线性代数与解析几何复习题

1、线性代数与解析几何复习题一、矩阵部分(一) 填空题31 .设 G =( 1 2 3)0 =(1,1,1), A=gTP,B = Bo(T，则 A=.提示：A3=aTBotT PotT 0 =aT (0otT0aT)0 = 3tT02.设方阵A满足A2 +A41 =0,其中I为单位矩阵，则(A I )- = .提示：a +A-4I=0 ta +A-2I-2I=0 t (A-I)(A+2I)=2I t(A-I)(A+2I)/2=I3设方阵 A满足 A2 2A3I =0，贝y AA =.提示：A2-2A-3I=0 t A(A-2A)=3I1-11-1-121-14. 设 A=，则 r(A)=.-1-

2、3111 0-31_提示： 对矩阵a施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵a的秩。'a a T5. 设A=a 1 a，则当a满足条件时，A可逆.<1 a a提示：矩阵 A的行列式detA丰0时，矩阵可逆。(二) 选择题(D) F2RA = B1. 设n阶矩阵A,B,C满足ABC =1,1为单位矩阵，则必有()(a) ACB = 1(B)BCA = 1( C) CBA = 1( D) BAC = I提示：a的逆矩阵为bcq 23、2.已知Q =27t,卩是三阶非零矩阵，且QP=0,则t =()3 00F2 =010，则必有()J101_(A)ARP2=B(B)AF2P=B(C)PP2

3、A=B提示：矩阵B由矩阵a经初等行变换得到，故在 C或D中选择，P1、P2为初等矩阵，P1共17页 第1页2丿(A)-(B)1(C)-2 (D)2提示：P的列为齐次线性方程组 Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0-ana12a13a21a22a23-010l3.设A =a21a22a23,b =a11a12a13P1001a31a32比3 _©31 +ana32 +a12比3 +a13 _1001J为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选 C114设 n维向量=(,0,，0, ),矩阵 A = I， B = I 2：,其中 I2 2单位矩阵则

4、AB =(A)0(B)-I(C) I(D) I +o(To(提示：AB = (I- o(To()(l+20()=1+ 0(。一2 oJa oJa= 1+ oJgZ otT(a aT)o=I5. A、B均为n阶矩阵,且(A B)(A-B)二A2 -B2,贝U必有(-ab訥2a1b3a1匕4a2b1a2 b2玄2匕3a2b46 .矩阵A =,其中aa3b1玄3匕2a3b3a3b4a4b1a4b2a4b3a4b4 -A、1B、2C、3提示：A=( a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4)(三)计算题,Z1 0P1 设AB十1 =:A2 +B,A =0 20,I为单位矩阵-1 0b,求矩阵

5、Boi提示：AB-B=A 2-I t (A-I)B=A 2-I t B=(A-I) -1(A2-I) 也可使用矩阵初等行变换。-0,b = 0,i = 1,2,3,4,则r(A)=2 利用矩阵的初等变换解线性方程组提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换。2省 _x2 亠 3x3 亠2x4 =63x1 -3x2 亠 3x3 亠 2x4 53% -x2 -x3 +2% =33% -x2 +3x3=43 003 设矩阵A = 0-1 ,41一3且满足AX =2X B,求矩阵X .(A) B=E(B) A=E(C) A=B(D) AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB共17页 第2

6、7页t使用矩阵初等行变换。提示：AX=2X+Br11-r(1-1 1 "022=11 0订-1°t AX-2X =B4若X则T (A-2I)X =B提示：使用矩阵初等列变换。(四)证明题1 设A, B都是一个n阶对称矩阵，证明：AB对称的充要条件是 AB = BA。提示：参见作业上相关内容：AB=BA t AB 对称： AB 对称t AB=BA2. 证明：任何一个 n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和 提示：参见书上的例子。对称矩阵为B=(A+A T)/2反对称矩阵为C=(A-A T)/23 .设n阶方阵A不是单位方阵，且 A2 =A，试证明(1) A是不可逆矩阵

