自动控制系统的时域分析

1、1第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析稳定性分析稳定性分析劳斯判据劳斯判据动态性能分析动态性能分析动态性能指标动态性能指标一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应稳态误差分析稳态误差分析n平衡点（平衡状态）平衡点（平衡状态）的稳定性稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据首先看两个例子：1.单摆稳定性针对平衡点平衡点而言。平衡点“a”稳定的平衡点；平衡点“d”不稳定的平衡点；2n平衡点（平衡状态）平衡点（平衡状态）的稳定性2.运动小球平衡点“a”：当小球的起始偏差不超出区域b、c,为稳定平衡点；当小球的起始偏差超出区域b

2、、c,为不稳定平衡点；稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据平衡点的稳定性可以在不同范围。3若一个系统处于某一起始时刻的平衡状态（点），在外作用影响下，离开了平衡状态。当外作用消失后，若经过足够长的时间u 系统能够重新回复到原始平衡状态，则称系统是稳定的；u 否则称系统是不稳定的。u 若系统输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。n稳定性的一般定义：稳定性表征了系统由初始偏差状态回复平衡状态的性能。线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件（外界输入、初始条件）无关。稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据4( )(1)1100nnnna caca ca

3、 clim ( )0tc t对于初始平衡点在原点的单输入单输出系统，系统可以由如下齐次微分方程式描述：设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想的单位脉冲信号，这时系统的输出 （脉冲响应）若满足即输出收敛于原平衡状态，则称线性系统是稳定的。( )c tn线性系统稳定性的数学定义：稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据5( )(1)1100nnnna caca ca c设上式有k个实根pi (i1，2，k)，r对共扼复数根(j jj) ，(i=1，2，r)，且k+2r=n，则经过Laplace反变换可得齐次方程的解的一般式为：11( )(cossin)jikrtp tijjjjijc tC eeAtBt

4、11100nnnna sasa sa 线性系统稳定性的充分必要条件 Laplace变换稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据闭环系统特征方程6若所有pi0，j0（即都是负数），则满足 ，系统最终能恢复至平衡状态，所以是稳定的;若pi或j中有一个或一个以上是正数，则 不满足，t时偏差越来越大，系统是不稳定的;线性系统稳定的充分必要条件是：11( )(cossin)jikrtp tijjjjijc tC eeAtBtlim ( )0tc tlim ( )0tc t闭环系统特征方程的根（系统的闭环极点）均为闭环系统特征方程的根（系统的闭环极点）均为负实数负实数或或具有负的实部的共轭复数具有负的实部的共轭复

5、数。也就是它的所有极点均在。也就是它的所有极点均在S平平面虚轴的左半部。面虚轴的左半部。稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据7稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据11( )( )0G s H s1( )G s( )H s( )C s( )R s特征方程 为：43223450ssss方法一：借助于计算机：matlab: s=roots(1 2 3 4 5)问题问题:既然可以直接求解，为何还要劳斯判据？例：方法二：劳斯判据8稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据劳斯判据：1877年提出计算机：世界上第一台电子计算机命名为“埃尼阿克”，是 1946年美国宾夕法尼亚大学埃克特等人研制成功的 判据的作用虽然减弱，但其

6、判据的作用虽然减弱，但其化繁由简化繁由简的思路却值得学习和借鉴的思路却值得学习和借鉴9已知系统的闭环特征方程为：01110nnnnasasasa系统稳定的必要条件必要条件是：特征方程各项系数为正，且不缺项。注：如果同时为负，左右同乘以-1。)()(jsjss0,322222(2 )(2)0()sss 展开后可以得到方程的系数全部为正，因此有上面结论。证明：设想方程全部为负实根或实部为负的共轭复数，则一定可以分解成下面一些因式的乘积稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据n劳斯（Routh）稳定性判据103232432432563505650228320228320sssssssssssss一项为负，

