多元函数极值问题探究李开

1、中央民族大学学士论文Bachelor Thesis of Minzu University of China 多元函数极值问题探究An Extremum Exploration of Multivariate Function姓名:李开 学号:0932098年级:09级 院系:理学院 专业:信息与计算科学 指导老师:李成岳 日期:2013/4/24 摘要本文首先介绍了二元函数极值的定义，并运用二元函数的泰勒公式和连续性定理证明了二元函数取极值的必要条件和充分条件，着重讨论了临界条件下判别式等于零的情况，并给出了进一步讨论的方法，之后利用曲面理论引进了二元函数极值问题的几何意义并结合坐标平移法给

2、出了求一些无稳定点的二元函数的极值的方法。本文接着将二元函数推广至多元函数，又结合高等代数中二次型理论及微分几何中曲面第二基本形式理论给出了多元函数极值的定义，必要条件，充分条件和几何意义并予以了证明。本文还介绍了多元函数条件极值的定义，必要条件和充分条件，并引入了拉格朗日乘数法这一求条件极值的有力工具。本文最后给出了多元函数极值理论的一些应用，如最小二乘法，空间距离和不等式的证明以及在实际运用多元函数极值理论求解时的一些注意事项和技巧策略。关键词：泰勒公式 二次型 曲面基本形式 拉格朗日乘数法Abstract Firstly this thesis introduces the defini

3、tion of binary function extremum, proves the necessary and sufficient conditions of the binary function at its extremal point using Taylors formula and continuity theorem, offers a method of further exploration on critical condition where the discriminant equals to zero, explains the geometrical mea

4、ning of binary function extremum based on curved surface theory, and puts forward a method of seeking the extremal point of some binary functions without stationary points using coordinate translation. Secondly this thesis extends binary function extremum to multivariate, introduces its definition,

5、proves its necessary and sufficient conditions at its extremal point, and explains its geometrical meaning combined with the quadratic form theory of advanced algebra and the second fundamental form theory of curved surface of differential geometry. Besides this thesis describes the definition of mu

6、ltivariate function conditional extremum, and introduces Lagrange multiplier method, a useful tool solving conditional extremum problems, when proving its necessary and sufficient conditions. Finally this thesis introduces some applications of multivariate function extremum theory, such as least squ

7、are method, problems concerning spatial distance and inequality proof, and some precautions and strategies when solving problems involved using multivariate function extremum theory.Key words: Taylors Formula, Quadratic Form, the Second Fundamental Form of Curved Surface, Lagrange Multiplier Method正

8、文一、二元函数极值1. 二元函数极值的定义 设二元函数在点的邻域内有定义。若，有（），则称点为函数的极大点（极小点），极大点（极小点）的函数值称为函数的极大值（极小值）。极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。2. 二元函数极值存在的必要条件 若二元函数在点存在两个偏导数，且是函数的极值点，则与。 而由方程组 确定的解（坐标平面上的某些点）称为函数的稳定点。需要指出的是二元函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。3. 二元函数极值存在的充分条件 设二元函数有稳定点，且在点的邻域内存在二阶连续偏导数，令，. .1) 若，则点是函数的极值点： i) ，点是函数的极小点； i

9、i) ，点是函数的极大点。2) 若，则点不是函数的极值点。3) 若，需作进一步的讨论。 证明：已知点是函数的稳定点，则有 与 当与充分小时，讨论的符号，由二元函数泰勒公式 当时，有 由本题中的，则又已知二阶偏导数在点连续，当与时，有于是 其中比是高阶无穷小，因此当与充分小时，的符号由决定。因为和不能同时为零，不妨设（当时，可得得到相同的结论）令，则的符号由的符号决定。由一元二次方程根的判别式，有1） 若判别式，对任意实数，与有相同的符号，即点是函数的极值点：i），有恒成立，即点是函数的极小点；ii），有恒成立，即点是函数的极大点。2） 若判别式，方程有两个不同的实根与，设，在区间内与在外有相反

10、的符号，即点不是函数的极值点。3） 若判别式，不妨设，则，得 I），有恒成立，即点是函数的极小点；ii），有恒成立，即点是函数的极大点；III），由判别式知，则，需对进一步讨论：，有恒成立，即点是函数的极小点；，有恒成立，即点是函数的极大点；，有，此时可令二元函数泰勒公式中的，得由，及，上式可化为可仿照时的证明方法开展下去，作再进一步的讨论。4. 二元函数极值的几何意义二元函数在三维空间坐标系中表示的是一张曲面，而函数在点邻域内的曲面可以看成是过点的所有平行于轴的平面与在点邻域内的曲面相交产生的平面曲线的集合，所以曲面在点邻域内的点也可以看成是在点邻域内的生成的平面曲线上的点。至于函数在点能否

