函数求导法则最新课件

1、第二节第二节 函数求导法则函数求导法则 直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则则, 就能比较方便地求出初等函数的导数就能比较方便地求出初等函数的导数. 一、函数和、差、积、商的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则二、反函数求导法则二、反函数求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、初等函数的导数四、初等函数的导数一、函数和、差、积、商的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则 定理定理1 设函数设函数 u = u (x) 及及 v =

2、 v (x) 都在点都在点 x 处处可导可导, 那么那么 它们的和、差、积、商在它们的和、差、积、商在x 处也可导处也可导, u (x) v (x) 在点在点 x 处也具有导数处也具有导数, 且且 （2）u (x) v (x) = u (x) v (x) + u (x) v (x) （1）u (x) v (x) = u (x) v (x) ； 2( )( ) ( )( ) ( ).( )( )u xu x v xu x v xv xvx（3）【v (x) 0】证证（3）取得增量取得增量 u, v, 函数函数 也取得增量也取得增量 ( )( )u xyv x,()uuuv uu vyvvvv v

3、v 00limlim()xxuvvuyxxyxv vv 故2( ) ( )( ) ( ).( )u x v xu x v xvx除法求导法则可简单地表示为除法求导法则可简单地表示为 2.uu vuvvv当当 x 取增量取增量 x 时时, 函数函数 u (x), v (x) 分别分别乘积求导法则可简单地表示为乘积求导法则可简单地表示为 (uv) = u v + uv . 推论推论1 设设 u (x) 在点在点 x 处可导处可导, C 为常数为常数, 则则 (C u) = Cu . 推论推论2 设设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在点在点 x 处处均可导均可导,

4、则则 (uvw) = u vw + uv w + uvw . 例例1 y = x 4 + sinx ln3, 求求 y .解解 y = (x 4) + (sinx) + (ln3) = 4x 3 + cosx . = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx. 例例2 y = e x(sinx + cosx), 求求 y . 解解 y = (e x) (sinx + cosx) + e x (sinx + cosx) 22cossin( )cossincossinxxf xxxxx解解( )sincos ,fxxx sincos1.222

5、f 例例3 cos2( ),.cossin2xf xfxx求求例例4 y = 2sinxcosx lnx, 求求 y . 2(sin ) cos lnsin (cos ) lnsin cos (ln ) yxxxxxxxxx解解2212coslnsinlnsin cosxxxxxxxsin22cos2ln.xxxx例例5 y = tanx, 求求 y . sin(tan )cosxyxx解解2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx22222cossin1sec.coscosxxxxx即即 (tanx) = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式这就是正切函数的求导公式. 类

6、似地可求余切函数的求导公式类似地可求余切函数的求导公式 (cotx) = csc 2x.例例6 y = secx, 求求 y . 21(cos )(sec )coscosxyxxx解解2sinsec tan ,cosxxxx即即 (secx) = secxtanx. 这就是正割函数的求导公式这就是正割函数的求导公式. 类似地可求余割函数的求导公式类似地可求余割函数的求导公式 (cscx) = cscxcotx. 二、反函数的求导公式二、反函数的求导公式 定理定理2 设函数设函数 在区间在区间 I y 上单调、上单调、可导可导, 且且 , 则它的反函数则它的反函数 y = f (x) 在对在对应

7、区间应区间 I x 上也单调、可导上也单调、可导, 且且 0)( y)(yx)(1)(xxf 简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数于零）的倒数.任取任取 x I x , 给给 x 以增量以增量, 由由 y = f (x) 的的因为因为 y = f (x)连续连续, 故故，从而，从而 单调性可知单调性可知 y = f (x + x) - f (x) 0, 于是于是证证yxxy1, 0lim0yx0)( y又又xyxfx0lim)(yxy1lim0)(1y1例例7. 求函数求函数解解:,arcsin xy 则则,sin yx , )2

8、,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得 )(arccosx211x, 则则0cosyxyarcsinxyarctan为函数为函数yy2sec)(tan内连续可导。，在22tanyx)0(sec2y)(arctanxytan1y2sec1y2tan11211x类似可求得类似可求得211)arccot(xx解：解：的反函数。的反函数。yxtan例例8. 求函数求函数xyarctan解：解：, )1,0(logaaxya则则),0(,yaxy)(logxa)(1ya 1aaylnxx1)ln(特别当特别当ea时时,例例9. 求函数求函数, )1,0