7、不稳定满足必要条件，可能稳定缺项，不稳定例：判断具有下面特征方程的系统的稳定性。稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据满足必要条件，可能稳定对于可能稳定的系统，如何进一步判断系统的稳定性？11稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据若闭环闭环系统的特征方程是1100nnnna sasan每一行都需计算到其余项均为0。按特征方程的系数构建劳斯表：1230nnnnsssss642nnnnaaaa7531nnnnaaaa2311nnnnna aa aa4511nnnnnaaa aa6711nnnnnaaa aa劳斯表：计算到 行0s12稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据特征方程具有正实部根的个数等于劳斯表第一列中系

8、数改变符号的次数。Routh判据：系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件是特征方程的是特征方程的全部系数都是正数全部系数都是正数，并，并且劳斯表中且劳斯表中第一列元素都是正数第一列元素都是正数。1307156435223456ssssss65236754150ss01234sssss5754235053030750354-107/27-18070稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据例：已知系统的闭环特征方程如下，试判断系统的稳定性。14特殊情况特殊情况1：劳斯表中某一行的第一个系数为0，其余各系数不为0或没有其余项。此时，用一个无穷小正数 代替，并继续计算下去。u 如果 上下元素均为正数，表示有一对

9、纯虚根纯虚根存在，系统处于临界稳定。稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据15例：已知系统的开环传递函数如下，试判断系统的稳定性。32)()(2342sssssssHsGS4 1 2 5S3 1 2 0S2S1 S005 ()52-5/00)()(1sHsG0522234ssss【解】得到闭环系统的特征方程为由稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据 故系统不稳定，且有两个不稳定的根。 2-5/016特殊情况2：劳斯表中某一行全为零(设为第k行，k一般情况下为奇数奇数)，则说明有一对关于原点对称的根。显然，系统是不稳定的。此时1.利用第k行的上一行构成辅助多项式。2.求辅助多项式关于s的导数，并将其系数作为

10、第k行的值。然后继续计算劳斯表。3.关于原点对称的根可以从辅助多项式解出，令辅助多项式等于0，求解方程即得。4.如果第一列中零行的上下同号说明有一对纯虚根。稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据1705025482422345sssss5048224ss0元素上下同号说明有一对纯虚根。可以从辅助多项式构成的方程42248500ss解得：1，1，5j，-5j24 -50 112.7 0-50 稳定性与劳斯判据稳定性与劳斯判据例：已知系统的闭环传递函数如下，试判断系统的稳定性。0 01 24 -2554320ssssss2 48 -50 求导ss9683 8 9618190312012301223301

11、201220101, 0, , 00, , 00, 0 , 0aaaaaaaaasasasaaaaasasaaaasa且劳斯判据小结劳斯判据小结n用Routh判据来分析1、2、3阶系统可得判断1、2、3阶系统稳定的充要充要条件分别如下：n劳斯判据主要用来判断线性定常系统的稳定性。20应用应用1 稳定裕度的检验稳定裕度的检验用劳斯判据检验系统的相对稳定性的方法是：1、令s=z-，则相当于将s平面左移了，得到以z为变量的新的特征方程，2、对该特征方程应用劳斯判据，判断可知新的特征方程有几个特征根位于新的虚轴的右边。3、如果所有特征根位于新的虚轴的左边，则说明系统具有稳定裕量。sz0011asasa

12、nnnn0011azazannnn21应用应用1 例例检验特征方程有几个根在直线s=-1的右边。041310223sss【解】令s=z-1，则041131101223zzz014223zzz则新的劳斯阵列表为z32-1z24-1z1-1/2z0-1第一列变号一次，说明有一个根在直线s=-1的右边。稳定裕度不到1。22应用应用2 参数影响的检验参数影响的检验 例例+)sT)(sT( sk1121应用劳斯判据判断使系统稳定的参数变化范围。已知系统结构图，判断使系统稳定的参数范围。如何判断使系统具有一定稳定裕度的参数范围？【解】闭环特征方程0)(221321kssTTsTTS3 T1T2 1S2 T

13、1+T2 kS1S0212121)(TTTkTTT02121kTkTTT要稳定，需使01121kTT即k023应用应用2 例例设一个系统开环传递函数如下，试找出使系统稳定的k的范围。 ) 12)(1() 131()(ssssksG0)311 (3223kskss0)(1sG【解】由0) 131() 12)(1(sksss根据三阶系统稳定的条件，kkk2)311 (3030k得闭环特征方程为24应用应用2 例例0, ) 12)(1() 1()(kssssksG设一个系统开环传递函数如下，试找出使系统稳定的参数的范围。 0)1 (3223kskss【解】闭环特征方程为kk2)1 ( 3则k132即