7、(2) A I与A 一21均为可逆矩阵，并求逆矩阵.提示：反证法：假设A可逆，则存在A-1，有A-1A=I。因为A2=A，故A-1A2=A-1A，由此 得A=I，与题设矛盾.根据A2=A凑出A+I与A-2I的乘积为单位阵I的倍数即可。4 .设同阶方阵 A,B，其中B可逆，且满足 A2 AB B2 =0，证明A和A B可逆.提示：A2+AB+B 2=0tA(A+B)+B 2=0tA(A+B)+B 2 B-1 B-1=0tA(A+B)( B -1) 2+I=0 t1 21 2A(A+B)( B - ) =-I t A 可逆，其逆矩阵为-(A+B)( B -)2 2 2 -1 -1 2 -1 2A

8、+AB+B =0tA(A+B)+B =0tB B A(A+B)+B =0t ( B ) A(A+B) +I=0 t-1 2-1 2(B ) A(A+B) =-I t A+B 可逆，其逆矩阵为-(B ) A二、行列式部分(一)填空题1. 行列式提示:2.若1+41+31+2提示:detA*=(detA) n-14X (-1)1 X 4阶矩阵A的行列式 A =3,A”是A的伴随矩阵则X 4X (-1)1 3 X 2 X (-1)1 2X 5'2 5 8 '3. 已知a = 0 b 6是奇异阵，则b=.<0 0 4提示：奇异矩阵行列式为零。4. 设代B是n阶可逆方矩阵且 A =

9、5，则A* =1/5, (ATA)3 =56, 2A=_5X2n : B：AkB = 5k.提示：利用矩阵行列式的性质。5.设ei是四阶单位矩阵的第i列，A = (3e2,e!,e2,e4)，贝U A= 提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。3-126.已知D =-21= 37,，则01-4'2A31 '3A32' A33 =A11A21A31A12A13A22A23A32A33，其中Aj是元素aj的代数余子式.提示：注意A12A22A32A13A23是伴随矩阵转置后的行列式，等于伴随矩阵行列式，故其值为A3337n-1，此处 n=

10、3。0.-2Ai -3人2 A3表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为（二）选择题1. 设A B为三阶矩阵,I为单位矩阵，det A =2、且A2 AB 20,则det（A - B）=（(A)0(B)-1提示：A2+AB+2I=0 tA(A+B)=-2I(C)-4(D)-2t |A(A+B)|=|-2I| t |A|A+B|=(-2) 3|l| |A+B|=-42. 设A为n阶矩阵，则必有(A)A + B =A+B(C)(A + B)，:=A° +B提示：|AB|=|A|B|=|BA|(B) AB = BA(D)ABBA'I3设n（n 一3）阶矩阵An1,则

11、a必为11 -n 提示：参见书本及作业上的例子。(A)1(B)(C)(D)n1-14.设A是n阶可逆矩阵（n 一2）,则*_1*n*n_!(A)det(A ) =detA (B)det(A detA (C)det(A (detA) (D)det(A (det A)提示：参见前面的内容。25. 设A B是n阶矩阵,且（AB） =1,1为单位矩阵，下列命题错误的是(D) BAB2 1(A) (BA) =1(B) A 二B(C)R(A)=R(B)提示：(AB) 2=I t ABAB=I t A(BAB)=I t A-1=BAB2 -1(AB) =I tABAB=I t (ABA)B=I t b =A

12、BA2 1t (BA) = BABA = (BAB)A= A - A= I6 .设AB为n阶方阵。下列命题中正确的是(A) AB =0二 A =0或 B =0;(C) AB=0二 A=0或B=0;(B)(D)( )AB = 0二 A= 0且 B = 0;AB式0二|A式0且B式0提示：AB=0 t |AB|=0 t |A|B|=0(三) 计算题1计算行列式yx000yx0.2、计算行列式D1 x11111 -x11111 y11111 y提示：第一题：按行或列展开, 第二题：利用初等变换。或将第一行的y/x倍加到第4行,但要讨论x为0时的情形。2x-| x2 2X3 = 03 当A为何值时，齐

13、次线性方程组 丿X! +x2 +x3 = 0有非零解提示：系数矩阵行列式为(四)证明题21 设A是n阶方阵，且满足 A二A ,试证明A不可逆或者 A = I .提示：假设A可逆，即A-1存在，则根据 A2=AtA-1A2= A-1AtA=I2 设A, B是n阶方阵，证明(1)若 A=0,AB =0,贝 U B 不可逆(2)若 detA = 0,AB=0，贝U B =0。提示：假设B可逆，即B-1存在，则根据 AB=0 tAB B-1= 0B-1tA= 0t矛盾(2)detA 工 0t a 可逆t齐次线性方程组 Ax=0只有零解AB=0 t B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解t B=0或：A

