年全国统一高考数学试卷

1、2021 年全国统一高考数学试卷 （文科）（新课标 ）一、挑选题：本大题共12 小题，每道题5 分，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的1（ 5 分）（2021 .河南）已知集合m=x| 1 x3 ， n=x| 2 x 1 ，就 m n= （）a （ 2， 1）b （ 1， 1）c （1， 3）d （ 2， 3）2（ 5 分）（2021 .河南）如tan 0，就（）a sin 0b cos 0c sin2 0d cos2 03（ 5 分）（ 2021 .河南）设z=+i ，就 |z|=（）a b cd 24（ 5 分）（2021 .河南）已知双曲线=1（ a 0）的离心率为2，就

2、 a=（）a 2b cd 15（ 5 分）（ 2021 .河南）设函数f（ x），g（ x）的定义域都为r，且 f（x ）是奇函数， g（ x ）是偶函数，就以下结论中正确选项（）a f （ x ） g（x ）是偶函数b |f（ x ） |g（ x ）是奇函数c f（ x ）|g（ x ） |是奇函数d |f （x ） g（ x ）|是奇函数6（ 5 分）（2021 .河南）设d， e， f 分别为 abc 的三边 bc， ca ， ab 的中点，就+=（）a b cd 7（ 5 分）（2021 .河南）在函数 y=cos 丨 2x 丨， y= 丨 cosx 丨， y=cos （ 2x+） y

3、=tan（ 2x）中，最小正周期为的全部函数为（）a b c d 8（ 5 分）（2021 .河南）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，就这个几何体是（）a 三 棱锥b 三棱柱c 四棱锥d 四棱柱9（ 5 分）（2021 .河南）执行如图的程序框图，如输入的a，b， k 分别为 1，2， 3，就输出的m= （）a b cd 10（ 5 分）（ 2021.河南）已知抛物线c： y2=x 的焦点为f， a （ x 0， y0）是 c 上一点， |af|=x 0， x 0=（）a 1b 2c 4d 811（5 分）（ 2021.河南）设x， y 满意约束条件，且 z=x

4、+ay 的最小值为7，就 a=（）a 5b 3c 5 或 3d 5 或 312（ 5 分）（ 2021.河南）已知函数f （ x）=ax 3 3x2+1 ，如 f（ x）存在唯独的零点x0，且 x 00，就 a 的取值范畴是（）a （ 2，+）b （ 1， +）c （ ， 2）d （ ， 1）二、填空题：本大题共4 小题，每道题5 分13（ 5 分）（ 2021.河南）将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，就2 本数学书相邻的概率为 14（ 5 分）（ 2021.河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a ， b， c 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b 城市；乙

5、说：我没去过c 城市； 丙说：我们三人去过同一城市；由此可判定乙去过的城市为15（ 5 分）（ 2021.河南） 设函数 f（ x）=，就使得 f（ x ）2 成立的 x 的取值范畴是 16（5 分）（ 2021.河南）如图，为测量山高mn ，挑选 a 和另一座山的山顶c 为测量观测点，从a 点测得 m 点的仰角 man=60 °，c 点的仰角 cab=45 °，以及 mac=75 °；从 c 点测得 mca=60 °已知山高bc=100m ，就山高 mn= m.2021-2021菁优网三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（ 12 分）（

6、 2021.河南）已知 a n 是递增的等差数列，a2， a4 是方程 x2 5x+6=0 的根（ 1）求 a n 的通项公式；（ 2）求数列 的前 n 项和18（ 12 分）（ 2021.河南）从某企业生产的产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75 ，85）85， 95）95， 105）105 ， 115）115， 125）频数62638228（ 1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（ 2）估量这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ 3）依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合

7、“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产 品 80%”的规定？19（ 12 分）（2021 .河南）如图，三棱柱abc a 1b1c1 中，侧面bb 1c1c 为菱形， b 1c 的中点为o，且 ao 平面 bb 1c1c（ 1）证明： b1c ab ；（ 2）如 ac ab 1， cbb 1=60 °， bc=1 ，求三棱柱abc a 1b 1c1 的高.2021-2021菁优网20（12 分）（ 2021.河南）已知点p（ 2，2），圆 c：x 2+y 2 8y=0 ，过点 p 的动直线l 与圆 c 交于 a ，b 两点，线段ab 的中点为m ， o 为坐标原点（ 1）求 m