14、25动态性能分析动态性能分析动态过程(瞬态响应、动态响应)：从输入信号作用在系统的时刻开始，到系统输出达到稳定状态为止，系统输出随时间变化的过程称为动态过程。分析系统的动态性能的方法： 解析法(直接求解法)得到系统输出c(t)表达式。间接评价法通过与系统的结构、参数有联系的性能指标来评价系统的品质，受到广泛使用。计算机仿真法可对复杂的、高阶的、多变量的系统求解c(t)，直接得到各种指标。动态性能分析通常考虑在某些典型输入信号作用下系统的输出响应。26典型输入信号典型输入信号脉冲函数 ttAtr11lim)(0A/ 0tf(t)1)(sR1)(,0,0, 0)()(dttttttrA=1时理想情

15、况下，为单位脉冲函数，其拉氏变换为阶跃函数0,0, 0)(tAttrtf(t)A当A=1时为单位阶跃函数，记为1(t)其拉氏变换为ssR1)(27典型输入信号典型输入信号t11f(t)斜坡函数(等速度信号 )0,0, 0)(tAtttr21)(ssR当A=1时为单位斜坡函数，其拉氏变换为抛物线函数(加速度函数)0,0, 0)(2tAtttr221)(ttr31)(ssR当A=1/2时为单位加速度函数，记为其拉氏变换为tf(t)正弦函数tAtrsin)(其拉氏变换为22)(sAsR28典型输入信号典型输入信号 名称 时域表达式 频域表达式单位脉冲函数 (t)，t0 1单位阶跃函数 1(t)，t0

16、 1/s单位斜坡函数 t, t0 1/s2 单位加速度函数 t2/2, t0 1/s3 正弦函数 Asint, t0 A/(s2+2) 关系：单位斜坡函数是单位加速度函数的导数， 单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数， 单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数.29瞬态响应稳态响应p%最大超调量%100)()(cctcppc c( (t t) )t t12%trtpts0.5td线性系统时域阶跃响应性能指标包括：峰值时间tp:响应曲线到达第一个峰值所需要的时间。延迟时间td：响应曲线从0上升到稳态值的50%所需要的时间。动态性能指标动态性能指标30调整时间(调节时间)ts：响应曲线从0开始到进入稳态值的9

17、5%105% (或98%102%)误差带时所需要的时间。衰减比：第一个峰值与第二个峰值之比。c c( (t t) )t t12%p % trtpts0.5td上升时间tr：对于有振荡的系统，响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。对于无振荡的系统则取响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间。 振荡次数：穿过稳态值次数的一半。动态性能指标动态性能指标31RCR(t)C(t)i(t)T为时间常数。1/TsR(s)C(s)11)()()(TssRsCs传递函数可用一阶微分方程描述其动态过程的系统称为一阶系统一阶系统。一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应32一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶

18、跃响应),( 1)(ttr一阶系统的单位阶跃响应为一条初始值为0，以指数规律上升到终值的曲线。当t=T时，c(t)=1-e-1=0.632，即对单位阶跃响应，c达到63.2%时对应的时间就是时间常数时间常数T。求c(t)在t=0时的斜率：t1c(t)TeTdttdctTtt11)(00即在t=0时，响应曲线的斜率为1/T。TsssTssRssC/111) 1(1)()()()0( 1)()(/1tesCLtcTt11)(Tss33一阶系统的动态性能指标一阶系统的动态性能指标l延迟时间：5 . 01%501)(/Ttetc 得td=0.69T。l上升时间： 得tr=t2-t1=2.20Tl调整时

