高中数学模块教学研究

1、高中数学模块教学研究各位老师，大家好，我们整个研修的主题就是关于模块教学研究，今天我想从这 样一个角度，来和老师们一起讨论，我们怎么样使得我们的模块教学效率更好。 那么，我今天报告的题fi是：整体把握数学课程与模块教学。整个这个报告，想 分成三个部分：一、整体把握数学课程。从几个角度给大家捉供一个建议，希望大家从这样几个 角度来思考，怎样整体把握模块课程。二、整体把握课程与模块教学。我们要讨论整体把握与模块教学的关系。三、模块教学应该注意的几个问题。我想要解决模块教学的问题，建议老师需要 跳出模块，然后从上来看待我们这些模块的内容，它们z间的关系以及重点。这 样我们才有可能比较好地、比较全面地

2、掌握一个模块在整个数学课程中的基本定 位和一个基木呈现方式，才有可能帮助我们看出每个模块的重点是什么，还有哪 些重点内容学生学习起来是比较困难的，我们需耍额外的重视。一、整体把握数学课程我们只有对于我们整个数学课程的整体有一个比较完整的把握，才能使我们 对于每一个模块的内容有一个准确地、清晰地认识。怎样把握数学课程？()三个基本维度1. 数学的维度对于老师來说，我们要清楚教学是什么，才可能更好地进行教学。我们要有一个数学的整体把握，这对于老师来说是非常重要的。只有清楚数学上 每个模块的整休是什么样子，才有可能比较好的把握每一个模块所呈现出来的、 所要求的数学是什么样了。2. 教育的维度学生的学

3、习态度、学习习惯、学习热情都是我们更关注的目标。教育的角度是多方面的。比如，学生从初小进入的学习，学习态度、学习习惯、 学习热情，都应该成为关注的具休目标。乂如，在教学上，有很多教学内容，概 念教学、技能教学、活动教学、复习教学，所有这些教学我们老师应该赋予它们 个人的追求。比如，依托与概念，就希望学生能更好地理解：怎么样更好地把握 一个概念，怎么样理解这个概念在数学中所起的作用。所以，教育上整体把握对 老师来说也是非常重要的。在这从教育的角度，特别希望或者建议老师是否关注 这样的事情：从学会数学到会学数学。3学生的维度“学生是主体”要落实在教学的每一个环节。怎样成为受学生欢迎的老师？怎样激发

4、学生的学习兴趣和学习热情？怎样教会 学牛从学会数学到会学数学？在不增加学牛的负担和吋间的前提下，怎样发掘更 适合每个学生的学习兴趣？这些都是我们整体把握的一个内容。但是今天我们要 有所侧重，今天报告的重点是从数学的角度来讨论怎样完整的把握数学课程。关 于如何整体把握数学课程，我已经介绍了三个角度。下而希望我们的老师能从大 学数学来认识高中数学。（二）从大学数学的角度来认识高中数学首先一起来冋想下，大学所学过的数学课程的一个简单分类，这样能使我们对大 学数学有一个比较好的认识。大学数学课程分类：1. 以函数为主要研究对彖的数学课程数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、数值分析、泛

5、函分 析这些课程有一个共同的特点：都是以研究函数为主要目标的数学课程。从这样一 个分类，我们可以认为：函数是数学中最重要的最主要的一个内容。2. 以运算为主要研究对彖的数学课程高等代数、抽象代数、群论这些是围绕着代数的课程，这类课程冇什么基本的特点呢？可以说它们都是代数 课程，这类代数课程所关注的核心东西是什么呢？它们所关注的核心东西就是运 算，都是围绕着不同的运算对象、不同的运算方式，就是通常所说的代数结构和 制定不同的运算法则，以及它们和其他数学之间的内在联系。所以，从这一类课 程里。我们可以得出一个结论：运算是数学里非常重要的事情，所以要关注运算。3. 以图形为主要研究对象的数学课程解析

6、几何、摄影几何、高等几何、微分几何、微分流形、各种拓扑学这一系列课程大家都清楚，是从不同的角度、用不同的方法来研究图形，所以我 们统称为儿何课程。儿何课程的核心就是研究图形的课程，我们得出来的结论就 是：图形是我们数学要关注的一个主要内容、一个重要内容。在人学学习中，右一类越來越重要的课程，就是统计和概率，这是所冇数学系都 需要学习的课程，并且现在有逐渐拓展的趋势。在非数学系，统计课程就显得更 为重要了。人民大学有70%以上的院系都要开设统计课程，所以我们可以说：统 计和概率是数学一个非常重要的东西。那么它们重要在哪呢？它们的研究对象是什么呢？我想一个是数据，一个是随机 现象。所以，数据是重要

