工程数学期末复习

1、工程数学期末复习工程数学期末复习一、线性代数部分首页首页上页上页返回返回下页下页1, 行列式要求掌握行列式的概念和基本性质, 会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式11,0,;,0,nikjkknkikjkDija AijDija Aij其中D=|aij|nm首页首页上页上页返回返回下页下页行列式的性质1, |AT|=|A|2,如有零行(列)则行列式为03, 交换两行使行列式变号4,若有两行(列)相同则行列式为零5,数k乘某行(列)相当于行列式乘k6,若有两行(列)成比例则行列式为零7,数k乘某行(列)加到另一行(列),行列式值不变8,上(下)三角行列式的值等于对角线值相乘首页

2、首页上页上页返回返回下页下页2, 矩阵内容:矩阵的概念, 矩阵的线性运算, 矩阵的乘法, 方阵的幂, 方阵乘积的行列式, 矩阵的转置, 逆矩阵的概念和性质, 矩阵可逆的充分必要条件, 伴随矩阵, 矩阵的初等变换, 初等矩阵, 矩阵的秩, 矩阵的等价, 分块矩阵及其运算首页首页上页上页返回返回下页下页要求:1,理解矩阵的概念, 了解单位矩阵, 数量矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵, 以及它们的性质.2,掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置, 以及它们的运算规律, 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式性质.3, 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质, 以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概

3、念, 会用伴随矩阵求逆矩阵.首页首页上页上页返回返回下页下页4, 理解矩阵初等变换的概念, 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念, 理解矩阵的秩的概念, 掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.这里尤其要掌握用初等行变换将矩阵变换为阶梯矩阵和行最简矩阵的技术.5, 了解分块矩阵及其运算. 包括分块对角阵首页首页上页上页返回返回下页下页求矩阵A的逆的三种方法:(1) 公式法:*1|AAA(2) 行初等变换法:)()(1AEEA初等行变换(3) 定义法: AB=E(BA=E), 则A1=B首页首页上页上页返回返回下页下页可逆矩阵的等价命题(判别可逆的方法):Ann可逆|A|0r(A)=nA的n个列(

4、行)线性无关齐次线性方程组Ax=0仅有零解A的n个特征值皆非零首页首页上页上页返回返回下页下页矩阵秩的等式与不等式(1) r(A)=r(AT)=r(kA), k为非零数.(2) r(A)=r(PAQ)=r(PA)=r(AQ), P,Q均为可逆矩阵(3) r(Amn)min(m,n), r(AB)minr(A),r(B).(4) r(A+B)r(A)+r(B).首页首页上页上页返回返回下页下页3, 向量内容:向量的概念, 向量的线性组合和线性表示, 向量组的线性相关与线性无关, 向量组的极大线性无关组, 等价向量组, 向量组的秩, 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系, 向量空间以及相关概念, 向量的

5、内积, 线性无关向量组的正交规范化方法, 规范正交基, 正交矩阵及其性质.首页首页上页上页返回返回下页下页要求(1) 理解n维向量, 向量的线性组合与线性表示的概念.(2) 理解向量组线性相关, 线性无关的概念, 掌握向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法.(3) 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大线性无关组及秩.(4) 了解向量组等价的概念, 了解矩阵的秩与其行(列)向量组的关系.首页首页上页上页返回返回下页下页(5) 了解n维向量空间, 子空间, 基底, 维数, 坐标等概念.(6) 了解内积的概念, 掌握线性无关的向量组正交规范化的施密特方法.(7) 了

6、解规范正交基, 正交矩阵的概念, 以及它们的性质.首页首页上页上页返回返回下页下页首页首页上页上页返回返回下页下页首页首页上页上页返回返回下页下页一些主要结论(1) a a1,a a2,a am线性相关至少有一个向量是其余向量的线性表示.(2) 若向量组a a1,a a2,a ar可由b b1,b b2,b bs线性表示, 且rs, 则a a1,a a2,a ar线性相关.(3) 向量组(I)可由向量组(II)线性表示, 则秩(I)秩(II).(4) 两个等价的向量组的秩相等.(5) 矩阵A的秩等于A的列(行)秩.首页首页上页上页返回返回下页下页(6) 向量组a a1,a a2,a ar可由b

7、 b1,b b2,b bs线性表示的充分必要条件是存在矩阵K使得(a a1,a a2,a ar)=(b b1,b b2,b bs)K首页首页上页上页返回返回下页下页4, 线性方程组内容线性方程组的克拉默法则, 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件, 线性方程组解的性质和解的结构, 齐次线性方程组的基础解系和通解, 解空间, 非齐次线性方程组的通解首页首页上页上页返回返回下页下页要求1, 会用克拉默法则.2, 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件3, 理解齐次线性方程组的基础解系, 通解及解空间的概念, 掌握齐次线性方