19、间：当t=3T时，c(t)=1-e-3=0.95即达到稳态值的95%。当t=4T时，c(t)=1-e-4=0.98即达到稳态值的98%。 则ts=3T时=5%， ts=4T时=2%。l峰值时间tp：为无穷大。显然，时间常数T完全反映了系统的动态性能。一般认为T反映系统惯性，T减小，惯性减小，响应过程加快。1 . 0/11Ttet1c(t)9 . 0/12Tte11)(Tss34 )e-(1TTt-t21 t21TeT- t t e-1 1(t)eT1 (t)c(t) )(t/T-222t/T-t/T-t/T-tr可见，对线性定常系统，系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；

20、在零初始条件下，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。以下是其他输入的响应11)(Tss一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应35二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析222( )( )( )2nnnC ssR sss 对应的传递函数二阶系统的数学模型：二阶微分方程 2222( )( )2( )nnnd c tdc tc tr tdtdt 特征方程2220nnss 特征根21,21nns 2(2)nns s RC 为阻尼比(阻尼系数 )n为无阻尼自然振荡角频率，简称为无阻尼自振频率。 36二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析对 进行分析可判断系统的稳定性：21,21nns 1

21、,20,nsj 为无阻尼，系统等幅振荡。21,201,1nnsj 欠阻尼。系统稳定。1,21,ns临界阻尼。系统稳定。21,21,1nns 过阻尼。系统稳定。37二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1 1过阻尼过阻尼21,21nnp 211nnp 令则t1c(t)221nnp jp2 p1稳态分量瞬态分量12212( )1()21nptp teec tpp 0t考察零初始条件单位阶跃输入下系统的响应：过渡过程为单调递增。两个特征根越靠近原点，衰减越慢。当 时，一个特征根靠近虚轴，另一个远离虚轴，远离虚轴的特征根对应的瞬态分量衰减很快，对响应的影响很小，可以忽略不计。从而把二阶系统近似看

22、作一阶系统来处理。在工程上，当 时，可以这样近似处理。 称阻尼比 时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。 11.5138二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应21,21nndsj 2,1ndn 2欠阻尼欠阻尼012221( )2nnnC ssss)()(1sCLtc21arctanarccos考察零初始条件单位阶跃输入下系统的响应：22221()()nnndndssss21(cossin)1nddtett 211sin()1ndtc tet 21d令nndjd称为阻尼自振频率。为初始相角。则0t39二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应21e(t)r(t)-c(t)sin()1ndte

23、t红线为上下包络线，值分别为211nte211nte二阶系统在 时的工作状态，称为欠阻尼状态。 结论 1、振荡频率决定于虚部d ，远离实轴，振荡频率大。21( )1sin()1ndtc tet tc(t)0)(,tetnndj2、衰减速度决定于负实部 ，远离虚轴，衰减速度快。3、初始相角决定于阻尼比 。4、偏差n 0140二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1ns2, 13临界阻尼临界阻尼t1c(t)tettcnn)1 (1)(2222211( )2nnnnnC ssssss过渡过程为单调递增。 是系统输出响应为单调还是振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。 211nnnsss0tjn

24、141二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应0njs2, 14无阻尼无阻尼ttcncos1)(此时的单位阶跃响应为等幅振荡。其振荡频率为n 。称n 为无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率。 0tt1c(t)njjnj42二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1过阻尼过阻尼t1c(t)0无阻尼无阻尼t1c(t)负负阻尼阻尼 时，系统具有实部为正的极点，其输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。思考题：为何只考虑 对动态性能的影响而不考虑n的影响？欠阻尼欠阻尼01tc(t)11临界阻尼临界阻尼t1c(t)结论结论 综合考虑过渡过程时间和振荡的程度，一般希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态

25、。工程实际中，通常选取10.707200 .40 .843欠阻尼二阶系统性能指标欠阻尼二阶系统性能指标1、上升时间上升时间tr，即单位阶跃响应从0上升到第一个稳态值所需要的时间。令c(t)=1即可得到。0)sin(rdt结论：要使响应速度加快，即tr减小，须使阻尼比 减小， n 增大。21arctan21dn其中21( )1sin()11n rrd rtc tet 21( )1sin()1ndtc tet 0trdtdrt能否为k？nndj44欠阻尼二阶系统性能指标欠阻尼二阶系统性能指标2、峰值时间峰值时间22( )sin()cos()011nndnddttdc teettdt 2sin()1