8、 的轨迹方程；（ 2）当 |op|=|om| 时，求 l 的方程及 pom 的面积21（ 12 分）（ 2021.河南）设函数f（ x） =alnx+x2 bx（ a1），曲线 y=f （ x ）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 0，（ 1）求 b；（ 2）如存在x 01，使得 f（ x 0），求 a 的取值范畴请考生在第22， 23， 24 题中任选一题作答，假如多做，就按所做的第一题记分，作答时清写清题号；【选修 4-1：几何证明选讲】22（ 10 分）（ 2021.河南）如图，四边形abcd是o 的内接四边形，ab 的延长线与dc 的延长线交于点e，且cb=ce （ ）证明： d=

9、 e；（ ）设 ad 不是 o 的直径， ad 的中点为m ，且 mb=mc ，证明： ade 为等边三角形【选修 4-4：坐标系与参数方程】23（ 2021.河南）已知曲线c：+=1，直线 l：（ t 为参数）（ ）写出曲线c 的参数方程，直线l 的一般方程（ ）过曲线c 上任意一点p 作与 l 夹角为 30°的直线，交l 于点 a ，求 |pa|的最大值与最小值【选修 4-5：不等式选讲】24（ 2021.河南）如a 0， b0，且+=+b（ ）求 a33 的最小值；（ ）是否存在a， b，使得 2a+3b=6？并说明理由.2021-2021菁优网2021 年全国统一高考数学试卷

10、 （文科）（新课标 ）参考答案与试题解析一、挑选题：本大题共12 小题，每道题5 分，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的1（ 5 分）（2021 .河南）已知集合m=x| 1 x3 ， n=x| 2 x 1 ，就 m n= （）a （ 2， 1）b （ 1， 1）c （1， 3）d （ 2， 3）考点 ： 交集及其运算专题 ： 集合分析：依据集合的基本运算即可得到结论解答：解： m=x| 1 x 3 ， n=x| 2 x 1 ，就 m n=x| 1 x 1 ，应选： b点评：此题主要考查集合的基本运算，比较基础2（ 5 分）（2021 .河南）如tan 0，就（）a sin 0

11、b cos 0c sin2 0d cos2 0考点 ： 三角函数值的符号专题 ： 三角函数的求值分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案解答：解： tan 0，就 sin2 =2sin cos 0应选： c点评：此题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题3（ 5 分）（2021 .河南）设z=+i ，就 |z|=（）a b cd 2考点 ：专题 ：分析：复数代数形式的乘除运算运算题；数系的扩充和复数 先求 z，再利用求模的公式求出|z|解答：解： z=+i=+i=故 |z|=应选 b 点评：此题考查复数代数形式的运算，属于简洁题4（ 5 分）（2021 .河南）已知双曲线=1

12、（ a 0）的离心率为2，就 a=（）.2021-2021菁优网a 2b cd 1考点 ： 双曲线的简洁性质专题 ： 运算题分析：依据双曲线的离心率e=，得到关于a 的等式，从而求出a 的值解答：解：双曲线的离心率e=2，解答 a=1应选 d点评：此题考查了双曲线的简洁性质，属于基础题型5（ 5 分）（ 2021 .河南）设函数f（ x），g（ x）的定义域都为r，且 f（x ）是奇函数， g（ x ）是偶函数，就以下结论中正确选项（）a f （ x ） g（x ）是偶函数b |f（ x ） |g（ x ）是奇函数c f（ x ）|g（ x ） |是奇函数d |f （x ） g（ x ）|是奇

13、函数考点 ： 函数奇偶性的判定；函数的定义域及其求法专题 ： 函数的性质及应用分析：由题意可得，|f（ x ）|为偶函数， |g（ x ）|为偶函数再依据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积仍是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论解答：解： f（ x ）是奇函数， g（ x）是偶函数， |f（ x） |为偶函数， |g（ x） |为偶函数再依据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积仍是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f （ x） |g（ x ） |为奇函数，应选： c点评：此题主要考查函数的奇偶性，留意利用函数的奇偶性规律，属于基础题6（ 5 分）（202

