二次函数的图象和性质(培优教案)

1、 二次函数的图象和性质（培优教案）一、课前训练：1. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x21012y04664 从上表可知，下列说法中准确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大2. 已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：第2题yxO； 其中，准确结论的个数是（A）1（B）2（C）3（D）42、 知识结构：三、题型讲练：例1 已知：二次函数为y=x2x+m，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作ABx轴交抛物线于另一点B

2、，当SAOB=4时，求此二次函数的解析式 【分析】（1）用配方法能够达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）ABx轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值【解】（1） 由已知y=x2x+m中，二次项系数a=1>0，开口向上， 又y=x2x+m=x2x+（）2 +m=（x）2+ 对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）（2） 顶点在x轴上方， 顶点的纵坐标大于0，即>0 m> m>时，顶点在x轴上方（3）令x=0，则y=m 即抛物线y=x2x+m与y轴交点的坐标是A（0，m） ABx轴 B点的纵坐标为m 当x2x+m=m时，解得x1=0，x2=1 A

3、（0，m），B（1，m） 在RtBAO中，AB=1，OA=m SAOB =OA·AB=4 m·1=4，m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8或y=x2x8练习：1. 如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 0； +0； 2-0； 2+84 其中准确的是（填写序号） 2. 抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .3 如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点求的值；如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线

4、AC的函数解析式；设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存有这样的点P、Q，使AQPABP？如果存有，请举例验证你的猜想；如果不存有，请说明理由（图供选用）【解】 抛物线经过点D() c=6.过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：SABC=SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即AC平分BD c=6. 抛物线为A（）、B（）M是BD的中点 M（）设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点解得直线AC的解析式为.存有设抛物线顶点为N(0，6)，在RtAON中

5、，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”得AQPABP 例2.已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满 _Q_C_P_E_y_O_x足条件 （1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点， 使轴恰好平分CPQ的面积？若能，求出、所满足的条件 解：（1），对一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得 ， 由已知有 得代入得化简得解得，满足当时，不满足，抛物线的解析式为（2）如图，设存有直线与抛物线交于点P、Q，使轴平分CPQ的面积，设点P的横坐标为，直线

6、与轴交于点E，由轴平分CPQ的面积得点P、Q在轴的两侧，即，由得又、是方程的两根，又直线与抛物线有两个交点，当时，直线与抛物线的交点P、Q，使轴能平分CPQ的面积故练习：1. 已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论： 当x2时，y1；当时，y0；方程有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）2.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BCAB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.例3、如图，已知二次函数图象的顶点坐标为

7、C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的表达式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；EBACPOxyD（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： (1) 点A(3,4)在直线上，4=3+. =1. 设所求二次函数的关系式为 点A(3,4)在二次函数

8、的图象上， 所求二次函数的关系式为即 EBACPOxyD(2) 设P、E两点的纵坐标分别为和 即 (3) 存在. 要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点D在直线上 点D的坐标为(1,2), 解之得(不合题意，舍去) 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形 练习：1.已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2mxm20的两

9、根.x1 x2 m , x1·x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , NMCxyOm24m3=0 . 解得：m=1或m=3(舍去) , m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(a，b) . M、N是抛物线上的两点, 得：2a22m40 . a2m2 .当m2时，才存在满足条件中的两点M、N. .这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为（0，2m）,而SM N C = 27 ,2××（2m）×=27 .解得m=7 . 2.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点A、B

10、，与y轴相交于点C（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b4，求a、c的值解:（1）a、c同号 或当a0时，c0；当a0时，c0（2）证明：设点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），则 ， 据题意，、是方程的两个根 由题意，得，即 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数（3）当时，由（2）知， a0解法一：ABOBOA， ， 得 c2. 解法二：由求根公式， ， ， ，得 c2四、课堂小结：二次函数与几何的综合应用是广州历届中考的重点，所以必须认真地、深入地进行探究。五

11、、作业布置：1已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图7所示，那么下列判断不正确的是（ ） Aac<0 Bab+c>0 Cb= -4a D关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=1,x2=5-1yx5x=22O2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则下列结论正确的是（ ）Aa<0，b<0，c>0，b24ac>0; Ba>0，b<0，c>0，b24ac<0; Ca<0，b>0，c<0，b24ac>0; Da<0，b>0，c>0，b24ac>0;3.已知抛物线（0）过A（

12、，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是A B C D不能确定4.已知二次函数（a0）的图象如图所示，则下列结论： ac >0； ab +c <0； 当x <0时，y <0；方程（a0）有两个大于1的实数根其中错误的结论有 （A） （B） （C） （D） x =15.如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形， 请直接写出点的坐标；（3） 在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？ 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明

13、理由.解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，得解这个方程，得 全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。所以在AOC中，AC=.在BOC中，BC=.AB=OA+OB=.因为AC2+BC2=.所以ABC是直角三角形。图1（2）点D的坐标是.（3）存在。由（1）知，ACBC, 若以BC为底边，则BCAP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为.直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为. 因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.解得（不合题意，舍去）.当x=时，y=.图2 所以点P的坐标为（，）.若以AC为底边，则