弹性力学课件08第八章空间问题的解答

1、第八章空间问题的解答概述第一节空间球对称问题的基本方程第二节空间轴对称问题第三节半空间体在边界上受法向 集中力7. 12空间问 题的解析解一般只育皂在特殊边 界条件下才可以得到。可分为空间球对称 问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几 何形状.约束条件以及夕卜载荷都对称于某 一点（过这一点的任一平面都是对称面）, 这时应力.位移等都对称于这一点，称为 球对称问题，球对称问 题的弹4生体的形状 只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何 形状.约束条件以及夕卜载荷都对称与某一 轴（过该轴的任一平面都是对称面）, 这 时应力. 位移等都对称于这一轴，称为轴 对称问题，轴对称问题的弹"生体的形状一

2、 般为是圆柱或半空间o在球对称问题中，应力. 应变、位移 等分量都只是径向坐标卩的 函数。第一节空间球对称问题的基本方程第一节空间球对称问题的基本方程d®微小，sin卩可用d®代替，简 化上式，得deP°p2H(er - o ) + F. qq> 7bpp径向正应变第一节空间球对称问题的基本方程切向正应变由于对称，只可育邑发生径向 位移，不可能得到切向位移, 由少匕得到根据应力应变的关 系，将应力用应变表示：取图示的微元体，由于对称， 各面上不存在切应力牙口切向体力。 根据径向平衡条件，可得平衡方 程：2 2(crp + dap)p + d p)d(p -a

3、p(pd(pYd cp2一 4ad Q(pd 0)sin + Fbp(pd(p) d p = 0第一节空间球对称问题的基本方程E(1 + v)(l 2v)(1 g + 2乞代入平衡方程得基本微分方程:E(l- v)(1 + “)(1 2")2u 2 d w- +_厂d p p d p2P=0第一节空间球对称问题的基本方程第一节空间球对称问题的基本方程不计体力 时，上述方程简化为d2 u 2 d w 2+u = 0 d P P & P P空心圆球受均布压力空丿圆球内半径为a,夕卜半 径为b,内压为么，外压为g亦体 力不计，基本微分方程为d2 u2 Au其解为Bu = Ap +

4、-2E B1 + v /?3得应力分量E A- 1- 2vE1- 2vE B + v p3边"I?*条件(bp)* =-仇，空心圆球受均布压力根据此边界条件，可求得系数得到位移解和应力解Rb'-1a庆r + J-1aa31-書-一务ara3+ ra3b32p'1 + vP q1- 2va3 1 - 2v+2 p1 + va3第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题ZJ dz1L-V砒LFzX?dQ厂Fbz, Fbp为体力分量第二节空间轴对称问题从轴对称物体中取出图 示的单元体O由于对称性T = T = 0P<P申PT = T = 0(pzZ(P并且环向体力分量为

5、零。第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题ilz1 1J 血1L Y JFz1dP第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题*卩b° +丁&P /( d、T +PZaI X 7根据79方向的平衡，可得、Jd cpd p (p+d p)d(pdz-apd(pdz-2a dpdz卩02dz p d (p d p T p_p d (p d p + Fb p p d (p d p d z = 0化简后得到d(r dr o - ex+ pz t P0 dp dzp第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题z1 J血JLJ-V J.FzrjTTTdQ第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题

6、( drm 、T H-Qz aI QP 7根据丹向的平衡，可得d p (/? + d p)A(pAz-Tp(pAz pcfda+ cr.d z p d cpd p - a p d (p d p + F.p(X cp A p d z = 0IOz丿化简后得到第二节空间轴对称问题竺+dzep+仏第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题这样, 衡方程为d(7+6p空间轴对称丿诃题的平dr o-o+ Fh 二0abQdzpdedrt一 + + + F- = 0 dzdpp由于对称，各点环向位移为零, 由径向位移产生的应变为du迭加得到几何方程dus =Q °pJ =Op由轴向位移w产生的应变

7、为7 zp _ dpu8 - (PPduY -+ Z ZPcdw这里的物理方程是)18= cr - V(cr + cr )E乙=匚0厂以s + 6) E2(1 + 1/)第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题上式应变分量用位移分量b Q MEV-e +、£ Qp1 + Vu- 2vp丿a =E(Ve +、1 + Vk 1 2v丿b =E'Ve +、o .z1 + V1 2v乙丿ETzp -2(1 +V)应力用应变表示为表示,(7=Pv01 - 2vV01 一 2vV01 - 2v2(1 + v) dzdu叽第二节空间轴对称问题将应力分量代入平衡方程，得到位移形式的 平衡方程

8、，这就是轴对称问题的基本方程：E2(1 +v)E2(1 +v)v deF1 - 2v dpV2w-9p)亠竺+61 - 2v dp0第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题在体力为零时，简化为1 - 2v dpv dO 0+ Vvv = 01 - 2v dp第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题其中V2 =齐1 3dp 2 p dp第二节空间轴对称问题第二节空间轴对称问题1 - 2v dp+ V2vv 二 01 - 2v dp1凡u 2G dpdz位移法求解轴对称问题，就 是寻求满足上述方程组，并且根 据他们求出的应力诈口位移满足边 界条件的位移分量。上述方程组 的直接求解比平面问题更为 困

