研究生矩阵论课后习题答案全习题三

1、习题三1证明下列问题:(1)若矩阵序列Am收敛于A，则Am收敛于AT， Am收敛于A ；(2)若方阵级数CmAm收敛，则m 0mCm Am 0Cm(AT)m.m 0证明：(1)设矩阵Am(a(m)nn,m 1,2,A(a(im)nn , Am(aij(m)n n , m1,2,A(aij )nA(aji )n n， A(aij ) n n ,若矩阵序列 Am收敛于A，即对任意的i,j 1,2,n，有lim a(m)maij ,mma絆 a，mmj) aj，门 佃，n，Am收敛于a ,Am收敛于A.设方阵级数CmAm的部分和序列为m 0S1,S2,Sm ,其中 SmCgC1A.mCmA若Cm A

2、收敛，设其和为S，即m 0mCm Am 0S，或 lim Smmlim smmsT.而级数 Cm(AT)m的部分和即为m 0sm，故级数Cm(AT)m收敛，且其和为m 0ST,TCmAmm 0Cm(AT)m.2已知方阵序列(1)lim Am证明：设矩阵若矩阵序列 AmAm收敛于A，且A ;( 2)lim Am1mAm(a(m)n n,mA 1.1,2,收敛于A，即对任意的i, j(1)由于对任意的j1 , j2,limmlimmm j<a11A都存在，证明:,A(aij )n n ,(m)lim aijaij.m,jn，有m)j(2amJn(na1,2, ,n，有nanm'(na

3、A ( 1)(jlj2 j怙®j2 anj j1 j2jn故mim如卜.因为1 (A(m) A 1 Am(Aij)nn，A(Aij)n其中A（m）,Aj分别为矩阵Am与A的代数余子式与（1）类似可证明对任意的i, j 1,2, n，有lim A(m)Aj ,m结合mm AmA，有lim Am1A3设函数矩阵其中t0，计算何知,si ntcosttsi nt tt et210t3A(t)d2dt2A(t),dtA（t），-J評）解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有0(2)(3)(5)modtA(t)d2 dFA(t)A(t) dtet3t2si ntddtA(t)=2 t3

4、t e cost4设函数矩阵1d计算 A(x)dx和0dxlim sin tt 0sin t,_Tm 10ImH t(sin t)(平)1lim costt 0lim ett 0limt 0(cost)(et)驚A(t)sintsintt1costtet3 (sin t(t2)(t3)(2tt2t3cost)costt cost sin tt203sin t(t costA(x)x20 A(t)dt .lim tt 0lim t2t 0lim ttcosttcost sintsin tt2)sin t0sin ttesin t)2xex e3xt202t costsin ttecostte1

5、t(2cost tsint)2t3t2x xec 2x2ex22t ；6t解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有3t2t(sin 2tcos2t)e2xdx1x ,xe dx1 2x dx00e xdx12e2xdx0013xdx001(1) o A(x)dx =10101(e2 1)1 e132(2)ddxx20 A(t)dt=2xA(x2)=2x2ex2e2 x2 x e 2e2"3x24x005设 y (y,t), y2(t), yn(t)T, A为 n 阶常数对称矩阵，f(y) yTAy ,证明:（1）df2吒；dt（2）dy2 2哼dt2dt证明:（1）

6、兽(yTAy)(yT) Ay yTAydt2yTAy2yTA也，dt（2）訓2 d>T）2煜(yT) Ay)T yTAy6证明关于迹的下列公式:(1)tr(XXT)tr(XTX) 2XdXdX(2)d-Jtr(BX) tr(XTBT) BT ；dXdX(3)dtr(XTAX) (A At)X .dX其中 X (xij ) m n B (bij ) n m，A (aij )m m证明：(1)因为tr(XXT) tr(XTX)x：,i 1 j 1m n(xi) 2Xj ,Xj i 1 j 1故(2)因为pldXtr(XxT)pldXtr(xTx)2XmBX (bik Xkj ) n n ，k

7、 1n mtr(BX) tr(XTBT)bjkXkj ,j 1 k 1n m(bjk xkj )Xijj 1 k 1bji，故(3)因为plddXtr(BX)软(XTBT)bt .X11X21Xm1xtX12X22Xm2XmX2nXmnmmmmak 1mmkXk1k 1amkXk2mamkXknk 1故mmmmmmtr(XtAX)(X|1aik Xk1)(Xljalk Xkj )(XinaikXkn)l 1k 1l 1k 1l 1k 1则mmtr(XT AX)(XljalkXkj )XijXijl 1k 1mX|jmm-aQGjXlj(a Xkj)l 1Xijk 1Xijk 1AXalkxk1

