的外形反映对线的外形反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点称心度更高的点如各点称心度更高的点如p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。于是构成一族无差别曲线无数

27、条。上。于是构成一族无差别曲线无数条。yxp1.yxp2.c1y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x添加添加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1称心度称心度f 等称心度曲线等称心度曲线xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有一样具有

28、一样性质外形可以不同性质外形可以不同 双方的交换途径双方的交换途径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐坐标系标系xOy, 且反向且反向甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方称心的交换方案必双方称心的交换方案必在在ABAB交换途径上交换途径上由于在由于在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)称心度低于称心度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作ABABABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 xx0, 0yy0矩形内矩形内任一点任

29、一点交换途交换途径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原那换原那么么X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值一样，那么等价交价值一样，那么等价交换原那么下交换途径为换原那么下交换途径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 那么等价交换下那么等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.xDiscussionsq2U(q1,q2) = cq101l2l3l7 消费者平衡消费者平衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以到达最大的称心度。购买这两种商品，以到达最大的称心度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交，记作交