11、取得极值，是由点与其邻域内的点的函数值相比较而决定的。I）当所有过点的生成平面曲线（可看成一元函数）在点都取得极大值时，则函数在点取得极大值；II）当所有过点的生成平面曲线在点都取得极小值时，则函数在点取得极小值；III）当所有过点的生成平面曲线中，有的在点取得极大值，有的在点取得极小值，或在点不取极值时，则函数在点不取极值。可以得出用该方法求二元函数极值的步骤：1）由 求出驻点或偏导不存在的点；2）作坐标平移变换，其中为新坐标系中的点，新坐标系中的原点为原坐标系中的点，记为，则原二元函数变为；3）设（为任意常数），此方程在原坐标系中表示经过点且平行于轴的平面簇，而在新坐标系中表示过轴的平面簇

12、，进而得到平面簇的函数表达式： 得，即自变量为的一元函数，利用一元函数求极值的方法求出极值，由于在坐标平移中，即得出原函数的极值。二、多元函数极值 1. 多元函数极值的定义设函数定义在集合上，如果对于的内点，存在邻域，对于任意时，有（），则称函数在的内点有局部极大值（局部极小值）。 如果对于任意有严格不等式（），则称函数在点有严格局部极大值（严格局部极小值）。函数的局部极大值与局部极小值统称为函数的极值。2. 多元函数极值存在的必要条件设函数定义在点的邻域上，并且它在点关于每个变量存在偏导数。如果函数在点有局部极值，则有 证明：考虑仅一个变量的函数，由定理条件知，它在实轴上的点上的某个邻域内有

13、定义，并且在点上有局部极值，因此 类似地可以证明其余等式。称向量为函数在点的梯度，记为，若该点的梯度为零（）则点为函数的稳定点。需要指出的是函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。3. 多元函数极值存在的充分条件我们首先说明一下多元函数的泰勒公式，如果函数在点的邻域上有定义，并且属于函数类，而，则有证明：从单变量函数的泰勒公式入手，考虑辅助函数，由已知条件知其定义在闭区间上并且属于，则其在点的泰勒公式为 又由归纳法可知则令时得令时，得 将函数用函数替换即可得证。再来设是定义在点的邻域上且属于的函数，点是函数的稳定点，称矩阵为函数在点的矩阵，则1） 当为正定矩阵时，点是函数的局部极小值

14、点；2） 当为负定矩阵时，点是函数的局部极大值点；3） 当为不定矩阵时，需进一步讨论。证明：设且，讨论的符号，由多元函数的泰勒公式当时又知点是函数的稳定点，则，即可得又知二阶偏导数在点连续，则可看出当时，符号完全由二次型的符号决定，我们对它进行研究令函数，它是定义在单位球面上的连续有界函数，又因为球面是中的有界闭集，于是函数上可以取得最小值和最大值。1）如果为正定矩阵，那么有，即恒为正，恒成立，点是函数的局部极小值点；2）如果为负定矩阵，那么有，即恒为负，恒成立，点是函数的局部极大值点；3）如果为不定矩阵，不妨设I）当有时，设，是单位球面上的点，。令，其中充分小，使得，从而其中，当时，则，于是

15、的符号与的符号相同，为负；类似地，亦可令，其中充分小，使得，从而其中，当时，则，于是的符号与的符号相同，为正。即函数在点的任意小邻域内既可以找到函数值大于的点，又可以找到函数值小于的点，故点不是函数的局部极值点。II）当有，设是单位球面上的任意点，。令，其中充分小，使得，从而其中，当时，则，于是的符号与的符号相同，为非正，即恒成立，点是函数的局部极大值点；III）当有，设是单位球面上的任意点，。令，其中充分小，使得，从而其中，当时，则，于是的符号与的符号相同，为非负，即恒成立，点是函数的局部极小值点；IV）当有时，即。再次考虑多元函数的泰勒公式，当时，有即为 又知，及得可仿照的证明方法开展下去

16、，作进一步的讨论。4. 多元函数极值的几何意义首先说明一下曲面的第二基本形式，设曲面，在点的切平面为，单位法向量为。现在我们计算曲面上点附近一点到的有向距离由向量函数的泰勒公式当时可知令，则近似的可有，即给定点的曲面的第二基本形式近似地等于曲面上该点的邻域内的点到该点的切平面的有向距离的两倍。为了探究函数的极值问题，考虑中超曲面的第二基本形式其中， 其中是中的一组标准正交基则，又知则考虑点是函数的稳定点，即有，则，与共线，即超曲面过点的超切面平行于超曲面。可以令，并规定的方向为正方向，即超曲面上点附近点与过的超切面的有向距离在超曲面向正侧弯曲时为正，反之为负。则在点处超曲面的第二基本形式为由曲