8、程组的基础解系和通解的求法.4, 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的求法5, 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法首页首页上页上页返回返回下页下页(1) 齐次线性方程组AX=0仅有零解r(A)=n;有非零解(无穷多解)r(A)n.解空间S(A)的维数为dimS(A)=nr(A),即AX=0的基础解系有nr(A)个解向量.首页首页上页上页返回返回下页下页(2) 非齐次线性方程组AX=b b有解r(A)=r(A | b b)b b是A的n个列的线性表示.(3) AX=b b有唯一解r(A)=r(A | b b)=n;有无穷多解r(A)=r(A | b b)n.通解X=g g0+h h, 其中h

9、h表示对应齐次方程组AX=0的通解, g g0是AX=b b的一个特解.(4) 若g g1,g g2是AX=b b的任意两个解, 则g g1g g2是AX=0的解首页首页上页上页返回返回下页下页5, 矩阵的特征值和特征向量内容矩阵的特征值和特征向量的概念, 性质, 相似矩阵的概念及性质, 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵, 实对称矩阵的特征值, 特征向量及相似对角矩阵.首页首页上页上页返回返回下页下页要求1, 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 会求矩阵的特征值和特征向量.2, 理解相似矩阵的概念, 性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件, 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3

10、, 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.首页首页上页上页返回返回下页下页(1) 特征值公式特征值公式: 设设l l1,l l2,l ln为矩阵为矩阵A的的n个特征值个特征值.|A|=l l1l l2l lntrA=a11+a22+ann=l l1+l l2+l ln(2) A可逆可逆A的的n个特征值非零个特征值非零.A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的.实对称矩阵的特征值皆为实数, 不同特征值对应的特征向量是正交的.首页首页上页上页返回返回下页下页(3)设设f(x)=a0+a1x+amxm为为x的的m次多项式次多项式. 记记f(A)=a0E+a1A+amAm为矩阵为矩阵A的多的多项式

11、项式. 若若l l是是A的特征值的特征值, 则则f(l l)是是f(A)的的特征值特征值.(4)若若A为可逆矩阵为可逆矩阵, 则则: 设设A的特征值为的特征值为l l, 则则A-1有特征值有特征值 1/ l lA*有特征值有特征值 |A|/ l. l.首页首页上页上页返回返回下页下页(3) 相似矩阵的公式:设P1AP=B, 则|lEA|=|lEB|A|=|B|r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)Ak=PBkP1首页首页上页上页返回返回下页下页(4)A可对角化的结论:A有n个线性无关的特征向量A相似于对角矩阵实对称矩阵A秩(liEA)=nkiA有n个相异的特征值A的每个ki重特征值li有ki

12、个线性无关的特征向量(liEA)X=0有ki个无关解二、概率论部分首页首页上页上页返回返回下页下页1,随机事件和概率内容随机事件与基本空间, 事件的关系与运算,概率的概念, 概率的基本性质, 古典型概率, 几何型概率, 条件概率, 概率的基本公式, 事件的独立性, 独立重复试验首页首页上页上页返回返回下页下页要求(1)了解样本空间(基本事件空间)的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系及运算.(2) 理解概率, 条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式, 减法公式, 乘法公式, 全概率公式和贝叶斯公式.(3) 理解事件独立性的概念, 掌握

13、用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念, 掌握计算有关事件概率的方法首页首页上页上页返回返回下页下页2, 随机变量及其分布内容随机变量, 随机变量的分布函数的概念及其性质, 离散型随机变量的概率分布, 连续型随机变量的概率密度, 常见的随机变量的分布, 随机变量函数的分布首页首页上页上页返回返回下页下页要求(1) 理解随机变量及其分布的概念; 理解分布函数F(x)=PXx (x+)的概念及性质; 会计算与随机变量相联系的事件的概率.(2) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念, 掌握0-1分布, 二项分布, 泊松分布及其应用.首页首页上页上页返回返回下页下页(3) 理解连续型随机变量

14、及其概率密度的概念, 掌握均匀分布, 正态分布N(m,s2)(4) 会求随机变量函数的分布.首页首页上页上页返回返回下页下页3, 二维随机变量及其分布内容二维随机变量及其概率分布, 二维离散型随机变量的概率分布, 边缘分布和条件分布, 二维连续型随机变量的概率密度, 边缘密度, 随机变量的独立性和不相关性, 常用二维随机变量的分布, 两个随机变量简单函数的分布首页首页上页上页返回返回下页下页要求(1) 理解二维随机变量的概念, 理解二维随机变量的分布的概念和性质, 理解二维离形型随机变量的概率分布,边缘分布, 理解二维连续型随机变量的概率密度, 边缘密度. 会求与二维随机变量相关事件的概率.(2) 理解随机变量的独立性及不相关概念, 掌握离散型和连续型随机变量独立的条件.首页首页上页上页返回返回下页下页(3) 掌握二维均匀分布, 了解二