8、a1kXk2a1kXknk 1k 1k 1mmma2kXkla2kXk2a2kXknk 1k 1k 1mmaik xkjaiiX|jk 1l 1故tr(XTAX) AX AtX (A AT)X dX7证明：ddX7(aTb)bTdadbdXTTa dXT其中a(X),b(X)为向量函数证明：设a(X) (ai(X), a2(X), ,am(X )T ,b(X) (bi (X), b?(X), ,bm(X)T ,aT(X)b(X)ai(X)b(X)，i 1故它是X的数量函数，设f(X)aT(X)b(X)，dX亍(aT(X)b(X)X2xn)叫(X)ai(X)b（x）XiMb(X) ai(X)*X

9、nXnm(i 1Xabi(X),im±bi(X),1 X2abi(X)Xn(爲(X) bi(X)i 1Ximai(X) bi(X)i 1X29i(X)止)Xn,t da t db b 面 9 dd?8.在R2中将向量（捲,X2）T表示成平面直角坐标系X1,X2 中的点（X1 ,X2）T，分别画出下列不等式决定的向量X （X1, X2 ）T全体所对应的几何图形: X11, X21(3) X 1.解：根据IIXLX1X21,X 2X2x；1, Xmax X-!, x21，作图如下:i 19证明对任何x, yCn，总有Tx yTy x122(x y2x y).证明：因为Xy；(Xy)T(x

10、y)TX XTTTX y y X y yl|xy：(xy)T(xy)XTxTTTX y y X y y故y2Xy 2) xT-Ty y x10证明：对任意的x cn，有x X2 X证明：设 X (xX2, ,Xn)T，则xX2X1max x1, x2|2X1X2|Xn,Xn,2 ,2X2XnXi由于(max x1, x2故即Xn )22Xix22X22Xn( XiX2x2 Ni，Xn )2 ,11设a1 ,a2, , an是正实数，证明：对任意 X (x1, x2, , xn)T Cn,1n 2 2|x|ai Xi是Cn中的向量范数证明：因为(2)kX(3)对于YY2因此X12.证明:aii

11、1aiaiXi(yi, y2,XiXiyi0,且Xk aii 1yn)TCyi,x2ai XiXnaii 1yn),Xik| x| ；ai1yiY.2X YY)212是C中的向量范数.n max a”1 i ,j n “ij是矩阵A (aj)nn的范数,并且与向量的1范数是相容的.证明：因为(1) An max aij1 i,j n 'ijA 0；kAnmaxnkajijk n maxn ajijk|A ;B| n max a“1 i,j n 'n max aij1 i,j n 'ijn max 6 IIA1 i,j n J(4)设 X(X1,X2, ,Xn)T,则nn

12、nAXnaijXjj inmaXa1j jXj1nmaxa2iXj1 j n j j 1 jnmaxanjXj1 j n j 1n max aij1 i,j n ijXjA X1因此An max aij是与向量的1 i ,j n J1范数相容的矩阵范数AX (aijXj, a2jXj, anjXj),j 1j 1j 1nanjXjj 113设A Cn n，且A可逆，证明：|Al IA1.证明：由于AA 11,11,则1 川AA1 lAA1,故|Al IA1.14设A Cn n，且|A 1,证明：I A可逆，而且有（1）（IA) 11(2)|(| A) 1 IIA1 A证明：（1）由于(I A)

13、 1 I (I A) 1 A,(I A)1 (I A)1A I (I A) 1 A ,(IA)(2)因为(IA)I A,两边右乘(I A) 1，可得(IA)1A(I A),左乘A，整理得A(IA)1AA(I A),AdA)1 AAA(IA)1 A A A(I A) 1 ,(IA) 1且1 A.(1)kA kl e e(k l)AA 1Ae，特别地(e )e ；(2)当ABBA时，eAeBB AA Be e e ；(3)d At e dtAeAteAtA ；(4)当ABBA时，sin( AB) sin AcosB cosAsin B15设 A,BCnn,k,l C 证明:证明：(1)e(kl)A

14、(k I)nAnn!10 n! m 0Cm(kA)m(IA)n m1mCI(I m)!m(kA)m(IA)Io i o (I m)!1 (I讪(怕气阳I!m!m 01 0 I! m!1(kAniA)丄(kA)m m 0 m!1o1(kA)IkA IA e e又因为e°A)Ae A(e(2)当 ABBA时，二项式公式成立,+(Ao n!|0护同理，(AB)ncnmAnm 0B)n10 n!cnmAn0(I m)!Bm0 m!C|mm10 I!m!丄B m 0 m!1由于幕级数 -Antn对给定的矩阵 A,以及任意的t都是绝对收敛的 n 0 n!对任意的t都是一致收敛的,因此科可对此幕级