17、面第二基本形式的几何意义可知，超曲面在点邻域内的点到过的超切面的距离为，可对函数在点的矩阵进行讨论1）当且为半正定时，即存在点的某个邻域使超曲面在过点的超切面的上方，即超曲面在点取得极小值，点亦是函数的极小值点；2）当且为半负定时，即存在点的某个邻域使超曲面在过点的超切面的下方，即超曲面在点取得极大值，点亦是函数的极大值点；3）当为不定时，的符号亦不定，即在点的任意小邻域内，超曲面有一部分点在过点的超切面的上方，有一部分点在过点的超切面的下方，即超曲面在点不取极值，则点亦不是函数的极值点；4）当时，即超曲面在点有，此时可取超曲面的第二基本形式为而，可仿照的方法作进一步的讨论。三、有约束条件下的

18、多元函数极值问题 1. 条件极值的定义设是定义在开集上且属于类的函数，是用变量方程组表示的中的约束条件，其中，如果存在上满足变量方程组的约束条件下的内点的任意小邻域，即（其中是在中的任意小邻域），如果对于任意时有（），则称函数在的内点有满足约束条件的局部极大值（局部极小值）；如果对于任意有严格不等式（），则称函数在点有满足约束条件的严格局部极大值（严格局部极小值）。从几何观点来看就是函数在曲面上的极值，更精确些说，就是函数在曲面的限制下的函数的极值。2. 条件极值的必要条件首先说明一个定理，设是定义在开集上且属于类的函数，是中的光滑曲面且是的非极值点，如果是函数的局部极值点，则有，其中是曲面在

19、的切空间，而是曲面在的切空间。证明：取任意向量及曲面上的一条光滑曲线且满足和。如果是函数的极值点，则光滑函数当时应当有极值，由极值必要条件知它在时的导数为零，即满足条件，其中，由于是函数的非极值点，上式即为切空间的方程，可知，得证。如果曲面在点的邻域内用方程组来表示，那么空间可以用线性方程组来表示，而空间可以用方程来表示，则与关系式等价的解析写法是：向量是向量的线性组合，即，该公式即为函数在点取极值的必要条件。拉格朗日在寻求条件极值时，引入了个变量的辅助函数，把求函数极值的必要条件转化为了对函数求极值的必要条件 当向量组在任意的点上均线性无关且函数的极值点为时，由上述方程可知变量的值唯一确定，

20、即得求条件极值的拉格朗日乘数法。 3. 条件极值的充分条件设是定义在开集上且属于类的函数，是用方程组表示的中的曲面，其中且函数组在区域中的任意一点的秩等于。设拉格朗日函数其中参数已根据函数在点取极值的必要条件而选定。令，其中1）如果对任意向量是半正定的，则点是函数的局部极小值点；2）如果对任意向量是半负定的，则点是函数的局部极大值点；3）如果对任意向量是不定的，则点不是函数的局部极值点；4）如果，需作进一步讨论证明：首先注意到对于，因此要证明点是函数的极值点，需证明点是函数的极值点。由于函数在点满足取极值的必要条件，即有，这意味着函数在点邻域内的泰勒公式为 又由空间中曲面理论知存在光滑映射其中

21、可以将该映射写为，它把点的邻域双方单值地映成点的某个邻域且，则有关系式等价于其中，则有 而对于向量，可设，由此知向量在点与相切，记，则，可知二次型1)如果对任意向量是半正定的，则恒成立，点是函数的局部极小值点，由于映射把点的某个邻域变到曲面上点的某个邻域，可知点是函数的局部极小值点，进而是函数的局部极小值点；2)如果对任意向量是半负定的，则恒成立，点是函数的局部极大值点，同理可知点是函数的局部极大值点，进而是函数的局部极大值点；3)如果为不定的，则的符号无法确定，点不是函数的局部极值点，同理可知点亦不是函数的局部极值点，进而也不是函数的局部极值点；4)如果，即，此时函数在点邻域内的泰勒公式为可

22、考虑的符号，仿照以上证明方法作进一步的讨论。四、函数极值问题的应用 1. 最小二乘法二元函数极值理论最经典的应用当属于最小二乘法，我们对最小二乘法予以说明。经过实测得到个数对，其中是在测得的值。在坐标平面上这个数对对应个点，设它们大体分布在一条直线附近。求一条直线，使其在总体上与这个点的接近程度最好。将点的坐标代入直线方程中，设，称是点到直线的偏差。易知若点在直线上，则偏差；若点不在直线上，则偏差。此时可能是正数也可能是负数。为了消除符号影响，考虑。于是偏差平方和的大小，即 的大小在总体上刻画了这个点与直线的接近程度。为了使其接近程度最好，也就是求以与为自变量的函数的最小值。求函数最小值确定与