26、cos()0ddtt sin)cos(cos)sin(ttdd0sintd结论：要使响应速度加快，即tp减小，dpt令dc(t)/dt=0即可得到。td21dnnndj须使阻尼比 减小，n 增大。即峰值时间与闭环极点到实轴的距离成反比。45欠阻尼二阶系统性能指标欠阻尼二阶系统性能指标221/ 1( )1sin()1pc te 2/ 1100%pe而3、超调量超调量 %100cctcpp结论：超调量只与阻尼比有关。 要想超调量减小，需 增大，当 时，相应的超调量为2.51.5%。 21ndpt21arctan 211sin()1ndtc tet 2sin()sin1 2/ 1( )1pc te

27、1)(c因此0 .40 .846欠阻尼二阶系统性能指标欠阻尼二阶系统性能指标4、调整时间调整时间 cctcs可以利用包络线来求。欠阻尼的上下包络线值分别为211nte211nte令21n ste 211ln1snt则取= 2%，则4snt取= 5%，则3snt结论：要使ts减小，须使阻尼比 增大， n 增大。= 2% 5%tc(t)121n ste 21/1n stenndj可以近似地认为调节时间与闭环极点到虚轴的距离成反比。 47性能指标与参数的关系性能指标与参数的关系结论：当n一定时，要减小tr和tp，必须减少 。要减小ts，则应增大 ，而且 要求有一定范围，不能过大。系统的振荡性能和快速

28、性之间是存在矛盾的。增大n可使tr、tp和ts都减少，从而提高系统的快速性。最大超调量p只取决于 ， 越小， p越大。在实际设计控制系统时，一般根据p的要求选择 的值。而对各种时间指标，则通过n来满足要求。其他阻尼下系统的动态性能指标能否套用欠阻尼的公式？drtdpt2/ 1100%pe4,2%snt 48性能指标性能指标 例例1对一个二阶系统，要求 ， = 2%。求系统极点位置。0.707,0.5st20.707221,21nns 【解】由于882, 1js则40.5snt8n28n已知49性能指标性能指标 例例2设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标p=20%，tp=1s，试确定系统参数

29、k和，并计算单位阶跃响应的特征量tr,ts.) 1( ssks1R(s)C(s)ksksksRsCs)1 ()()()(2【解】222( )2nnnsss化成标准形式思路：首先由p=20%，tp=1s求出系统参数。然后求解其它的性能指标。由1,2nkkk2/ 10.2pe0.456211pnt由53. 3n46.122nk21nk 210.178nk 50性能指标性能指标 例例2arccos1.097213.14dn)(651. 0stdr，取05. 031.864( )snts40.022.485( )snts，0.456,3.53n51二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善方法方法：利用测速

30、反馈控制改善二阶系统性能(输出量的导数) ：下面图中(a)为无速度反馈系统，(b)为带速度反馈系统，试确定使系统阻尼比为0.5时Kt的值，并比较系统(a)和(b)单位阶跃响应的瞬态性能指标。 ) 1(10ssR(s)E(s)C(s) 1(10sssktR(s)E(s)C(s)【解】 时间单位设为秒。(a)的闭环传递函数为1010)(2sss21n102n0.15816. 3n01. 1dpt36snt55. 0drt2/ 1100%60.4%pe=0.05时52二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善) 1(10ssR(s)E(s)C(s) 1(10sssktR(s)E(s)C(s)(b)的闭环传

31、递函数为要确定使系统阻尼比为0.5时Ki的值，令10)101 (10)(2sKsst21 10ntK 102n2110ntK216. 010116. 35 . 020.57 . 0rt15. 1pt%3 .16p9 . 1st结论结论 采用速度反馈后，增大了阻尼比，改善了系统的动态性能。53方法：忽略次要因素、将二阶系统的分析方法用于高阶系统的分析中。高阶系统的数学模型：闭环传递函数为011011.)(asasabsbsbsnnnnmmmm)()()()(2121nmpspspszszszsknm 设系统有q个互不相同的实数极点，有r对互不相同的复数极点，则系统的单位阶跃响应可表示为 sssp

