高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案：第三章 3．1　直线的倾斜角与斜率含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率倾斜角与斜率1直线的倾斜角的定义是什么？直线的倾斜角的定义是什么？2直线的倾斜角的范围是什么？直线的倾斜角的范围是什么？3直线的斜率的计算公式是怎样的？直线的斜率的计算公式是怎样的？新知初探新知初探1直线的倾斜角直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：倾斜角的定义：当直当直线线 l 与与 x 轴相交时轴相交时,取取 x 轴作为基准轴作为基准,x 轴轴正方向正方向与直与直线线 l 向上向上方向之方向之间所成的角叫做直间所成的角叫做直线线l的倾斜角的倾斜角 如图所示如图所示,直直线线l的倾斜角是的倾斜角是apx,直直线线

2、l的倾斜角是的倾斜角是bpx.(2)倾斜角的范围：倾斜角的范围：直线的倾斜角直线的倾斜角的取值范围的取值范围是是0180,并规定并规定与与x轴平行或重合的直线的倾斜角轴平行或重合的直线的倾斜角为为0.点睛点睛(1)倾斜角定义中含有三个条件：倾斜角定义中含有三个条件：预习课本 p8285,思考并完成以下问题x 轴正方向；轴正方向；直线向上的方向；直线向上的方向；小于小于 180的非负角的非负角(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线且倾斜程度相同的直线,其倾其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线斜角相等；倾斜程度不同的

3、直线,其倾斜角不相等其倾斜角不相等2直线的斜率直线的斜率(1)斜率的定义：斜率的定义：一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角的的正切正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母值叫做这条直线的斜率常用小写字母 k 表示表示,即即 ktan_.(2)斜率公式：斜率公式：经过两点经过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1.当当 x1x2时时,直线直线 p1p2没有斜率没有斜率(3)斜率的作用：斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度倾斜程度点睛点睛直线都有倾斜角直线都有倾斜角,但并不是所

4、有的直线都有斜率但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是当倾斜角是 90时时,直线的斜率直线的斜率不存在不存在,此时此时,直线垂直于直线垂直于 x 轴轴(平行于平行于 y 轴或与轴或与 y 轴重合轴重合)小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”“”)(1)任一直线都有倾斜角任一直线都有倾斜角,都存在斜率都存在斜率()(2)倾斜角为倾斜角为 135的直线的斜率为的直线的斜率为 1()(3)若一条直线的倾斜角为若一条直线的倾斜角为,则它的斜率为则它的斜率为 ktan ()(4)直线斜率的取值范围是直线斜率的取值范围是(,)()答案：答案

5、：(1)(2)(3)(4)2若直线若直线 l 经过原点和经过原点和(1,1),则它的倾斜角是则它的倾斜角是()a45b135c45或或 135d45解析：解析：选选 b作出直线作出直线 l,如图所示如图所示,由图易知由图易知,应选应选 b.3已知直线已知直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 30,则直线则直线 l 的斜率为的斜率为()a.33b. 3c1d.22解析：解析：选选 a由题意可知由题意可知,直线直线 l 的斜率的斜率 ktan 3033.直线的倾斜角直线的倾斜角典例典例设直设直线线l过原点过原点,其倾斜角为其倾斜角为,将直将直线线l绕坐标原点沿逆时针方向旋绕坐标原点沿逆时针方向旋转转45

6、,得到直得到直线线 l1,则直线则直线 l1的倾斜角为的倾斜角为()a45b135c135d45或或135 解 析解 析 由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知 , 只 有 当只 有 当 0 45 180(0180),即即 0135时时,l1的倾斜角才是的倾斜角才是45.而而0180,所以当所以当 135180时时,l1的倾斜角为的倾斜角为135(如如图图)答案答案d求直线的倾斜角的方法及两点注意求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形方法：结合图形,利用特殊三角形利用特殊三角形(如直角三角形如直角三角形)求角求角(2)两点注意两点注意： 当直线

7、与当直线与 x 轴平行或重合时轴平行或重合时,倾斜角为倾斜角为 0,当直线与当直线与 x 轴垂直时轴垂直时,倾斜角倾斜角为为90.注意直线倾斜角的取值范围是注意直线倾斜角的取值范围是 0180.活学活用活学活用已知直线已知直线 l 经过第二、四象限经过第二、四象限,则直线则直线 l 的倾斜角的倾斜角的取值范围是的取值范围是()a090b90180c90180d0180解析：解析：选选 c直线倾斜角的取值范围是直线倾斜角的取值范围是 0180,又直线又直线 l 经过第二、四象限经过第二、四象限,所以所以直线直线 l 的倾斜角的倾斜角的取值范围是的取值范围是 90180.直线的斜率直线的斜率典例典

8、例经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在,求其斜率求其斜率,并确定直线的倾斜角并确定直线的倾斜角.(1)a(2,3),b(4,5)；(2)c(2,3),d(2,1)；(3)p(3,1),q(3,10)解解(1)存在存在 直线直线 ab 的斜率的斜率 kab53421,即即 tan 1,又又 0180,所以倾斜角所以倾斜角45.(2)存在存在直线直线 cd 的斜率的斜率 kcd132 2 1,即即 tan 1,又又 0180,所以倾斜所以倾斜角角135.(3)不存在因为不存在因为 xpxq3,所以直线所以直线 pq 的斜率不存在的斜率不存在,倾斜角倾

9、斜角90.活学活用活学活用1直线经过点直线经过点(0,2)和点和点(3,0),则它的斜率为则它的斜率为()a.23b.32c23d32解析：解析：选选 c斜率斜率 k023023.2已知坐标平面内已知坐标平面内abc 的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是 a(1,1),b(1,1),c(1,1),求直求直线线ab,bc,ac 的斜率的斜率解解：已知点的坐标已知点的坐标,可代入过两点的直线的斜率公式求斜率可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐标是否但应先验证两点的横坐标是否相等相等kab111 1 0,kac111 1 1.b,c 两点的横坐标相等两点的横坐标相等,直线

10、直线 bc 的斜率不存在的斜率不存在.(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是运用公式的前提条件是“x1x2”,即直线不与即直线不与 x 轴垂直轴垂直,因为当直线与因为当直线与 x 轴垂直时轴垂直时,斜率是不存在的；斜率是不存在的；斜率公式与两斜率公式与两点点p1,p2的先后顺序无关的先后顺序无关,也就是说公式中也就是说公式中的的x1与与x2,y1与与y2可以同时交可以同时交换位置换位置(2)在在 00.试判断四边形试判断四边形 opqr 的形状的形状解：解：由斜率公式由斜率公式,得得 kopt010t,kqr2 2t 2t 12t t

11、1t,kor202t01t,kpq2tt12t122t1t.kopkqr,korkpq,opqr,orpq,四边形四边形 opqr 为平行四边形为平行四边形又又 kopkor1,opor,四边形四边形 opqr 为矩形为矩形8直线直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 30,点点 p(2,1)在直线在直线 l 上上,直线直线 l 绕点绕点 p(2,1)按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转 30后到达直后到达直线线l1的位置的位置,此时直此时直线线l1与与l2平行平行,且且l2是线是线段段ab的垂直平分线的垂直平分线,其其中中a(1,m1),b(m,2),试求试求 m 的值的值解：解：如图如图,直线直线 l1的倾斜角为的倾斜角为 303060,直线直线 l1的斜率的斜率 k1tan 60