年高考真题数学

1、2021 年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学留意事项考生在答题前请仔细阅读本留意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非挑选题第 1 题第 20 题，共 20 题；本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟；考试终止后，请将本试卷和答题卡一片交回；2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置；3请仔细核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符；4作答试题，必需用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效；5如需作图，须用2b 铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗；参

2、考公式：21n21n样本数据x1, x2 , xn 的方差sxix，其中xxi n i 1n i 1柱体的体积 vsh，其中 s 是柱体的底面积，h 是柱体的高锥体的体积 v1 sh，其中 s 是锥体的底面积，h 是锥体的高3一、填空题：本大题共14 小题，每道题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合a1,0,1,6 ， b x | x0, xr ，就 a ib.2已知复数a2i1i的实部为0，其中 i 为虚数单位，就实数a 的值是.3下图是一个算法流程图，就输出的s 的值是.4函数 y76xx2的定义域是.5已知一组数据6， 7， 8， 8， 9， 10，就该组数据的方

3、差是.6从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参与理想者服务，就选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是.27在平面直角坐标系xoy 中，如双曲线x2yb 21b0 经过点（ 3， 4，就该双曲线的*渐近线方程是.8已知数列 an nn 是等差数列，sn 是其前 n 项和 .如 a2a5a80, s927 ，就 s8 的值是.9如图，长方体abcda1b1c1d1 的体积是120， e 为 cc1 的中点，就三棱锥e-bcd 的体积是.10在平面直角坐标系xoy 中， p 是曲线 yxx+y=0 的距离的最小值是.4 x0 上的一个动点，就点p 到直线x11在平面直角坐标系xoy

4、 中，点 a 在曲线 y=ln x 上，且该曲线在点a 处的切线经过点 （ -e，-1e 为自然对数的底数） ，就点 a 的坐标是.12如图，在 abc 中， d 是 bc 的中点， e 在边 ab 上， be=2ea， ad 与 ce 交于点 o .uuuruuuruuuruuurab如 abac6 aoec ，就的值是.actan213已知，就 sin2 的值是.34tan414设f x, g x 是定义在 r 上的两个周期函数，f x的周期为4， g x 的周期为2，且f x是奇函数 .当 x0, 2 时，f x1x12k x， g x1,122,0x1，x2其中 k>0.如在区间

5、 0， 9 上，关于x 的方程f xg x 有 8 个不同的实数根，就k 的取值范畴是.二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 abc 中，角 a， b， c 的对边分别为a， b， c（ 1）如 a=3 c， b=2 ， cosb=2，求 c 的值；3（ 2）如sin a acosb 2b，求 sin b 的值216（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱abc a1b1c1 中， d ，e 分别为 bc， ac 的中点， ab=bc求证：（ 1） a1b1平面 dec 1；（ 2）be c1e1

6、7（本小题满分14 分）x2y2如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 c:221ab ab0 的焦点为f1（ 1、0），f2（ 1， 0）过 f 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方， l 与圆 f2: x12y24a 2 交于点 a，与椭圆c 交于点 d.连结 af 1 并延长交圆f 2 于点 b，连结 bf2 交椭圆 c 于点 e，连结 df 15已知 df 1=2（ 1）求椭圆c 的标准方程；（ 2）求点 e 的坐标18（本小题满分16 分）如图， 一个湖的边界是圆心为o 的圆，湖的一侧有一条直线型大路l ，湖上有桥ab（ ab是圆 o 的直径） 规划在大路l 上选两个点p、q

7、，并修建两段直线型道路pb、qa规 划要求 :线段 pb、qa 上的全部点到点o 的距离均不小于圆 o 的半径已知点a、b 到直线 l 的距离分别为ac 和 bd （c、d 为垂足），测得ab =10， ac=6， bd=12 （单位 :百米）（ 1）如道路pb 与桥 ab 垂直，求道路pb 的长；（ 2）在规划要求下，p 和 q 中能否有一个点选在d 处？并说明理由；（ 3）对规划要求下，如道路pb 和 qa 的长度均为d（单位：百米） .求当 d 最小时， p、q 两点间的距离19（本小题满分16 分）设函数f x xa xb xc, a, b, cr 、 f ' x为 f（ x）

8、的导函数（ 1）如 a=b=c， f（ 4）=8，求 a 的值；（ 2）如 a b，b=c，且 f（x）和f ' x 的零点均在集合3,1,3 中，求f（ x）的微小值；（ 3）如 a0,0b, 1,c1 ，且 f （x）的极大值为m，求证 :m 4 2720（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“m 数列” .（ 1）已知等比数列 annn * 满意：a2a4a5 , a34 a24a40 ，求证 :数列 an为“ m 数列”；（ 2）已知数列 bn 满意 : b11221,snbnbn 1，其中 sn 为数列 bn 的前 n 项和求数列 bn 的通项公式；设 m