32、szsksCqjrlnlnlljmii1)2()()()(1221202211()1( )2qrjllnllnlljljlnlnlab scaC ssspss 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应54qjrlnlnlllnllnllljjsscsbpsasasC11222021)()(取拉氏反变换后可得到高阶系统的单位阶跃响应 0)(atc结论结论1 高阶系统的单位阶跃响应是由一阶和二阶环节的响应叠加而成的。qjijtpea12211cos1sin1rrlnllnllnlllnllllttbetc et 0t稳态分量 一阶环节的动态分量 二阶环节的动态分量 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应

33、55201121( )(cos1sin1)(0)qrilnljlnlljlrlnllnlllpttc taa ebettc ett 结论结论2 当系统的闭环极点都在s平面左半部时，系统稳定。离虚轴越远的闭环极点，其对应的动态响应分量衰减越快。 结论结论3 动态分量的系数与闭环极点和零点的位置有关。 若一对零极点的位置十分靠近，会产生什么情况？会使得该极点对应的系数很小，从而该极点所对应的响应分量对系统的过渡过程几乎没有影响。 距离很近的零、极点对零、极点对称为偶极子偶极子。高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应56201121( )(cos1sin1)(0)qrilnljlnlljlrlnlln

34、lllpttc taa ebettc ett 结论结论4：主导极点主导极点：如果离虚轴最近的极点附近没有零点，且其余的极点都远离虚轴，则这样的闭环极点所对应的动态分量在系统的响应过程中起主要作用。远离虚轴的极点为非主导极点非主导极点。一般情况下，高阶系统具有振荡性，因此主导极点往往是共轭复极点。高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应57结论结论5 工程实际中，通常采用主导极点对系统进行近似，只保留一、二个主导极点，从而将高阶系统近似成一阶或二阶系统进行分析。主导极点的实部应该为其它极点的1/5或更小，越小，近似程度较高。工程中1/21/3就可进行近似分析。 5 j主导极点高阶系统的时域响应高阶系

35、统的时域响应58稳态误差稳态误差稳态响应稳态响应：指系统在典型信号作用下，当时间t，系统输出量的表现方式，又称为稳态过程。从数学形式上看，是令所有衰减模态为0的形式。稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。衡量系统稳态响应的性能指标是稳态误差稳态误差。稳态误差反映系统实际输出值与希望输出值之间的最终偏差。研究稳态误差的前提是系统要是稳定的。与稳态误差有关的因素：系统的结构参数输入的形式系统的类型因此在规定稳态误差的要求时，需要指明输入信号的类型。衡量标准是用一些典型输入信号作为标准。59稳态误差的定义稳态误差的定义)()(limtytyertss)()(lim)(limtbtrteettss第

36、一种：由输入端定义：误差输入信号主反馈信号这种定义的误差在实际系统中是可测量的，具有一定的物理意义。是这一部分研究的定义方法。这种定义在性能指标中常用，但在实际系统中希望输出无法测量。一般只具有数学意义。对单位反馈系统，即H(s)=1，上面两种定义方法一致。第二种:由输出定义：误差希望输出-实际输出G(s)H(s)rb-ey为了分析方便，通常把系统的稳态误差分为给定值稳态误差（即由给定输入引起的稳态误差、用于随动系统）和扰动值稳态误差（即由扰动输入引起的稳态误差、用于恒值系统）。60稳态误差的计算稳态误差的计算-给定输入给定输入G(s)H(s)rb-ey)()(11)()()(sHsGsRsE

37、ser1、扰动作用为0时，误差传递函数则)()()(sRssEer )()(limlim00sRssssEeerssssn条件：满足拉氏变换的终值定理的条件。 )()(limlim00sRssssEeerssss【解】如果用终值定理，则1/(Ts)R(s) E(s)C(s)在虚轴及右半平面无极点(原点除外)例：设输入信号为r(t)=sint。求控制系统的ess。220)/(111limsTsss2201limsTsTsss061事实上，该例是不适用终值定理的。22)(ssR)/(111)(Tsse2222222222222211/111)(/1()()()(sTTssTTTsTTsTsssRs