7、的，随机现象是重耍的。我们应该了解到它们在整个数 学发展中的作用。另外在大学的数学中，我们要学习数学建模、数学实验、运筹学、经济学、经济 数学、金融数学等等，一系列用数学来解决其他学科问题的数学课程，我们统称 为应用类课程。所以我们应该清楚认识到：应用在数学是重要的。此外在我们数学系里，越来越重视计算机与数学的整合，那么与计算机有关的课 程，最核心的东西是算法，所以我们可以看出：算法在整个数学课程中占冇重要 地位。因为我们需要借助于计算机来帮助我们数学解决很多很多的问题，因此， 我们应该要认识到算法类课程或算法是数学中应关注的重点内容。综上所述，可以得出：函数是重要的，运算是重要的，图形是重要

8、的，儿何是重 耍的，统计概率是重耍的，应用是重耍的，算法是重耍的。通过这样对于人学数学课程的回顾，我们老师再來看待我们高中的数学课程，我 们就会有一个新的、更深刻的认识。我们在构架高中数学框架的时候，就耍凸显 这些内容。（三）对义务教育数学课程标准的认识和理解整体把握数学课程，另外一个很重要的方面，就是对于义务教育数学课程的认识 和理解，希望高中的老师对于初中的数学课程，有一个基本的了解。当学生在高 小的数学学习小，出了某些问题的时候，我们应该清楚这些问题到底出在哪？是 要求得过高了还是学生就初屮的一些基本的东西掌握得不太好呢？这样的一个 了解，对于提高我们高中的学习效率，对于提高我们模块教学

9、的效率，是非常重 耍的。我们不能从我们认为学生应该达到什么标准去指导我们学生的学习，而是 应该从学生的实际出发，从义务教育数学课程标准的实际出发，来认识学生需要 掌握到什么程度。所以希望高小数学老师应该思路开阔，应该认真的去了解义务 教育数学课程标准的基本情况和一些主要变化，这对我们上好高中的课程是菲常 重要的，所以我想简单地把义务教育数学课程标准的内容结构作一个简单的介 绍。义务教育的各个学段中，都安排了四个学习领域，分别是：数与代数、图形与几 何、统计与概率、实践与综合应用。这四个领域都是义务教育数学课程的主耍内 容。数与代数是怎样组成的呢？给大家一个思维的方式，建议大家这样认识：数与代

10、数有两个贯穿始终的主要的脉络：（1）数、字母、运算；（2）量、符号、模型。 在小学和初中这个阶段，数、字母、运算是从小学一年级一直到初三，进而一直 渗透到高中，一直是一个重要的基本脉络。另外一个基本脉络量、符号、模型， 这样一个基本脉络也是学生从小学学习数学起，一直到初三，延续到高中。怎样理解数、字母、运算？以下儿个维度是了解数、字母、运算的基木角度。(1) 初小阶段要帮助我们的孩子认识运算对象，认识运算对象的意义，认识运 算对象的來源。最主要的运算对象有两个：数，即通常所说的实数；字母，即通 常所说的字母运算。这是两个最基木也是最主耍的运算对象，我们要从这两个角 度来认识他们的意义。在数里而

11、又包括无理数和有理数，在初屮阶段，冇理数是 最重要的内容，我们对认识无理数的要求并不高。那么这一点需要到大学专门的 学习屮来解决对无理数的认识问题。关于字母的运算，是非常重要的。字母代替 数，给我们带來了巨大的好处，也是从算术到代数过渡的一个标志性的东西。冇 了字母，有了字母的运算，我们就可以得到一系列的讨论。举个简单的例了，因为字母可以代替数，下而介绍的这个模型口" 4»=e , 订和毁都是整数，这样一个二元一次方程，表达了小学的一类问题，就是鸡兔同 笼的问题。止是因为有了字母表达数，我们就可以一类一类的刻画问题，一类一 类的解决问题，一类一类的应用它们去解决英他学科的问

12、题。所以这是字母给我 们带来的好处。(2) 我们耍引入一系列的运算，力口、减、乘、除还有其他的一些运算，所有 这些运算，我们都要了解它们的运算背景，运算的意义，为什么要做这些运算，(3) 我们应了解运算应保持一定的运算法则。为什么需耍这些法则？它们的 实质作用是什么？在义务教育的教学屮都要帮助学生逐渐理解这个事情，所以高 中老师同样应该了解这些事情。运算法则最重要也是最基本的目的，就是要保证 我们运算结果是唯一的。所有的运算法则都是根据这样一个基木要求形成的。(4) 我们要认识到运算的应用。运算可以帮助我们得到一系列的公式，比如 说，和的平方，差的平方的公式，平方羌的公式，都是通过运算得到的，

13、或者都 可以通过运算证明。所以运算是重要的，通过运算我们还可以求解方程，通过运 算我们可以求解不等式，通过运算可以研究函数等等。所以数、字母、运算是贯 穿到义务教育阶段，从小学到中学一个非常重要的一个脉络。另外一个基本脉络，就是量、符号、模型这样一个脉络，也是非常重要的。我们 想通过几个方面来认识我们对这个脉络的认识。(1) 从算术到代数。从小学到初中，经丿力了一个从算术到代数的转换过程。所 以作为一个初中的毕业生来说，不仅应该知道算术的办法，而且应该知道代数的 办法。知道它们相同的地方，也知道它们的差界，这对于高屮老师同样是重要的。(2) 要了解常量模型。常量模型最重要的有两个：一个是方程，