9、 为正整数，如存在“m 数列” cn nn * ，对任意正整数k，当 k m 时，都有 ck剟bkck 1 成立，求m 的最大值数学 附加题 21【选做题】此题包括a 、b、c 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答如多做，就按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a. 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）31已知矩阵a22（1）求 a2；（2）求矩阵 a 的特点值 .b. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点a3, b 42,，直线 l的方程为sin3 .24（1）求 a， b两点间的距离；（2）求点 b到直线 l

10、的距离 .c.选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）设 xr ，解不等式 |x|+|2 x1|>2 .【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设 1xnaa xa x2la xn , n4, nn *. 已 知012na 22a a .324（1）求 n的值；（ 2）设 13 nab3 ，其中a,bn* ，求 a223b 的值 .23（.本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，设点集 an0,0,1,0,2,0, n,0 ，bn0,1,n,1

11、,cn0,2,1 ,2,2,2, l, n,2, nn .令 m nan u bnu cn .从集合 m n中任取两个不同的点，用随机变量 x表示它们之间的距离.（1）当 n=1时，求 x的概率分布；2021 年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学答案一、填空题：此题考查基础学问、基本运算和基本思想方法.每道题 5分，共计 70分.571. 1,62.23.54. 1,75.6.3107. y2 x8.169.1010.411. e, 112.313.21214.,1034二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础学问，考查运算求解才能 .满分 1

12、4分.解：（ 1）由于 a3c, b2,cos b2 ，3由余弦定理cos ba 2c2b223c2，得c22 2，即 c21 .所以 c3 .32ac323cc3（ 2）由于 sin aacos b，2b由正弦定理abcos b，得sin b，所以 cosb2sin b .sin asin b2bb从而 cos2 b2sinb 2 ，即cos2 b4 1cos2b，故cos2 b4 .5由于 sin b0 ，所以 cosb2sin b0，从而cos b25 .5因此 sinbcosb25 .2516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础学问，考查空间想象才能和推理

13、论证才能.满分 14 分.证明：（ 1）由于 d ，e 分别为 bc， ac 的中点， 所以 ed ab .在直三棱柱abc-a1 b1c1 中， aba1b1，所以 a1b1 ed .又由于 ed. 平面 dec 1， a1 b1平面 dec 1，所以 a1b1平面 dec 1.（ 2）由于 ab=bc， e 为 ac 的中点，所以be ac.由于三棱柱abc-a1 b1c1 是直棱柱，所以cc 1平面 abc.又由于 be. 平面 abc，所以 cc1 be.由于 c1c. 平面 a1acc1， ac. 平面 a1acc1， c1cac=c，所以 be平面 a1acc1.由于 c1e. 平

14、面 a1acc1，所以 be c1e.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础学问，考查推理论证才能、分析问题才能和运算求解才能.满分 14 分 .解：（ 1）设椭圆c 的焦距为2c.由于 f11， 0， f 21， 0，所以 f 1f 2=2，c=1.又由于 df 1 = 5 ， af 2x 轴，所以 df 2=df 2f f 25 22 23 ，2112 2 2因此 2a=df 1+df 2=4，从而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.2因此，椭圆c 的标准方程为xy1.243（ 2）解法一：2由（ 1）知，椭圆c： xy2

15、1 ， a=2，43由于 af 2 x 轴，所以点a 的横坐标为1.将 x=1 代入圆 f2 的方程 x-1 2+y2=16 ，解得 y=± 4.由于点 a 在 x 轴上方，所以a1，4.又 f1-1， 0，所以直线af1： y=2x+2.y2x2由 x12y2，得 5 x216116 x110 ，解得 x1 或 x.51112将 x代入 y 52 x2 ，得 y，5因此 b11,12.又 f 21， 0，所以直线bf2： y3 x1 .554y3 x由4x2y21，得 7 x216 x130 ，解得 x1 或 x13 .743又由于 e 是线段 bf2 与椭圆的交点，所以x1 .将