38、sEerTteTTtTTtTTsELte/2222222211sin1cos1)()(tTTtTTesssin1cos1222222显然稳态误差不为0。该系统不适用终值定理，sE(s)在虚轴上有极点。稳态误差的计算稳态误差的计算 例例62稳态误差的计算稳态误差的计算111111)()(2121sTsTsTssTsTsTKsHsGNnNm即系统有N个积分环节串联，称此系统为N型系统型系统。N=0为0型系统， N=1为1型系统， N=2为2型系统。增加型号数可使系统精度提高，但对稳定性不利。通常N2。下面分别分析单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位抛物线输入情况下的稳态误差与系统型别之间的关系。由于系

39、统的稳态误差取决于以开环传递函数描述的系统结构，因此用开环传递函数的积分环节来规定控制系统的类型。若系统的开环传递函数为63稳态误差的计算稳态误差的计算)()(1)(lim)()(lim00sHsGssRsRssesersss)()(11)(sHsGser 1、单位阶跃输入R(s)=1/s)()(lim110sHsGesss定义稳态位置误差系数位置误差系数)0()0()()(lim0HGsHsGKsp则pssKe11111111)()(2121sTsTsTssTsTsTKsHsGNnNm对0型系统pK即0型系统对单位阶跃输入的稳态误差为一定值，称为有有差系统差系统。增大开环放大系数可以减小稳态

40、误差。对1型以上系统pK称为无差系统无差系统。,KKess11,0sse64稳态误差的计算稳态误差的计算)()(1)(lim)()(lim00sHsGssRsRssesesss)()(11)(sHsGse 2、单位斜坡输入R(s)=1/s2)()(1lim0sHssGesss111111)()(2121sTsTsTssTsTsTKsHsGNnNm对0型系统vK对1型系统vK定义稳态速度误差系数速度误差系数)()(lim0sHssGKsvvssKe1则对2型以上系统vK无法跟踪等速度输入。sse, 0,KKess/1,0sse65稳态误差的计算稳态误差的计算)()(1)(lim)()(lim00

41、sHsGssRsRssesesss)()(11)(sHsGse 3、单位抛物线输入R(s)=1/s3)()(1lim20sHsGsesss111111)()(2121sTsTsTssTsTsTKsHsGNnNm对0型或1型系统aK定义稳态加速度误差系数加速度误差系数)()(lim20sHsGsKsaassKe1则aK对2型系统aK对3型或以上系统位置误差系数、速度误差系数和加速度误差系数都属于静态静态误差系数误差系数。无法跟踪单位抛物线输入。, 0sse,KKess/1,0sse66稳态误差的计算总结稳态误差的计算总结系统阶跃输入r(t)=1斜坡输入r(t)=t抛物线输入r(t)=t2/20型

42、1型2型1/(1+K)001/K01/K其中的K是开环放大系数，而非闭环的。无差系统无差系统一定有积分环节，动态过程并不是无差。111111)()(2121sTsTsTssTsTsTKsHsGNnNm要减小稳态误差，必须增加开环总增益K或积分环节数N，这可能给动态性能或稳定性带来问题，一般N2。如果输入信号是多种典型输入的组合，则根据线性叠加原理可将每一输入分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来。67稳态误差的计算稳态误差的计算 例例求输入为 时系统的稳态误差。2364)(tttr已知两系统的开环传函分别为410)(1sssG4110)(22ssssG【解】第一个系统为1型系统，无法跟

43、踪3t2分量，稳态误差sse第二个系统为2型系统，对输入分量4+6t的稳态误差为0，对L(3t2)=6/s3分量，由于Ka=K=10/4，所以4 . 2/6Kess68稳态误差的计算稳态误差的计算 例例)12)(1()15 .0(ssssKR(s)C(s)分析系统的稳定性并求如下输入时的稳态误差。 ttr510)(0)5 . 01 (3223KsKss【解】1、稳定性：系统的闭环特征方程为KKK2)5 . 01 (3060 K2、稳态误差：系统的开环传递函数为) 12)(1() 15 . 0()(ssssKsG00(0.51)1 lim( )1 lim(1)(21)pssKsKG ss ss