14、1 .河南）设d， e， f 分别为 abc 的三边 bc， ca ， ab 的中点，就+=（）a b cd 考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 平面对量及应用分析：利用向量加法的三角形法就，将，分解为+和+的形式，进而依据d， e，f 分别为 abc的三边 bc ，ca ， ab 的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法就得到答案 解答：解： d， e， f 分别为 abc 的三边 bc，ca ， ab 的中点，+=（+） +（+） =+=（+） =，应选： a.2021-2021菁优网点评：此题考查的学问点是向量在几何中的应用，娴熟把握向量加法的三角形法就和平行四边形法就是解答的关键

15、7（ 5 分）（2021 .河南）在函数 y=cos 丨 2x 丨， y= 丨 cosx 丨， y=cos （ 2x+） y=tan（ 2x）中，最小正周期为的全部函数为（）a b c d 考点 ： 三角函数的周期性及其求法专题 ： 三角函数的图像与性质分析：依据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论解答：解： 函数 y=cos 丨 2x 丨的最小正周期为=， y= 丨 cosx 丨的最小正周期为=， y=cos （ 2x+）的最小正周期为=， y=tan （ 2x）的最小正周期为， 应选： a 点评：此题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题8（ 5 分）（2021 .

16、河南）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，就这个几何体是（）a 三 棱锥b 三棱柱c 四棱锥d 四棱柱考点 ： 简洁空间图形的三视图专题 ： 空间位置关系与距离分析：由题意画出几何体的图形即可得到选项解答：解：依据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，.2021-2021菁优网可知几何体如图：几何体是三棱柱应选： b点评：此题考查三视图复原几何体的直观图的判定方法，考查空间想象才能9（ 5 分）（2021 .河南）执行如图的程序框图，如输入的a，b， k 分别为 1，2， 3，就输出的m= （）a b cd 考点 ： 程序框图 专题 ： 概率

17、与统计分析：依据框图的流程模拟运行程序，直到不满意条件，运算输出m 的值解答：解：由程序框图知：第一次循环m=1+=， a=2， b=，n=2 ；其次次循环m=2+=， a=， b=， n=3 ； 第三次循环m=+=， a=， b=，n=4 不满意条件n3，跳出循环体，输出m=应选： d点评：此题考查了当型循环结构的程序框图，依据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法10（ 5 分）（ 2021.河南）已知抛物线c： y2=x 的焦点为f， a （ x 0， y0）是 c 上一点， |af|=x 0， x 0=（）a 1b 2c 4d 8考点 ： 抛物线的简洁性质专题 ： 运算题；圆锥

18、曲线的定义、性质与方程.2021-2021菁优网分析：由抛物线的定义，可得|af|=x 0+，结合条件，可求x 0解答：解：由抛物线的定义，可得|af|=x 0+， |af|=x 0， x0+=x 0， x0=1， 应选： a 点评：此题考查了抛物线的定义与简洁性质，属于简洁题11（5 分）（ 2021.河南）设x， y 满意约束条件，且 z=x+ay 的最小值为7，就 a=（）a 5b 3c 5 或 3d 5 或 3考点 ： 简洁线性规划的应用专题 ： 数形结合分析： 由约束条件作出可行域， 然后对 a 进行分类， a=0 时最小值不等于 7，a 0 时目标函数无最小值， a0 时化目标函数

19、为直线方程斜截式，由图看出最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，由对应的z值等于 7 求解 a 的值解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得 a （）当 a=0 时 a 为（）， z=x+ay 的最小值为，不满意题意；当 a 0 时，由 z=x+ay 得，要使 z 最小，就直线在 y 轴上的截距最大，满意条件的最优解不存在；当 a 0 时，由 z=x+ay 得，.2021-2021菁优网由图可知，当直线过点a 时直线在 y 轴上的截距最小，z 最小此时 z=，解得： a=3 或 a= 5（舍）应选： b点评：此题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键是留