15、数逐项求导同理，有dedt因为又当ABsin(A B)同理，可得At0 dtSt n!n 1 (nAnt：1)!A L lA tAAe , l!iA eiABA时,d At e dtd e dtAt-A22!丄A2!cosA(I1e2i1 r/ A (cosA 2isin AcosBi(A B)Altl。市AeAt1iA33!1a4!i sin AeAAeAtA.14-A44!1i(A A3!sin Aei(A B)丄砂2iiA).12iiAe eiBiA iBeisin A)(cosBcosAsin Bsin(A B)isin B)(cosAi sin A)(cosBsin AcosB co

16、s A sinBi sin B)16.求下列三类矩阵的矩阵函数cosA,sin A, eA(1 )当A为幕等矩阵(A A)时;(2) 当A为对合矩阵(A2 I)时；(3) 当A为幕零矩阵(A20)时.解：(1) A2A,设矩阵A的秩为r,则A的特征值为1 或 0,A可对角化为1IrJ,1 APr0sin1sin AP sin JP 1sin1(sin 1)PJP(sin 1) A ，cos1cosAP cos JPcos1cos1cos1P1I (cos11)PJP(cos11)AA2J21e1ePeJ P1PP1111e111e1P1P 1 P0P10I (e11)PJP 1(e1)Ao(2

17、) 当 A2I时，矩阵A也可对角化,A的特征值为1或1A可对角化为1J,P 1AP其中 1 有 m 个 . 则sin1sin A Psin JP 1 Psin1sin1P1sin11(sin 1) PJP 1 (sin 1) Acos11cosA P cos JPcos1cos1(cos1) Icos1eA2J2PeJ PP1eI2(3) 当 A2A的特征值均为0,则存在可逆矩阵P , 使得1P 1 AP1J,A PJP 1J1其中 JJm22A2 PJ 2P1 O,J12J2OJm2故 Jordan 块 Jk的阶数最多为 2, 不妨设Jk0 (k 1, ,r),Jk00 10 B (k r

18、1, ,m),iJ ke k1,eiJk1 (k1,r);iJke k1 iiJk,e k1i1(k r 1,m)0 10eiJke iJk0(k 1,r),0 2i丄 B (k r 1, ,m)0 02ieiJk e iJk 2 (k 1,r),iJ.iJ.2 0e ke k2I (k r 1, m)0 2因此0iJiJ101e eJ2iB2iB所以iJ e21，1 z iAsin A (e2i1 cosA(e2iA1 iJP(e2iiA1e iA) P(e2iA)iAiJeA2eOIeiJ)P 1eiJ)P1 1 jPJP1 A, 2i1 12PIP 1 I ,217若矩阵A的特征值的实部

19、全为负，则At lim et证明：设A的特征值为aibj j1APJ,AJ1O.1,aiPJP 1其中J,JieJ/0,则存在可逆矩阵P,使AtJt ce Pe Pj2teP 1,eJmt1其中eJit1t1te tee itte itlimeitlim eaittjbit且 ai 0，故 lim eit由于t ni 1e (ni1)!te 1e ititlim eait(cosbjt jsinbjt),0，因此 lim eJittO,则 lim eAtO.200(1) A010 ；011010(2) A101 ;01001 0(3) A00 1 .611 61 0解:(1)设 J12,J2，

20、则1 1A18.计算eAt和sin At，其中:2tAteeJ?te 2J1J2 .sin2tAtsi n J2tAtee2ttettet,sin J2tsinttcost0 sint5sin 2t00,sin At0si nt00t costsin to teo o t(2)该矩阵的特征多项式为最小多项式为m()2 2sin A cos AA 2 iI e19计算下列矩阵函数:221(1)A131，求 A100 ；122425(2)A649 ，求 eA；53701A(3)A，求 arcs in ;44416811 -(4)A，求(I A)及 A28420证明：其中A为任意方阵证明:(1)因为I iAiAI iAiAsi nA(e e ) ,cosA (e e ),2i22 八1 /sin A (e42八1/ iAcos A (e4iAiA 2e )iA )21 z 2iA4(e1 . 2iANG2iA2iA21),21),（2）因为矩阵il2 2sin A cos A I .iI的特征值均为2 i,故存在可逆矩阵2 i eP,使得ilA 2 il e eeAI21若A为反实对称（反Hermite）矩阵，则为实正交（酉）矩阵证明：因为Ak,又0 k! k 0n Ak!n (