14、 可逆，即 A-1 存在t根据 AB=0 tA-1A B= A -10tB= A-1三、空间解析几何部分(一) 填空题1 已知 - ' -1,2,3'，则 a -.提示：a0=a/| a|2.设日=3 R =26,2x6 =72,则 a b =.提示：|a 彩|=|a|b|sin“Tcosa：ta.b=|a|b|cos'3 已知四点 A(-424), B(6,3,2), C(1,4,-0, D(-1,-2,-3)，则 S ABc 二VABCD 二提示：向量乘法(向量积、混合积)的几何意义4.点(1,2,1)到平面x 2y 210的距离是.提示：点到平面的距离公式5.过两

15、点P(3,-2,1)和Q(-1,0,2)的直线方程是 .提示：先求直线的方向向量，然后带入公式即可。X = z6. 垂直于y轴并垂直于直线丿的直线的方向向量是.y = 2z提示：Y轴的方向向量(0, 1，0)与直线的方向向量(1，2，1)取向量积。(二) 选择题1. |a b|a -b|的充要条件是(4 i呻片片4 4斗 呻(A) a =0或b =0(B) a b =0(C) a b =0(D)|a|=|b|提示：参见练习。向量和与向量差的几何意义，向量垂直的充要条件。2 .设向量a - -1, -2, 2 ?,b - 3 , 4?,已知向量a在向量b上的投影是1,则=(A)0(C) 0或 2

16、03(D)20提示：Prjba=|a|cos = , |a|= 3coscos'：】 a.b)/(|a|b|)3. 设向量a, j1, ,小，a bi1, 1,2?,则 1:二(D)7, -7,14?(A) ”10, 10,20?(B)14,14,28?(C)l5,5,10：提示：向量平行，对应坐标分量成比例。4 .设向量 a = 3，,'2 ”,b =：2,_1,-'1 ；c = ： ,d,1 /,且(a b) c =3,则，=(A) 0(B) -1(C) 1(D) _1提示：向量混合积的计算方法。片呻寸 44呻 呻呻5. 若(a b) c =1,(a b) (b -

17、 c) (c a)(A) 1(B) 2(C) 3(D)4y1 z1y2 z2的行列式detA = 0，而其y3 Z3提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。6. 设三个向量 aj =&, yj, Zj (i =1,2,3),矩阵 A= x2-X3伴随矩阵A”=0的充要条件是(A)三向量互相平行(B)存在不共线两向量(C)三向量共面(D)三向量共面，有两向量不共线提示：参见练习有关内容(三)计算题"x + y_z + 1=0 "匚壬1、求点 P(3,1,2)到直线丿的距离gx-y+z-4=4提示：参见课本内容。2、求过两点A(2, _1,1),B(1,1

18、,2),且垂直于平面x y z =1的平面方程。提示：该平面的法向量垂直于平面x+y+x=1的法向量，也垂直于向量 AB.根据向量积得到所求平面法向量。3、 求过三平面:2x y _z _2 =0;x _3y z 0;x y - z _3二0的交点,并平行于平面 x y 2z =0的平面方程。提示：先求交点。(x_ 2z 亠 1fx y 亠 z 2 - 04、 已知直线Li :-丄2：'-证明L1/L2 (2)求Li与L2所确定的平面。y=2z+2J3x2y2=0提示：求出两直线的方向向量是平行的(各坐标分量成比例)，然后在2直线上各任取一点构造一个向量，与直线方向向量取向量积得到所求

19、平面的法向量。5、已知直线Li :y 3_ 13x y z -1 = 0(1证明直线J与直线L2相交(2)求直线匚与直线L2所确定的平面。(1) 证明方程组有唯一解即可(2) 根据两直线方向向量可得过两直线平面之法向量。6、说出下列曲面的名称(1)x2 -4y2 =4 X2 - y2 =2zz2 4y2 = 4(6)4x2 -9y2 4z2 =36(3)x2 y2 =z22 2 2(7)4 x y z = 4 x2 y2 =2z(1)双曲柱面 (2 )椭圆柱面 (3)圆锥面(轴线平行于 z轴)(4)圆形抛物面(5) 马鞍面(6)单叶双曲面(7)双叶双曲面7、求下列曲线在指定坐标面上的投影曲线。