20、意分类争论，是中档题 3x3212（ 5 分）（ 2021.河南）已知函数f （ x）=ax+1，如 f（ x）存在唯独的零点x0，且 x 00，就 a 的取值范畴是（）a （ 2，+）b （ 1， +）c （ ， 2）d （ ， 1）考点 ： 函数在某点取得极值的条件；函数的零点专题 ： 导数的综合应用分析：分类争论：当a0 时，简洁判定出不符合题意；当a 0 时，由于而f（ 0）=1 0，x+时， f（ x ），可知：存在 x 00，使得 f（ x0）=0 ，要使满意条件f（ x）存在唯独的零点x 0，且 x0 0，就必需微小值 0，解出即可解答：解：当 a=0 时， f （ x ）= 3

21、x 2+1=0 ，解得 x=，函数 f （x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当 a 0 时，令 f（x） =3ax26x=3ax=0，解得 x=0 或 x= 0，列表如下：x（ ，0） 0f （ x） +00+f （x ）单调递增极大值单调递减微小值单调递增 x+， f（x ） +，而 f （ 0） =10， 存在 x 0，使得 f（ x ）=0，不符合条件：f（x ）存在唯独的零点 x 0，且 x0 0，应舍去当 a 0 时， f （ x ）=3ax2 6x=3ax=0，解得 x=0 或 x= 0，列表如下： x（ ，）0（ 0， +）f （ x） 0+0f （x ）单调递减微小值单调递增

22、极大值单调递减而 f（ 0） =10， x +时， f（ x ） ， 存在 x 0 0，使得 f （ x 0）=0， f（x）存在唯独的零点x0，且 x 0 0，微小值=，化为 a24， a 0， a 2综上可知： a 的取值范畴是（， 2）应选： c点评：此题考查了利用导数争论函数的单调性极值与最值、分类争论的思想方法，考查了推理才能和运算才能，属于难题二、填空题：本大题共4 小题，每道题5 分13（ 5 分）（ 2021.河南）将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，就2 本数学书相邻的概率为考点 ： 古典概型及其概率运算公式专题 ： 概率与统计.2021-2021菁优网分

23、析：第一求出全部的基本领件的个数，再从中找到2 本数学书相邻的个数，最终依据概率公式运算即可解答：解： 2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，全部的基本领件有（数学1，数学 2，语文），（数学 1，语文，数学2），（数学 2，数学 1，语文），（数学 2，语文，数学1），（语文，数学1，数学 2），（语文，数学2，数学 1）共 6 个，其中 2 本数学书相邻的有（数学 1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文），（语文， 数学 1，数学 2），（语文，数学2，数学 1）共 4 个，故本数学书相邻的概率p=故答案为：点评：此题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏

24、的列出满意条件的基本领件14（ 5 分）（ 2021.河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a ， b， c 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b 城市；乙说：我没去过c 城市； 丙说：我们三人去过同一城市；由此可判定乙去过的城市为a考点 ： 进行简洁的合情推理专题 ： 推理和证明分析：可先由乙推出，可能去过a 城市或 b 城市，再由甲推出只能是a ， b 中的一个，再由丙即可推出结论解答：解：由乙说：我没去过c 城市，就乙可能去过a 城市或 b 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b 城市，就乙只能是去过a ， b 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，就由此可判定乙

25、去过的城市为a 故答案为： a 点评：此题主要考查简洁的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题15（ 5 分）（ 2021.河南）设函数f（ x） =，就使得f （ x）2 成立的 x 的取值范畴是x8考点 ： 其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法专题 ： 运算题；函数的性质及应用分析：利用分段函数，结合f（ x） 2，解不等式，即可求出访得f （ x） 2 成立的 x 的取值范畴解答：解： x 1 时， ex12， x ln2+1 ， x 1；x 1 时，2， x8， 1x8，综上，使得f （ x ） 2 成立的 x 的取值范畴是x8故答案为： x 8点评：此题考查不等

26、式的解法，考查分段函数，考查同学的运算才能，属于基础题16（5 分）（ 2021.河南）如图，为测量山高 mn ，挑选 a 和另一座山的山顶 c 为测量观测点，从 a 点测得 m 点的仰角 man=60 °，c 点的仰角 cab=45 °，以及 mac=75 °；从 c 点测得 mca=60 °已知山高 bc=100m ，就山高 mn= 150 m.2021-2021菁优网考点 ：正弦定理专题 ：分析：解三角形 abc 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得ac ； amc 中，由条件利用正弦定理求得am ；rt amn中，依据 mn=am .sin