9、难, 通常采用的是位移函数法。其方 法和应力函数法类似，先個/设某 种形式的位移函数，代入上述方 程组，得到他们应满足的条件。CD 12G2(1-v)V2 -代入（*）式，傅V4< =0也就是说位移 函数阿为 重调和函数。第二节空间轴对称问题我们也可以假设位移是 有势的，也就是说，位移分 量可以用位移势函数表示为1 dcpu =2G dp1 d（pw =2G dz这时有duudw1 9Q =11= V cpdppdzG代入（*）式，得v V = o&pa 2v> = odz审二C可以取C = 0,这时应力函 数调和函数vV = o第三节半空间体在边界上受法向 集中力第三节半

10、空间体在边界上受法向 集中力根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：1讥 1U ，CD 2G dpdz2Gq22 02(l-y)V2-d vV 及L半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以 趴°等长度坐标的正一次 幕，试算后，取设位移函 数为2 _p op0 Ib广忘(2i)V匚=含尺=含J，+亡0T 3 qOp(1加二第三节半空间体在边界上受法向 集中力0第三节半空间体在边界上受法向 集中力=一儿R33pz2R59儿0,"0(a)(T = A' p乙丿 z = O“HO(b)根据圣维南原理，有（2矽 d p）cr_ + F = 0i0

11、第三节半空间体在边界上受法向 集中力第三节半空间体在边界上受法向 集中力上述应力解，式（a）是满足的, 式（b）?=0卫工0A(l-2v)2P（C）不能满足。为此，我们再取一个位移势函数，它在Z二0处，6=0 而切应力与式（c）的切应力相抵消。通过量纲分析，位移函 数应是/?. z. °等长度坐标的零次幕，试算后，取% 二 A? ln( R + z)第三节半空间体在边界上受法向 集中力这时得到位移和应力分量为它在z=0处，Tz=O, 而切应力a9(t = z"z = O“HO2p迭加上面两个解Aa-2v)a2_q2 2 _P P得到：第三节半空间体在边界上受法向 集中力第三

12、节半空间体在边界上受法向 集中力22GR(R+ z)CO =2GR(1-2v)A(+A2 = 0U =1R(R+ z)A2将应力表达式代入co（2矽 d p）o_ + F 二 0R(R+ z)A.za2p7?3半空间体在边界上受法向 集中力半空间体在边界上受法向 集中力_ F (1-21/)/? J 2nR R + z3p,R，(1 - 2v)F27tR 2R R3阳(J MR'23F pf2兀R'FA =1 2tt人2二In代入以上两个位移和应力表 达式中并加，彳导到 满足，一 切条件的布希列斯克解答（位 移函数的個/设是不口隹一的）：(i + v)f rpz (iItiER

13、 r22 7iER-2v)z?R + z _2 1 z >+ R2不同的问题的位移函数不同， 找到适当的 位移函数是不容易的事，为此，前辈力学家作 了长期的努力，得到了一些问题的解。例 题 7. 17. 1设有半空间体，其比重为"* *H Mq.在水平边界面上受均布压力q的作用,Q v P11hV /X试用位移法求位移分量和应力分量。TX并假设在z二力处w二0。1/N例 题 7. 1例 题 7. 1提示：由于对称，假设位移法求解空间问题的方 程为：0 =du dv + dx dydwdzd w'dzseddsed2 w=0,:二 0,二:r (2)dxd zw = 0,

14、 v = 0, vv = vv(z) (1)2(1 + v)1 - 2v dy2(1 + v 八 1 一 2卩 dz2 )1+ 7 +耳 =° | 丿I、+ 、+匚=0>+ V2vv + F.D丿例 题 7. 1(1 +v)(l-2v)E(1 - v)p(z + A)7. 1设有半空间体，其比重为“ 在水平边界面上受均布压力q的作用, 试用位移法求位移分量和应力分量。 并假设在z二力处w二0。提示：(续)将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三 式成为E (1 d2w dS)+r +p = o (4)2(1+1/)(1-2卩 dz dz _ 化简后，积分以后得:例 题 7.

15、 1例 题 7. 1(5)(1 +v)(l- 2v)E(1 - v)上式中的4, B是任意常数，根据边界条件决定。7. 1设有半空间体，其比重为”,在水平边界面上受均布压力q的作用,试用位移法求位移分量和应力分量。 并假设在z二力处w二0。E (1(1 + v)1 - 2v提示：（续）将（5）代入弹性方程得：E1dve + (1 + v)1 - 2v dyE(1 +V)1dw、e + 1 - 2vdz)例 题 7. 1例 题 7. 1E2(1 +v)du dv+I Oy dx) Z = P(Z+ A)>(7)E2(1 +v)dv 一 + dzdwdyyzE (dwdu、t N在本问题的边

16、界上:前二式自然满足，而第三式 要求：例 题 7. 17. 1设有半空间体，其比重为“ 在水平边界面上受均布压力q的作用, 试用位移法求位移分量和应力分量。 并假设在z二力处w二0。应力边界条件为:（-乙）口 二 qA = q ! p例 题提示：（续） 求得应力分量:7. 1设有半空间体，其比重为" 在水平边界面上受均布压力g的作用, 试用位移法求位移分量和应力分量。 并假设在z二力处w二0。为了决定常数艮利用给定的位 移条件:（w）i = °例 题例 题(PZ + 纟)j得：bz =_(pz + g)(1 +v)(l- 2v)E(i)(仇+邑)2P例 题得铅直位移:例 题例 题(1 +v)(l- 2v)w £(l-v)P(Z + )2 + B(1 +v)(l- 21Z)E(l_u)P 00q(h z) + (犷一厂)2例 题7.2提