教育教学论文浅论数学问题的解题过程

1、浅论数学问题的解题过程四川省达川第四中学 廖德荣数学问题虽形形色色、不计其数，但由于数学本身是一门源于实际、服务生 活的自然学科，只要我们用系统论的观点去认识、探究，就会或多或少的发现一 些潜在的规律。在教学实践的过程中，通过对解题过程的归纳、总结，笔者认为 解决数学问题的过程也是一项系统工程，它可分为条件系统、目标系统、知识系 统、思维系统、方法系统等几个主要部分。条件系统，含数学问题中存在的已知信息，它是依据问题的情景，客观存在 或给定的已知事实，是解题的直接依据；目标系统，即在条件系统基础上，按数 学本身的客观规律必然或可能发生的结果，是解题的终极；知识系统，指

2、在运用 条件系统或实现目标系统的过程中，直接或间接涉及到的数学定义、公理、公式、 法则、定理（性质或判定）、推论等，它是解题的必要工具；思维系统，指充分 运用智力因素，通过观察、比较、尝试、直觉、顿悟、回忆、类比、特殊化、一 般化、反例、归纳、演译、联想、想象、猜想等思维活动，产生与条件系统相匹 配，指向目标系统的切实、有效地设想（常称基本数学思想），它是解决问题的指 导思想，也是决定解题成败的关键；方法系统，含在具体数学思想指导下，针对 条件系统与目标系统的差异，在充分利用相关知识系统的有效信息的原则下，设 计具体的解题方案，选择并运用有效地解题手段、方法（常称基本数学方法）， 以逐步消除差

3、异，最终达到目标。同一数学问题呈现在具有相同知识系统的不同解题者面前，理论上说，似应 有相同的解题效果，但实际情况却不尽然！究其原因，问题存在于思想与方法系 统中，事实上，不仅具有相同智商的人的数学思想水平不尽相同，而且其数学方 法、解题经验也存在差异。随着课改的深入，一方面，对数学知识系统有明 显削弱，但另一方面，随着科学技术的不断发展，数学问题的情景更加复杂，其 难度又在不断增加，因而，对数学能力的要求也越来越高，对此，解题者具备更 好的数学思想，掌握更多的数学方法尤为重要。在中学数学教学活动中，涉及的 基本数学思想主要有方程（组）思想、不等式（组）思想、函数思想、消元思想、 降次思想、化

4、归思想、划分思想、基本量思想等。基本数学方法主要有待定系数 法、配方法、换元法、数形结合法、分析法、综合法、演绎法、归纳法、反证法、 放缩法等。当然，数学思想与数学方法不是绝对独立的，它们相辅相成，互相渗 透，有不可分割的联系。对目标系统与条件系统之间差异较小的数学问题，涉及的知识与方法较少， 解题较易，但对于条件与目标之间差异大、情景复杂的数学问题，涉及的知识与 方法也较多，解题难度大，此时，欲收到好的解题效果，解题者除必备相关数学 知识、数学思想与方法外，思维素质与方法显得尤为关键。一般地，高素质的思维应具有科学性、广泛性、深刻性、敏捷性、灵活性、 批判性、独立性等特征。笔者认为，科学思维

5、的程序是观察一比较t联想t想象 （猜想）。兹举两例如下：例1、已知。+心2, ah = - ,求a3+h3的值。思路一：用立方和公式（常规经验型，解法1略）思路二：解方程组后代入求值（基本技能型，解法2略）思路三：恰当变形，整体代换（异于思路一，思维、能力型）解法3:由 a+b = 2 得即 a3+3a2h + 3ah2+h3=s.a3+b3 =8-3ab(a +b) = 8-3x(-l)x2 = 14解法4： (tz2 +z?2)(d + b) = r + /b + a戻 +z?3/. a' + b = (a2 4- b2)(d + b) aba + b)= 2(/+方 2)_(_)

6、x2= 2(d + b)22cq + 2= 222-2x(-1) + 2=14解法5:a3 +戻二左+咼-咼+戻=a? (a + b) -b(a + b)(a - b)= 2a2 -2b(a-b)= 2a2-2ab + 2b2= 2(/+，)2x(1)=2(°2+货)_2叭| + 2=14例2、设a,b,c是aabc的三边长(a,b,c边的对角分别是za,zs,zc ),-=a+b , zc=57° ,求 zb 的度数。b a+b+c分析：aabc 中，vza+zb+zc=18o° 且zc=57° , a za+zb=123°。欲 求zb,需建

7、立含za、zb的方程组(另找一个含za、zb的等式！)，为简便, 先对条件等式整式化，得b2=a2 + ac ( i ),对此，给出如下三种解法。思想方法一：以(i )为载体，借助正弦定理，运用消元的思想寻求关于za、 zb的方程a = b = c = k(k h 0)略解 1：设 sina sinb sinc,则a = ksina,b = ksinb,c = ksinc,代入(i )并消去 k,得sin2 a + sin a sin c = sin2 b (1 )l-cos2a .l-cos2b+ sin a sin(/4 + b)= 2 2/. 2sin a sin(a + b) = co

8、s 2a 一 cos 2b:.2sin a sin(a + b) = -2sin(a + b)-sin(a - b) ( 2 )va+b=123°.sin(a + b)h0,由(2)得sin a = sin(a - b) = sin(b -a)( 3 )*.* b, a w (0,7t), b _ a g (一兀,7t)由(3)得4 = b a或 a + (b a) =龙或 a + (b a) = ;r解得b = 2a或b = ±7i (舍去)丄a + b = 123 a- /s cc。由解得3 = 82b = 2a思想方法二：因(i )中a,b,c之间的特征与余弦定理中边

9、的特征有类似' 之处，故可考虑借助余弦定理探求角的联系。略解 2： *.* b2 =a2 +ac,且cosb =a2+c2-b22 2 2cl + c ci cic c clcos b =lac2a即 2acosb = c-a9： a = k sin a.h = esin b.c = ksinc 伙 h 0) 2k sin a cos b = ksinc -k sin a2 sin a cos b = sin(a + b) sin a2sin a cos b = sin a cos b + cos a sin b sin a:.sin a = sin b cos a 一 cos b s

10、in a = sin(b 一 a)同解法1得b = 2a （以下略）思想方法三：由（i ）易得b，= a（a + c） （ ii ）而（ii ）说明b是a与（a + c）的比例中项，故可在aabc的基础上构造恰当 的相似三角形，期望发现其角的内在联系。略解3:由条件等式得=a（a + c）,aa bc如左图，在 abc中，延长cb至点d,使bd=ba,连结ad,b2 = a(a + c) ca2 =cb cd即仝.=竺cb ca zacb=zdca aabcs adac. zbac=zd又易知zabc=2zd/. zabc=2zbac （即 zb=2za）,易得zb=82°。显然，解法1中由（1）式到（2）式用到降次与消元的思想方法。而解法3 则用到数形结合的重要思想方法。解决数学问题是各系统之间的一个复杂而有序的循环往复的过程，它以思维 为主导，知识与方法为主体，在条件系统与目标系统之间，通过信息收集、储存、 筛选、整合、输出，构建有效的解题方案，其基本流程可用框图表示如下：数学问题知识系统条件系统方法系统<-思维系统<结束了目标练习：1、已知直角三角形三