多元函数微分学的课件

1、多元函数微分学的PPT课件一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线三、小结三、小结第七节第七节 多元函数微分学的多元函数微分学的 几何应用几何应用多元函数微分学的PPT课件设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 多元函数微分学的PPT课件考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzz

2、yyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx 多元函数微分学的PPT课件,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 多元函数微分学的PPT课件例例1 1 求求曲曲线线: tuuduex0cos，tysin2 tco

3、s ,tez31 在在0 t处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即多元函数微分学的PPT课件1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：多元函

4、数微分学的PPT课件2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzyzyxzyxGGGFFFkjiT 注：切向量注：切向量多元函数微分学的PPT课件例例 2 2 求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导

5、并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 多元函数微分学的PPT课件由此得切向量由此得切向量),1, 0, 1( T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz多元函数微分学的PPT课件设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、曲面的切平

6、面与法线二、曲面的切平面与法线nTM多元函数微分学的PPT课件),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 由由于于曲曲线线是是曲曲面面上上通通过过M的的任任意意一一条条曲曲线线，它它们们在在M的的切切线线都都与与同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通过过M的的一一切切曲曲线线在在点点M的的切切线线都都在在同同一一平平面面上上，这这个个平平面面称称为为曲曲面面在在点点M的的切切平平面面.切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx多元函数微分学的PPT课件 通通过过点点)

7、,(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.多元函数微分学的PPT课件特殊地：特殊地：1.空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲

8、面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令多元函数微分学的PPT课件2.空间曲面方程形为空间曲面方程形为 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx曲面在曲面在M处的切平面的法向量为处的切平面的法向量为:),(00vuvvvuuuzyxzyxkjin 多元函数微分学的PPT课件例例 3 3 求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2()1,2,2( yxn),1, 2,

9、 4( 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx多元函数微分学的PPT课件例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在点点)0 , 2 , 1(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx多元函数微分学的PPT课件例例

10、 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 多元函数微分学的PPT课件因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(

11、12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)多元函数微分学的PPT课件空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）三、小结三、小结多元函数微分学的PPT课件思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .多元函数微分学的PPT课件思考题解答思考题解答),2,2,6(000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知法向量为依题意知法向量为)3, 3

12、( 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 多元函数微分学的PPT课件一一、 填填空空题题: :1 1、 曲曲线线2,1,1tzttyttx 再再对对应应于于1 t的的点点处处切切线线方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法平平面面方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 曲曲面面3 xyzez在在点点)0 , 1 , 2(处处的的切切平平面面方方程程为为_ _ _ _

13、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法线线方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求出出曲曲线线32,tztytx 上上的的点点, ,使使在在该该点点的的切切线线平平行行于于平平面面42 zyx. .三三、 求求球球面面6222 zyx与与抛抛物物面面22yxz 的的交交线线在在)2 , 1 , 1(处处的的切切线线方方程程 . .练练 习习 题题多元函数微分学的PPT课件四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .五、试证曲面五、试证曲面)0( aazy