20、(1)求曲线丿2丄 2x + yx +z =1z2=9在yoz面上的投影消去变量x求曲线丿2丄2丄2小门x2 y2 z =36在zOx面上的投影.X2 +y2 =2x第二个方程y2代如第一个方程即可消去变量y222(x1) +y +(z+1) =48、将下列曲线的一般方程化为参数方程太简单了四、向量空间与线性方程组部分2丄 2丄 2小x +y +z =9 (1)y =xz =0(一) 填空题1、已知向量组 & =(1,2, 1,1),a2 =(2,0 ,t,0) ,a3 =(0, 4,5, 2)的秩为 2,则 t =.对矩阵A=(ai,a2,a3)进行初等行变换，其非零行数为2。2、

21、设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n - 1，则线性方程组 AX = 0的通解为.参见练习册相关题。3、向量 a =(2,0,0),在基(1,1, 0),(1,0 ,1),(0,1,1)下的坐标是 .广 1102、对矩阵1010进行初等行变换，前 3列变为单位阵时，第四列即为坐标。卫 1 1 0 J q 0 2、4、设A是4汉3矩阵，且A的秩为2,而B= 020 ,则R(AB)=L1 03参见练习有关题目。B为满秩矩阵。5、 设向量组，亠 可由 r -2/ ， -s线性表示，且r s，则：,，2/ ，r线性关提示：相关。6、 两个同维向量组的秩相等是它们等价的必要条件kx y2z 二

22、 07、若齐次线性方程组 x + ky+2z = 0有非零解，且k2式1贝U k的值为kx + y +kz = 0系数矩阵行列式等于 0。(二) 选择题_1、若向量组:, 1,线性无关；，：，-:线性相关，贝y()(A)必可由一：，：线性表示(B)必不可由：，线性表示(C)-必可由',线性表示(D)必不可由一：，线性表示参见练习册相应题目。2、设A是m n矩阵，秩为r ：n,lm为m阶单位方阵，则(A) A的任意m个列向量线性无关(B) A的任意m个子式不等于零(C) A经过初等行变换可化为I.Im,0 1(D)若矩阵B满足 BA=0，贝U B=0参见练习册相应题目。矩阵A经有限次初等

23、行变换可化为C110CI2C22I0C1rC1,r 1C2rsC2,r 1CmrCm,r 1c1nC2n，显然答案应该为D。3、设A是m n矩阵，则齐次线性方程组 AX =0仅有零解的充要条件是(A) A的列向量组线性无关(B) A的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性无关(D) A的行向量组线性相关系数矩阵列向量线性无关-> Ax=O仅有零解4、非齐次线性方程组 AX =b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r ,(A) r = m时，方程组AX =b有解(B) r 时，方程组 AX =b有唯一解(C) m=n时，方程组 AX二b有唯一解(D) r ：n时，方程组AX二

24、b有无穷多解考察增广矩阵经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵:CI15C1rC1 ,r+0C22aC2raC2,r+00 CrrCr ,r+00 00030 0a0-00 000C1np2nCrn00did2drdr 10R=n、r<n不能说明dr+i工0，所以不能说明方程组 Ax=b是否有解 m=n也不能说明方程组有解当r=m时，方程组有唯一解。$、设A是m n矩阵，AX =0是非齐次线性方程组 AX =b所对应的齐次线性方程组，则 下列结论正确的是()(A) 若AX =0仅有零解，则 AX二b有唯一解(B) 若AX =0有非零解，则AX =b有无穷多个解(C) 若AX -b有无穷多个

25、解，则 AX =0仅有零解(D) 若AX =b有无穷多个解，则 AX =0有非零解D6、已知向量组ai =(1,1,1,0),a2 =(0,k,0,1),a3 =(2,2,0,1),a4 =(0,0,2,1)线性相关，则k =()(A) -1(B) -2(C) 0( D) 1可直接应用线性相关得定义求解，即线性方程组a1 x1+ a2x2+ a3x3+ a4x4=0有非零解或者对矩阵A=( a1, a2, a3, a4)取行列式，其值为零。7、n维向量组：“，:小山，儿线性无关的充要条件是()(A) 存在一组数 c(i =1,2jH,k)使c“1 C2：2 川Ckk =0(B) 冷,：-2，川