9、(logaaxyaaxln1 )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaxxaln1)(log小结小结:xx1)ln(三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 定理定理3 设函数设函数 u = g (x) 在点在点 x 处可导处可导, 函数函数 y = f (u) 在点在点 u = g (x) 处可导处可导, 则复合函数则复合函数 y = f (g(x)在点在点 x 处可导处可导, 且其导数为且其导数为 ( )( ).dydydy duf ug xdxdxdu dx或或设设 x 取增量取增量 x, 则则 u 取得相应的增

10、量取得相应的增量 u, .yyuxux因为因为 u = g (x) 可导可导, 则必连续则必连续, 所以所以 x 0 时时, 000limlimlim,( )( ). 即即xuxyyudyf ug xxuxdx当当 u = 0时时, 可以证明上述公式仍然成立可以证明上述公式仍然成立. 从而从而 y 取得相应的增量取得相应的增量 y , 即即 u = g(x + x) g(x), y = f (u + u) f (u). u 0, 因此因此 当当 u 0时时, 有有证证中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设设 y = f (u), u = g

11、(v), v = h(x)都是可导函数都是可导函数, 则复则复合函数合函数 y = f (g(h(x) 对对 x 的导数为的导数为 ( )( )( ).dydydy du dvf ug vh xdxdxdu dv dx或或公式表明公式表明, 复合函数的导数等于复合函数对复合函数的导数等于复合函数对例例10 y = lnsinx, 求求 y . 解解 设设 y = lnu, u = sinx, 则则 (ln ) (sin )yux例例11 22cos,.1xyyx求求解解 设设 22,sin ,1xdyuuxdu 而而2222222(1)222(1),(1)(1)duxxxxdxxx222222

12、22(1)2(1)2sinsin.(1)(1)1dyxxxudxxxx 1sincoscot .cosxxxux 熟练之后熟练之后, 计算时可以不写出中间变量计算时可以不写出中间变量, 而直而直接写出结果接写出结果. 例例12 321 2,.yxy求求12222331(1 2) (1 2)(1 2)3解解 yxxx例例13 1sin,.xyey求求11sinsin1()(sin)xxyeex解解1sin11cos( )xexx2234.3 (1 2)xx1sin211cos. xexx例例14 y = lncos(e x), 求求 y . 1cos()cos()xxyee解解1 sin() (

13、)tan().cos()xxxxxeeeee 例例15 3sin (5 )1,.yxy求求1133221sin (5 ) 1 sin (5 ) 1 sin(5 ) 12yxxx解解2313sin (5 ) cos(5 ) (5 )2 sin (5 ) 1xxxx2315sin (5 ) cos(5 ).2 sin (5 ) 1xxx2313sin (5 ) sin(5 )2 sin (5 ) 1xxx 例例16 设设 x 0, 证明幂函数的导数公式证明幂函数的导数公式 (x ) = x - -1. 证证)()(lnxexxeln)ln(xxx1x,sincos1ln3xxy.y求解：解：sin

14、lncos1ln31xxysincoscos1sin31xxxxy)cos1 (sin3cos1xxxxcsc31例例17 设设,sin2xfy 解：解： 设设 xuufy2sin xufy2sin xxufcossin2 xuf2sin例例18 设设xxf2sinsin2)(uf.y其中函数其中函数可导，求可导，求四、初等函数的导数四、初等函数的导数 1. 基本导数公式基本导数公式 (1) (C) = 0;(2) (x ) = x -1;(3) (sinx) = cosx;(4) (cosx) = sinx;(5) (tanx) = sec2x;(6) (cotx) = - csc2x;(7

15、) (secx) = secx tanx;(8) (cscx) = - cscxcotx;(9) (e x) = e x;(10) (a x) = a x lna; 1(11) (ln );xx 21(14) (arccos );1xx 1(12) (log);lnaxxa 21(13) (arcsin );1xx 21(15) (arctan );1xx 21(16) (arccot ).1xx 2. 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 设设 u = u(x), v = v(x) 均可导均可导, 则则(1) (u v) = u v ;(2) (uv) = u v + uv ;(3) (C u) = Cu ; 2(4).uu vuvvv3. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 设设 y = f (u), u = g (x), 且且 f (u), g (x) 均可导均可导, 则则复合函数复合函数 y = f (g(x)的导数为的导数为 ( )( ).