版高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2

1、2.2.2反证法第二章2.2直接证明与间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”思考思考本故事中王戎运用了什么论证思想？答案答案运用了反证法思想.梳理梳理(1)定义：假设原命题 ，经过正确的推理，最后得

2、出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这样的证明方法叫做反证法.(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义、公理、定理、事实1.反证法属于间接证明问题的方法.()2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.()思考辨析 判断正误题型探究类型一用反证法证明否定性命题证明例例1已知a，b，c，dr，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0

3、，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立.所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.(2)用反证法证明数学命题的步骤证明a，b，c成等比数列，b2ac， ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，类型二用反证法证明“至多、至少”类问题证明例例2a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能

4、都大于1.证明证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.证明引申探究引申探究已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于a，b，c都是小于1的正数，1a,1b,1c都是正数.反思与感悟反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两

5、个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q证明跟踪训练跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)

6、20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.类型三用反证法证明唯一性命题证明例例3求证：方程2x3有且只有一个根.证明证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根.下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的.假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则 3, 3，两式相除得 1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾.假设不成立，从而原命题得证.12b22b122bb反思与感悟反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时

7、，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.跟踪训练跟踪训练3若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.证明证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根.因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f().这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.证明达标检测1.证明“在abc中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设a.三角形中至少有一个直角或钝角b.三角形中至少有两个直角或钝角c.三角形中没有直角或钝角d.三角形中三个角都是直

8、角或钝角12345答案123452.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为a.一定是异面直线 b.一定是相交直线c.不可能是平行直线 d.不可能是相交直线解析解析假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.解析答案3.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中a.有一个内角小于60 b.每一个内角都小于60c.有一个内角大于60 d.每一个内角都大于6012345答案4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设a.a不垂直于c b.a，b都不垂直于cc.ab d.a与b相交12345答案证明12345证明证明假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，12345用反证法证题要把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否