26、，亠中任意两个向量线性无关(C) 在：1 , >2,儿中，存在一个向量不能用其余向量线性表出(D) 冷，：-2,，:k中任一个向量都不能用其余向量线性表出D8、下列结论正确的是()(A) 等价的线性无关的向量组，所含的向量个数相同(B) 在一个向量组中，它的任意两个极大无关组不一定是等价的(C) 向量组A与向量组B等价的充要条件是它们所含的向量个数是相同的(D) 等价的向量组的秩不一定相同A9、 设A , B均为n阶方阵，且r(A) ：: n/2 ,r(B)： n/2，则齐次线性方程组AX =0 与 BX =0(B)同解(A)没有相同的非零解(C)只有相同零解(D)有相同的非零解考察A、

27、B经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵C11C12C1rC1,r+09C22aC2raC2,r+a00 CrrCr ,r+00 0000 S0a00 00CinIC2nCrn0010 nn答案应该为C.(三) 计算题1、设向量组,_:辺=(3, -1 ,2,0),= (1,3,4, 一 2)T、爲=(4, 一 3,1,1)求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。对矩阵A = ( ：-1, ：-2, ：-3, ： 4)施行初等行变换2、已知：1 =(1,0,2,3),：七= (1,135) ,： 3 = (1,-1, a 2,1), ： 4 = (1,2,4,a

28、 8)及 一 (1,1,b3,5)，问：(1) a ,b为何值时，:不能由/ 2 / 3/-4线性表示.(2) a ,b为何值时，可由/-2/-3 /-4唯一线性表示？并写出该表示式.对矩阵A = (：'1, ：'2,為,：)施行初等行变换3、已知向量组2, >3 ,线性无关，指出下列向量组的线性相关和无关性(1) >1 *2 , >2 *3 , >3 *4, >4 ：j( 2 )1 2, >2 -3 =3 - >4 ,4 一 ：j >1 *2 ,2 *3, >3 *4,4 一1( 4 站 *2,2 *3,3 一4,4 一1

29、参见练习册相关题目3、设三元非齐次方程组 AX=b的系数矩阵A的秩为2,且它的三个解向量 "儿满足2 =(3,1,-1)丁，, 3 =(2,0,-2)丁 ,求 AXb 的通解.AX=b t A =b, A _=b, A bA(二-)=0一-为齐次线性方程组 AX=0的通解宀上=(1,1,1)TAX=b t a =b , A =b, A 亍btA( 丁 )=2b t ( + )/2 为非齐次线性方程组 AX=b 的特解t ( 一+ j/2=(5/2,1/2,-3/2) T又因为AX=b为三元方程组，系数矩阵的秩为2,所以其解空间的维数为1,所以AX=b的通解为 x= (5/2,1/2,

30、-3/2) T+k(1,1,1)T| X1 ' X2 _ X3 = _ 14、 设线性方程组<2xi十収2 2X3 =0kxj +2x2 +x3 =k(1) k为何值时，方程组有唯一解、无解；(2) k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解 对增广矩阵施行初等行变换5、设 ai = (2,2, -1)T Q = (2, -1,2/ 耳=(-1,2, 2)T ,$ = (4,3,2)丁 ,验证 ai, a?忌 是 R3的一个基，并求b1在这个基中的坐标.证明31, 32, 83线性无关即可；对矩阵A=( a1, a2, a3, b”施行初等行变换，a1, a2, a3列化为行最简

31、形时，S列即为坐标。|x1 - 2x2 3x3 x4 = 06、求齐次方程组 2人x2 +x3 3x4 = 0的基础解系捲 + x3 x4 = 0太简单。(四) 证明题1、 设*是非齐次线性方程组 Ax=b的一个解，1, 2/' ,是对应的齐次线性方程组的一 个基础解系，证明：(1) *1, 2，2线性无关(2) *, * 1, * 2,，* 线性无关。参见练习，课上讲过。2、 设向量组：、，,，：、是齐次线性方程组 AX =0的一个基础解系，向量1不是方程组AX =0的解，即 - 0。试证明：向量组 1心1，:'2,，'；Ut线性无关(反证)假设'-,'