44、KsssSKsssGKssv) 12)(1() 15 . 0(lim)(lim00KKKevpss55110结论：系统的稳态误差与K成反比，K值越大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制。 思考题：要使该系统的稳态误差小于0.5，参数会如何？不可能！稳态误差的计算稳态误差的计算69练习：A-3-22 B-3-1770稳态误差的计算稳态误差的计算-扰动输入扰动输入G1(s)G2(s)C(s)H (s)R(s)B(s)+N(s)2、设给定输入为零，按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为)()()(sBsRsE)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsC)()()()

45、(1)()()(212sNsHsGsGsHsGsE sNsEsen)(系统的输出为 则扰动输入作用下系统的误差传递函数为)()()(1)()(212sHsGsGsHsG系统在扰动作用下的稳态误差值，反映了系统的抗干扰能力。系统总的稳态误差为给定输入和扰动输入的稳态误差的代数和。)()(lim0sNsseensssn)()(sCsH71稳态误差的计算稳态误差的计算 例例G1(s)G2(s)C(s)H (s)R(s)B(s)+N(s)求系统的稳态误差。已知H(s)=1，sKsG1111)()1 ()(222ssKsG)( 1)(tAtrr)( 1)(tAtnn【解】1、给定输入作用下的误差传递函数

46、为 )()(11)(21sGsGser)()(1)(lim210sGsGsRsesssrsAKKssssssrs21212120)1)(1 ()1)(1 (lim02、扰动输入作用下的误差传递函数为)()(1)()(212sGsGsGsen)()(1)()(lim2120sGsGsNssGesssnsAKKssssKsns2121120)1)(1 ()1 (lim1KAn1KAeeenssnssrss系统总的稳态误差为072稳态误差的计算稳态误差的计算 例例G1(s)G2(s)C(s)H (s)R(s)B(s)+N(s)求系统的稳态误差。已知H(s)=1，ssKsG2211)(sKsG1121

47、)()( 1)(tAtrr)( 1)(tAtnn0)()(1)(lim210sGsGssResssr)()()(1)(lim2120sNsGsGssGesssnsAKKssssKsns21212120)1)(1 ()1 (lim0ssnssrsseee【解】0系统总的稳态误差为结论：要减小扰动引起的稳态误差，有两种途径，其一是增大在扰动作用点以前的前向通道中的放大系数。其二是在扰动点以前引入积分环节。 73降低稳态误差的途径降低稳态误差的途径增大系统开环放大系数可以增强系统对参考输入的跟随能力。加大扰动作用点之前的前向通路增益，可以减小稳态误差。但对高阶系统而言，过大的增益会使系统失去稳定，或

48、使系统的动态性能恶化。因此，增益的选择应在稳定性、稳态精度和动态性能之间权衡。在扰动作用点之前的前向通路中引入积分环节，可以消除系统在特定输入信号形式和特定扰动作用形式下的稳态误差。但是增加前向通道中的积分环节会导致系统稳定性的降低。如果作用于系统的干扰是可测量的，则可采用复合控制，对扰动进行补偿，可以降低系统误差，消除扰动的影响。同样，为提高系统对参考输入的跟随能力，也可按参考输入进行顺馈来消除或降低误差。74降低稳态误差的途径降低稳态误差的途径K(s)G(s)H(s)R(s)p(s)Y(s)+-Gd(s)+对扰动的复合控制K(s)G(s)H(s)R(s)Y(s)+-+Gn(s)对输入的顺馈

49、复合控制75降低稳态误差的途径降低稳态误差的途径 例例已知复合控制系统如下，前馈环节的传递函数如下，若K1=5，K2=0.2，T1=0.2，T2=1，要使系统在单位加速度输入下的稳态误差为0，应如何选择前馈环节的参数？K1R(s)C(s)F(s) 11(2sTsK12)(2sTbsassF【解】系统的闭环传递函数)211(12)(21221)(22KKssTsTbsasKsTKKs已知r(t)=0.5t2，即R(s)=1/s3，利用终值定理得)211(12/2122121lim)(lim23200KKssTsTssbKsaKTTTTsssEessss则误差 )()(1 ()()()()()(sRssRssRsCsRsE要使稳态误差为0，应使0210221bKaKTT56ba系统稳定。PIDPID控制控制n