27、man ，运算求得结果解答：解： abc 中， bac=45 °， abc=90 °， bc=100 ， ac=100 amc 中， mac=75 °， mca=60 °， amc=45 °，由正弦定理可得，即，解得 am=100rt amn中， mn=am .sin man=100×sin60°=150 （ m），故答案为： 150点评：此题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 5x+6=0 的根217（ 12 分）（ 2021.河南）已知 a n 是递增的等

28、差数列，a2， a4 是方程 x（ 1）求 a n 的通项公式；（ 2）求数列 的前 n 项和考点 ： 数列的求和；等差数列的通项公式专题 ： 综合题；等差数列与等比数列分析：（ 1）解出方程的根，依据数列是递增的求出a2，a4 的值，从而解出通项；（ 2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和解答：解：（ 1）方程 x2 5x+6=0 的根为 2， 3又 a n 是递增的等差数列，故 a2=2， a4=3，可得 2d=1， d=，故 an=2+ （ n2） × =n+1 ，（ 2）设数列 的前 n 项和为 sn，sn=， .2021-2021菁优网sn=， 得sn=，解得 sn

29、=2点评：此题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式18（ 12 分）（ 2021.河南）从某企业生产的产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75 ，85）85， 95）95， 105）105 ， 115）115， 125）频数62638228（ 1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（ 2）估量这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ 3）依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？考点 ： 极

30、差、方差与标准差；频率分布直方图专题 ： 概率与统计分析：（ 1）依据频率分布直方图做法画出即可；（ 2）用样本平均数和方差来估量总体的平均数和方差，代入公式运算即可（ 3）求出质量指标值不低于95 的产品所占比例的估量值，再和0.8 比较即可解答：解：（ 1）频率分布直方图如下列图：.2021-2021菁优网（ 2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90 ×0.26+100 ×0.38+110 ×0.22+120 ×0.08=100 ，=（ 20）质量指标的样本的方差为s22×0.06+（ 10）2×0.26+0 &

31、#215;0.38+102×0.22+202×0.08=104 ，这种产品质量指标的平均数的估量值为100，方差的估量值为104（ 3）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估量值为0.38+0.22+0.08=0.68 ，由于该估量值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定点评：此题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图才能和精确的运算才能19（ 12 分）（2021 .河南）如图，三棱柱abc a 1b1c1 中，侧面bb 1c1c 为菱形， b 1c 的中点为o，且 ao

32、平面 bb 1c1c（ 1）证明： b1c ab ；（ 2）如 ac ab 1， cbb 1=60 °， bc=1 ，求三棱柱abc a 1b 1c1 的高考点 ： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积专题 ： 综合题；空间位置关系与距离分析：（ 1）连接 bc1，就 o 为 b1c 与 bc1 的交点，证明b1c 平面 abo ，可得 b1c ab ；（ 2）作 od bc ，垂足为d，连接 ad ，作 oh ad ，垂足为h，证明 cbb 1 为等边三角形，求出b 1 到平面 abc 的距离，即可求三棱柱abc a 1b 1c1 的高解答：（ 1）证明：连接bc 1，就

33、o 为 b 1c 与 bc 1 的交点， 侧面 bb 1c1c 为菱形， bc1 b1c， ao 平面 bb 1c1c， ao b1c， ao bc 1=o， b1c 平面 abo ， ab . 平面 abo ， b1c ab ；（ 2）解：作od bc ，垂足为d，连接 ad ，作 oh ad ，垂足为h， bc ao ， bc od ， ao od=o ， bc 平面 aod ，.2021-2021菁优网 oh bc ， oh ad ， bc ad=d ， oh 平面 abc ， cbb 1=60°， cbb 1 为等边三角形， bc=1 ， od=， ac ab 1， oa=b