32、;+ ：1, +2,4",线性相关T存在一组不全为0的数k0,k1,k2,kt,使得k0:+ k1( ：+冷)+ + kt( :+ : t)=0 t (k0+ k1 + kt) :+ 刚冷+ + kt：t=0» 1, >2，:t 是线性方程组 的基础解系t佝，：2，:;t线性无关tk0+k1+kt0t A( k0+k什+kt)归A(-k1、f1-kt、£t)=0 t A ：= 0 t与题设矛盾t得证。3、 若向量组1,2,i,m线性相关，但期中任意口-1个向量都线性无关，则存在一组全不为零的实数k1 *2,km，使得k 1 kkmm =0.(反证)参见练习册

33、。使用反证法。五、特征向量与二次型部分(一)填空题1、 设n阶矩阵 A的元素全为1,则A的n个特征值为 ,参见练习册：0和n。2、 设A可逆，人是方阵的特征值，则 A，的特征值是 , A的特征值是 ,1 - A的特征值是参见练习册。3、 设A为n阶方阵，且 A = A，则A的特征值只能是 .0或14、 设A,B均为n阶矩阵,且A有n个特征值0,1,2川| n_1,且A与B相似,则det(l +B)=.-1 -1 -1B=C AC tl+B= C (l+A)C tdet(l+B)= detC (l+A)C=n!5、设4阶方阵A的4个特征值为3, 1, 1 , 2,贝U A =.3 x 1 x 1

34、 x 26、设1二a,0,-1T, :- 2 =1,b,1T, :- 3 =c,1,2T是三阶实对称矩阵 A的三个不同特征值所对应的特征向量，则a=, b =, c =.A是实对称矩阵t A属于不同特征值得特征向量是正交的。7、向量 a =(-1,0,3,-5)=(4,-2,0,1),其内积为.(-1)X 4 + 0x(- 2) + 3X 0+( 5)X 1228、二次型f(x,y,z)=2x 2xy+4yz + z的矩阵表示形式是 ."2 -1 0、A= -102I。2 b9、二次型f (x1,x2,x3 2x12 x22 x32 tx2x3是正定的，则t的取值范围是 .1200

35、'二次型矩阵为 A= 01t/2 ,1、2阶顺序主子式都为 2>0,因此，只要二次型e t/21 ;矩阵A的行列式detA>0，二次型即为正定二次型。"1 1 0 110、 设A= 1 k 0是正定矩阵，则 k.0 0 k2 _j方法同上。(二)选择题1、设A是n阶方阵，满足 a2=i , l为n阶单位方阵，则()(A) det A =1(B) A的特征值是1 (C) R(A)二n (D) A是对称矩阵2 2 2A =l t( detA ) =1 t( detA)=1 tdetA= ± 1 丰 0t a 可逆t R(A)=n2、 设A, B是n阶实方阵，

36、且 A与B相似，则下列结论不正确的是()(A) det( l - A)二det( l - B) (B) tr(A)二 tr(B)(C) detA二detB (D) A,B均有n个线性无关的特征向量D3、 设矩阵A是奇数阶的反对称矩阵，则A一定有()(A)零矩阵(B)可逆矩阵(C)有零特征值2(D) A =0A是奇数阶反对称矩阵t AT=-AdetAT=detA=det(-A)=(-1) ndetA=detA(因为 n 为奇数)tdetA=0 detA= - vnTA 有 0 特征值。4、n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是()(A)矩阵A有n个特征值(B)矩阵A有n个线性无关的特征向量(C

37、)矩阵A的行列式detA=0(D)矩阵A的特征值多项式没有重根B(C)有零特征值( )(D)以上都不对5、设n阶方阵A满A2二A，则矩阵2I -A是(A)可逆矩阵(B)不可逆矩阵A2=A t (A+I)(2I-A)=2I t (2I-A)可逆6、若是矩阵A的对应'0的特征向量，则矩阵PAP对应-0的特征向量(A) P S (B) (PAP):(C)P:(D):参见作业。(P-1AP)P-1=P-1AP-1 匚一 iP"1 :-7、设n阶矩阵A与B具有完全相同的特征值，则(A) A与B相似(B) A与B对合(C) |A|=|B|(D) A与B有相同的特征向量detB=detA=

38、 |n& 下列三个矩阵中不能对角化的是-1201(B)010-003_-1111(D)022-003_123(A)213336 一102(C)000卫0 0 一A是实对称矩阵，一定可对角化;D有3个不同的特征值，一定可对角化只要计算B、C是否有3个线性无关的特征向量即可。9、设 |A| = 0, >1, 2 是 AX =0 的一个基础解系， A3 =3=0，贝U (不是A的特征向量(A) >1(B) >1 -22(C) ： 13： 3(D) 2 3A( ：-1+ ： 2)=0=0( ：'1+ ： 2)A( ： 1-2 ： 2)=0=0( ：1-2 ：2)A(