16、 x1 代入 y3 x41) ，得 y3.因此2e 1,3 .2解法二：2由（ 1）知，椭圆c： xy21 .如图，连结ef 1.43由于 bf 2=2 a，ef 1+ef2=2a，所以 ef1 =eb， 从而 bf 1e= b.由于 f2a=f 2b，所以 a= b， 所以 a= bf1e，从而 ef 1 f 2a. 由于 af 2 x 轴，所以ef 1 x 轴.x由于 f1-1 ，0 ，由x212y，得 y3 .1243又由于 e 是线段 bf2 与椭圆的交点，所以y3 .2因此 e1,3 .218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础学问，考查直观想象和数学建模及运用数学

17、学问分析和解决实际问题的才能.满分 16分.解：解法一：（ 1）过 a作 aebd ，垂足为 e.由已知条件得，四边形acde 为矩形，debeac6, aecd8 .'由于 pb ab，所以 cospbdsinabe84.105所以 pbcosbdpbd1215 .45因此道路 pb的长为 15（百米） .（ 2）如 p在d 处，由（ 1）可得 e在圆上，就线段be 上的点（除 b， e）到点 o的距离均小于圆 o的半径，所以 p选在 d 处不满意规划要求.如 q在 d处，连结 ad ，由（ 1）知adae 2ed 210 ，从而 cosbad222adabbd2 adab70 ，所

18、以 bad 为锐角 .25所以线段 ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径 .因此， q选在 d 处也不满意规划要求.综上， p和q均不能选在 d处.（ 3）先争论点 p的位置 .当 obp<90°时，线段 pb上存在点到点 o的距离小于圆 o的半径，点 p不符合规划要求；当 obp90°时，对线段 pb上任意一点 f ， of ob ，即线段 pb 上全部点到点o的距离均不小于圆 o的半径，点 p符合规划要求 .设 p1 为l上一点，且p1bab ，由（ 1）知，p1 b=15 ，此时 pdpbsinpbdpbcos3eba159 ；11115当 obp>90

19、°时，在 pp1b中， pbp1b15 .由上可知， d15.再争论点 q的位置 .由（ 2）知，要使得qa15，点 q只有位于点 c的右侧，才能符合规划要求.当qa=15 时，cqqa2ac 21526 23 21 .此时，线段 qa上全部点到点o的距离均不小于圆o的半径 .综上，当 pb ab ，点 q位于点 c右侧，且 cq= 321时， d最小，此时 p， q两点间的距离 pq=pd +cd +cq=17+ 321 .因此， d最小时， p， q两点间的距离为17+ 321 （百米） .解法二：（ 1）如图，过 o作oh l ，垂足为 h.以 o为坐标原点，直线oh 为y轴，

20、建立平面直角坐标系.由于 bd=12， ac=6，所以 oh =9，直线 l的方程为 y=9，点 a， b的纵坐标分别为3， - 3.由于 ab为圆 o的直径， ab=10 ，所以圆 o的方程为 x2+y2=25.从而 a（ 4， 3）， b（- 4， - 3），直线 ab的斜率为 3 .4由于 pb ab，所以直线 pb的斜率为4 ，3直线 pb的方程为y425x.33所以 p（ - 13， 9）， pb134 293215 .因此道路 pb的长为 15（百米） .（ 2）如 p在d 处，取线段 bd上一点 e（ - 4， 0），就 eo=4<5 ，所以 p选在 d处不满意规划要求 .

21、如 q在 d处，连结 ad ，由（ 1）知 d（ - 4， 9），又 a（ 4， 3），所以线段 ad： y3x64剟x44 .在线段 ad 上取点 m （ 3， 15 ），由于 om423215432425 ，所以线段 ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径 .因此 q选在 d 处也不满意规划要求.综上， p和q均不能选在 d处.（ 3）先争论点 p的位置 .当 obp<90°时，线段 pb上存在点到点 o的距离小于圆 o的半径，点 p不符合规划要求；当 obp 90°时，对线段 pb 上任意一点 f ，of ob，即线段 pb 上全部点到点 o的距离均不小于圆 o

22、的半径，点 p符合规划要求 .设 p1 为l上一点，且p1bab ，由（ 1）知，p1 b=15 ，此时p1 （ - 13，9）；当 obp>90°时，在 pp1b中， pbp1b15 .由上可知， d15.再争论点 q的位置 .由（ 2）知，要使得 qa15，点q只有位于点 c的右侧，才能符合规划要求.当 qa=15 时，设q（ a，9），由 aqa4 293215a4 ，得a= 4321 ，所以 q（ 4321 ，9），此时，线段qa上全部点到点o的距离均不小于圆o的半径 .综上，当 p（ - 13， 9）， q（ 4321 ， 9）时， d最小，此时 p， q两点间的距离