34、 1c=，由 oh .ad=od .oa ，可得 ad=， oh=， o 为 b 1c 的中点， b1 到平面 abc 的距离为， 三棱柱 abc a 1b 1c1 的高点评：此题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的运算，考查同学分析解决问题的才能，属于中档题+y20（12 分）（ 2021.河南）已知点p（ 2，2），圆 c：x 2ab 的中点为m ， o 为坐标原点（ 1）求 m 的轨迹方程；（ 2）当 |op|=|om| 时，求 l 的方程及 pom 的面积考点 ： 轨迹方程；三角形的面积公式 专题 ： 直线与圆分析：2 8y=0 ，过点 p 的动直线l 与圆 c 交于 a ，b

35、 两点，线段（ 1）由圆 c 的方程求出圆心坐标和半径，设出m 坐标，由与数量积等于0 列式得 m 的轨迹方程；+（ y 4）（ 2）设 m 的轨迹的圆心为n，由 |op|=|om|得到 on pm求出 on 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到 pm 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出o 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出pm 的长度，代入三角形面积公式得答案+y解答：解：（ 1）由圆 c：x 22 8y=0 ，得 x 22=16 ， 圆 c 的圆心坐标为（0，4），半径为4设 m （ x ， y），就，由题意可得：即 x（ 2 x） +（ y 4）（ 2 y） =

36、0+（ y 3）整理得：（ x 1） 2由于点 p 在圆 c 内部，2=2=2 m 的轨迹方程是（x 1） 2+（ y 3） 2（ 2）由（ 1）知 m 的轨迹是以点n （1， 3）为圆心，为半径的圆，由于 |op|=|om| ，故 o 在线段 pm 的垂直平分线上，又 p 在圆 n 上，.2021-2021菁优网从而 on pm kon=3 ， 直线 l 的斜率为 直线 pm 的方程为，即 x+3y 8=0 就 o 到直线 l 的距离为又 n 到 l 的距离为， |pm|=点评：此题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判定两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题2

37、1（ 12 分）（ 2021.河南）设函数f（ x） =alnx+x2 bx（ a1），曲线 y=f （ x ）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 0，（ 1）求 b；（ 2）如存在x 01，使得 f（ x 0），求 a 的取值范畴考点 ： 利用导数争论曲线上某点切线方程专题 ： 导数的综合应用分析：（ 1）利用导数的几何意义即可得出；（ 2）对 a 分类争论：当a时，当a 1 时，当 a1 时，再利用导数争论函数的单调性极值与最值即可得出解答：解：（ 1） f（ x） =（ x0）， 曲线 y=f （x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为0， f（ 1）=a+（ 1 a） ×

38、;1 b=0，解得 b=1（ 2）函数 f （x ）的定义域为（0， +），由（ 1）可知： f（x ） =alnx+，= 当 a时，就，就当 x 1 时， f（ x） 0， 函数 f （ x）在（ 1，+）单调递增， 存在 x01，使得 f（ x0）的充要条件是，即，解得； 当a 1 时，就，.2021-2021菁优网就当 x 时， f （ x） 0，函数 f （ x）在上单调递减； 当 x时， f （ x ） 0，函数 f （ x）在上单调递增 存在 x01，使得 f（ x0）的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去 如 a 1 时， f （ 1） =，成立综上可得： a 的取值范畴是点评

39、：此题考查了导数的几何意义、利用导数争论函数的单调性极值与最值等基础学问与基本技能方法，考查了分类争论的思想方法，考查了推理才能和运算才能，属于难题请考生在第22， 23， 24 题中任选一题作答，假如多做，就按所做的第一题记分，作答时清写清题号；【选修 4-1：几何证明选讲】22（ 10 分）（ 2021.河南）如图，四边形abcd是o 的内接四边形，ab 的延长线与dc 的延长线交于点e，且 cb=ce （ ）证明： d= e；（ ）设 ad 不是 o 的直径， ad 的中点为m ，且 mb=mc ，证明： ade 为等边三角形考点 ： 与圆有关的比例线段专题 ： 选作题；几何证明分析：（ ）利用四边形abcd 是 o 的内接四边形，可得d= cbe ，由 cb=ce ，可得 e= cbe ，即可证明： d= e；（ ）设 bc 的中点为n ，连接 mn ，证明 ad bc ，可得 a= cbe ，进而可得 a= e，即可证明 ade为等边三角形解答：证明：（ ） 四边形 abcd 是o 的内接四边形， d= cbe ， cb=ce