39、：1+3：3)= 3A ： 3 =3： 3A(2 - 3)= 2A - 3 =2： 3 故选Co2 1 110、已知a=(1,k,1)T是矩阵A= 121的特征向量,则k =112(A) 1 或 2(B) -1 或-2(C)1 或-2(D) -1 或 2根据特征值与特征向量的定义A产，：，可求得k及:对应的特征值，为1或-2。(三) 计算题1、设A是n阶方阵，2,4,6,|,2n是A的n个特征值，I是n阶单位阵，求 det(A_3l).依题意：| I-A|=0 ( =2,4,6, - ,2n)宀 |( -3 I-(A-3I)|=0 宀A-3I 的特征值为-3，即-1,1,3,5,2n-3tde

40、t(A-3I)=-1*3*5* *(2n-3)210'2、设A=120 , (1)求A的特征值；(2)求其特征值所对应的特征向量.e 0 2>(1)确定参数a,b的值根据特征值与特征向量的定义求取即可。勺0 0 "1 0 0"3、设矩阵A =0 a 2与矩阵B =0 2 0相似，电2 3少0 b(2)求一个可逆矩阵P,使PAP二B.(1)方法一：利用相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值求取a,b。B为对角阵，因此，A、B的特征值为1、2、b。使用I-A|=0得到A的特征多项式为( -2)( 2-3 - a+3a-4)=0，显然2为A的特征值，因 为1是A、

41、B的特征值，将，=1带入上述等式，求得a=3。将a=3带入上面的等式，可得C-2)( 1)( -5)=0，即，=5是A、B的特征值，因此 b=5。(1 )方法二：相似矩阵行列式相等、矩阵的行列式等于其特征值的乘积，矩阵特征值的和等于其主对角线上的元素和：2+ a+ 3= 1 + 2+ bdetA=2 x (3a-4)=2b=detB可求得a、bo(2)利用特征向量的一般求法即可4、已知三阶实对称方阵A的特征值为-1, -1,8，且-1对应的特征向量为(1 -2 0T与T10 T ，求方阵A.矩阵A为实对称矩阵t存在正交矩阵C,使得CTAC=上.其中为上以特征值为对角元素的对角阵。矩阵A为实对称

42、矩阵t A的属于不同特征值的特征向量是正交的t属于特征值8的特征向量与属于一1的两个特征向量正交t (1,-2,0)T与(1,0,-1)T的向量积即为属于特征值 8的 特征向量C.采用施密特正交化方法，将A的3个特征向量单位化后，得到正交矩阵A=C 上 CT5、确定实数的取值范围，使二次型 f =4xi2 X22 3x32 2 X1X2 2xx3正定.广4人广二次型的矩阵为 A=九10，可以根据3个顺序主子式全部大于 0,或求得3个J 0 3特征值全部大于 0确定，的范围。6、用正交变换把二次型 f =xi x X3 4x1x2 4x2X3 4x1x3化成标准形，并求出正交变换矩阵.广1二次型

43、的矩阵为A= 2<22 2、1 2 ，按实对称矩阵对角化一般方法求取。2 b7、设A是三阶方阵，已知A：. =i : i (i =1,2,3)，其中-二 2,2,-1 丁，： 2 二-1,2,2 T,0(3 =(2, 1,2 T，又 0= (1,2,3 y，试计算 (1) A&(2) AnP(i=1,2,3)A : i=i : i(i=1,2,3) tA的3个特征值为1, 2, 3,对应特征向量分别为:-1、-2、3。Aot1=1 01宀 Ano(1=1no(1=o(1。、；1、'<2、；3 线性无关T可求取线性相关系数ki、k2、k3,使得 L：=ki .-：1+k 2 ."；：2+k 3 ."；：3TAnp=An(ki o(1+k2 ot+k3 cfe)= ki An o(1+k2 An g+k3 An o&= kt 1 + k22%(2+k33%t3&设:1、a =1P =2所求向量为a、b的向量积。一 1 -2a9、设 A = -2-24实对称矩阵，2为A的特征值-ab-2_!(1)求 a,b