23、pq43211317321 .因此， d最小时， p， q两点间的距离为17321 （百米） .19本小题主要考查利用导数争论函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及规律推理才能满分16分解：（ 1）由于 abc ，所以f xxa xb xc xa 3 由于 f48 ，所以 4a 38 ，解得 a2 （2）由于 bc ，所以 f x xa xb2x3a2bx2b2 ab xab 2 ，从而 f ' x3 xb x2 ab3令 f ' x0 ，得 xb 或 x2ab3由于 a, b, 2 ab ，都在集合 3,1,3 中，且 ab ，3所以 2ab 31,a3,b3

24、 此时 f x x3x32 ，f ' x3x3 x1 令 f ' x0 ，得 x3 或 x1 列表如下：x,333,111,00+极大值微小值zf ' x+f xz所以 f x 的微小值为f 11313232 （3）由于 a0, c1 ，所以f xx xb x13xb21 xbx ，f ' x3 x22b1xb 由于 0b1 ，所以4b1212b2 b1230 ，就 f ' x 有 2个不同的零点，设为x1 , x2x1x2b1由 f ' x0 ，得 x1b2b1b1, x2b2b133列表如下：x, x1 x1x1 , x2x2 x2 ,00+

25、极大值微小值zf ' x+f xz所以 f x 的极大值mfx1解法一：mfxx3b1x2bx11113x22b1xbx1b12 bb12111xbb139992 b2b1 b1bb123b2b127927b b12 b12 b12bb113272727bb124因此 m427272727解法二：由于 0b1 ，所以x10,1 当 x0,1 时，f xxxb x1x x12 令 g xxx12 , x0,1 ，就g' x3x1 x31 令 g' x0 ，得 x1列表如下：3x0, 1 133 1 ,13g' x+0g xz极大值所以当 x1 时， g x3取得极

26、大值，且是最大值，故g xmaxg14 327所以当 x0,1 时，f xg x44，因此 m272720本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础学问，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学学问探究与解决问题的才能满分16分解：（ 1）设等比数列 an 的公比为 q，所以 a1 0， q0.244a aaa qa qa1245由，得111，解得2a4a4a0a q4a q4a0q2321111因此数列 an为“ m 数列” .（ 2）由于12212211b2snbnbn 1，所以 bn0 由 b11,s1b1 得，就 b22 .122由，得 snbnbn 1，snbnbn 12

27、bn 1bn 当 n2 时，由bssbbnbn 1bn 1bn，nnn1 ，得n2 bb2 bbn 1nnn 1整理得bn 1bn 12bn 所以数列 bn 是首项和公差均为1的等差数列 .因此，数列 bn 的通项公式为bn=nnn*.由知， bk=k， kn* .由于数列 cn 为“m 数列 ”，设公比为 q，所以 c1=1， q>0.由于 ckbkck+1，所以qk 1kq k ，其中 k=1 ， 2， 3， m.当k=1时，有 q 1；当k=2，3， m时，有ln kln qln kkk1设f（ x） = lnx x1) ，就f ' x1ln xxx2令 f ' x

28、0 ，得 x=e.列表如下：x1,eee， + f ' x+0（fx）极大值ln 2ln8ln 9ln 3由于2663，所以f k maxf 3ln 33取 q3 3 ，当 k=1， 2， 3， 4， 5时， ln k ,kln q ，即kq k ，经检验知q k 1k 也成立因此所求 m的最大值不小于5如m6，分别取 k=3 ，6，得 3q3，且 q56，从而 q15 24，3且 q15 216，所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于6.综上，所求 m的最大值为 5数学 附加题 参考答案21【选做题】a 选修 4 2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特点值等基础学问，考查运算

29、求解才能满分10分31解：（ 1）由于 a，22所以 a23131222233123112=23222122115=106（ 2）矩阵 a 的特点多项式为f 3122254 .令 f 0 ，解得 a的特点值11,24 .b 选修 4 4：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础学问，考查运算求解才能满分10分解：（ 1）设极点为 o.在 oab 中， a（ 3， 4 ）， b（2 ， 2 ），由余弦定理，得ab =322 2232cos5 .24（ 2）由于直线 l的方程为sin3 ， 4就直线 l过点 32, ，倾斜角为324又 b2, ，所以点 b到直线 l 的距离为2322sin3422 .c 选修 45：不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础学问，考查运算求解和推理论证才能满分10分解：当 x<0时，原不等式可化为x12 x2 ，解得 x< 1 ：3当0x1时，原不等式可化为x+12x>2，即 x<1，无解；2当x> 1 时，原不等式可化为x+2 x1>2 ，解得 x>1.2综上，原不等式的解集为 x | x1 或x 31 .22.【