23、（从而确定直线方程）的方法叫做最小二乘法。解：函数的定义域是，解方程组 即 得唯一稳定点： 根据问题的实际意义，二元函数在内必存在最小值，又知其只有一个稳定点。因此二元函数必在该稳定点取得最小值，得欲求直线方程。亦可采用本文已经说明的二元函数极值存在的充分条件理论予以验证：，则 即，从而，唯一的稳定点是函数的极小值点。于是函数在稳定点取最小值，即欲求直线方程是。2. 二元函数极值的几何探讨应用二元函数极值理论求极值的关键是求得这个二元函数的极值点，而针对一些不存在极值点的二元函数，该理论就束手无策了，此时我们可以考虑用本文已经讨论过的求二元函数极值的几何方法，笔者举了一个简单的例子以说明该方法

24、是行之有效的，希望读者可以在具体的求解过程中将此方法应用并推广。例如求二元函数在中的极值解：解方程组 得出偏导不存在的点，作坐标变换 则原函数变为，原函数中的点变为新函数中的点设方程（为任意常数）表示过轴的平面，代入方程中得当时，；当时，由一元函数极值判定定理知点是函数的局部极小值点，且极小值为0，即函数在点取得极小值0，故函数在点取得极小值0。函数极值的几何意义有很多应用，笔者举一例以说明用它可以求得空间中点到直线的距离公式。求三维欧式空间的一点到平面的距离.解：设平面上任意一点.此题就是求函数在约束条件下的最小值。由于和的极值点相同，可以讨论函数的极值点，根据拉格朗日乘数法，作辅助函数 解

25、得 于是只有唯一一组解，其中 显然这个问题存在最小值。因此函数在点必取最小值，将此点的坐标带入中，得最小值 于是点到平面的距离是3. 多元函数极值问题的实际求解我们首先来看函数在由关系式定义在椭球面上的极值。解：写出拉格朗日函数，根据极值必要条件求出方程，亦即的解二次型 对于每个稳定点在相应的切平面上分别有 因为，根据给出条件极值存在性和不存在性的充分条件定理可知，在点和分别有和，而在点，函数没有极值。由此题我们可以知道在应用多元函数条件极值存在的充分条件时，应当充分利用条件,写出带有的解析式，并把向量的个坐标用其余的个独立坐标线性表示出来，最后带入二次型,利用西尔维斯特准则得到它的正定性，进

26、而可以判定函数在该点是极大值点，极小值点，抑或无极值点。再来看惠更斯问题，即在和两正数间插入个数，使得分数的值是最大。解：记，设，并记，则有，.又记，则有，令得方程组，解之得稳定点，其中.在点，有 故函数在点取得极小值，从而函数在 即数构成有公比的几何级数时，其值最大，并且的最大值为.本题中为了进一步确定点是否函数的极值点，利用了的解析式，并判定了它的符号为正，进而得出点是函数的极小值点，由多元函数微分形式的不变性可知，这种方法与本文已经讨论的多元函数条件极值的充分条件的判定方法实质上是等价的。4. 一些著名不等式的证明考虑证明赫尔德不等式和哈达玛不等式。证明赫尔德不等式,其中,而.证明：可以

27、考虑函数在约束条件下的最大值，用拉格朗日乘数法 解得 而，从而知在点取得极大值，极大值为亦即,可令,代入得，亦即，则赫尔德不等式得证。证明哈达玛不等式，对于阶行列式有.证明：令，考虑行列式在约束条件下的极值，由拉格朗日乘数法 解得则当时，有，即矩阵的任意两行正交，则有此时有,而,因而，带入得证哈达玛不等式。由以上两个著名不等式的证明过程我们可以发现，用多元函数的条件极值问题求解方法有时可以另辟蹊径，化繁为简，创造性地完成证明过程。总结多元函数极值问题在现实的社会科学、工程技术和工农业生产中涉及最优化问题时也有很广泛的应用，例如在一定的消费水平下，消费者如何在不同的商品之间选择使自己得到的效用最大；在给定的各种原材料价格给定的情况下，施工队如何合理运用各种原材料修建一条公路而使造价最少,在一定的人力物力条件下，生厂商如何安排几种商品的生产才能使利润达到最大化等等，所有这些问题其实质就是多个变量在一定约束条件下实现目标最优化的运筹问题，其实质就是多