14、一个是不等式。 一定要知道无论是方程还是不等式，并不是出现方程和不等式这样的概念，才出 现了这样的模型，而是我们从小学帮助我们的孩子逐步地形成了这样的模型认 识。所以，一定要在学习这个的过程中，不是仅仅出现了一个名词才出现了这样 的这个数学的概念，而是我们要为这个概念的形成进行大量的准备，直到出现这 个名词，并且逐步加深对这个概念木身的认识。(3) 变量的模型，即函数模型，这也是从小学到初中逐渐形成的过程。(4) 需要帮助学生初步掌握模型的分类，模型的识别，模型的确定。这就是一 个应用的过程，也是一个问题解决的过程。(%1) 高中数学课程的主要脉络下面分析高中数学课程的主要脉络，主要是从数学内

15、容上来分析，这个脉络分为 两个方面：一个是显性的；一个是隐性的。1. 显性脉络：函数、运算、几何、统计与概率。函数的内容充斥了我们高中课程的方方面面，是一个基木的脉络。运算乂是一个 重耍的基木脉络，充斥着高中数学课程的每一个组成部分。千万不耍就内容论内 容，而是应该像华先生告诉我们的：要将书读厚了，也要将书读薄了。华罗庚先 生在指导我们数学学习的时候反复强调这样两件事情。我们学每一个概念，学每 一个具休的知识，运算的知识的时候，一定要考虑这个知识和我们其他的知识有 什么内在的联系。在其他的知识中，在其他的学科中，有什么用处。只有这样一 个考虑，才能把我们的书念厚，才能找到知识与知识之间的内在联

16、系，而不是孤 立地认识某些知识。所以运算也是一个基本的脉络。第三个主要的脉络就是通常 说的几何，几何是高中数学课程中的一个基本脉络，也是主耍脉络，也渗透在高 屮数学的方方面面，学习儿何一方面是认识它本身，一方面要思考图形给我们带 來的好处。一会我们会结合模块的内容再來分析。第四个显性的脉络是统计和概 率，统计和概率也是高中教学中非常重要的内容，虽然它们在整个高中课程中的 作用相对来说窄了一点，但是还是希望老师能从整体上來驾驭，来理解和认识统 计和概率的内容2. 隐性脉络：一个是应用，一个是算法。一个数学内容在其他数学内容中的应用，数学在其他学科中的应用，数学在日常 生活屮的应用，都是我们需要关

17、注的主要内容。我个人觉得，老师对于应用我们 带來的好处，还有待于我们不断加深对这件事情的理解。一定要分析应用给数学 带來的好处，给教育带來的好处，给学生带來的好处。只有了解了每一个概念和 英他概念以及英他知识、内容的联系，才能更好地理解。比如说函数的概念，我 们知道，函数在高中的定义是这样给出的。给定两个实数集合a和b和一个对应 关系，对于集合a中的任何一个元素，通过对应关系f,可以在b小得到唯一的 元索f (x)与之对应，就把这个对应关系称为建立在集合a和b上的一个函数, 这样一个概念，我们知道其中有一个非常重耍的核心词：唯一的y与x对应，为 什么要“唯一”呢？怎么帮助孩子们能够重视这个“唯

18、一” ？当然我们有很多 角度来认识这个问题，从图形的角度，从概念的角度，我也可以从应用的角度来 看。在马路上跑的汽车，每一个吋刻，它和我们的距离是唯一的一个数，不可能 是两个数，速度也是唯一的数，加速度也是唯一的数，我们在日常生活屮大量碰 到的现实都是唯一的东西与我们对应，因此数学又是这一类事物的抽象，一个抽 象，一个概况，一个一般化，我们就要体现这样一个东西。当然，从另外一个角 度，从运算的角度，也可以体会为什么要唯一。给一个数5,给一个数6,按照 加法，有唯一的数11与之对应，这是唯一的，所以唯一的东西无论在数学中还 是实际屮都是非常重要的。因此只有把这些东西和学生一起讨论，才有可能认清

19、这样一个数字的本质是什么，为什么要给出这样一个明确的说法。所以在应用的 时候，一定要知道它对于数学的理解是重要的。教育的理解也是一样的。另外， 应用述可以帮助我们调动学生的学习兴趣和内动力，比如说当让孩子们组织起来 解决一个统计问题的时候，孩子的热情就非常高，有的人甚至运用活动、运用应 用这种方式来进行高考复习，效果就非常好。所以希望老师充分认识到应用的重 要性，这是贯穿在整个高中课程中的基本脉络，虽然是隐性的脉络，但还是希槊 引起老师充分的重视。第二个隐性的脉络是算法，老师在理解算法的时候，一定要有这样一个认识：算 法不仅仅是一个知识，而是能够帮助我们更好地把握高中课程的一个基木的思 维，或

20、者说是一个基本的脉络。也许你教学的顺序是一、二、三、四、五，学了 模块一、二，到了第三模块才学习算法，也可以是一、四、五、二、三，在前四 个模块学完以后再学算法，但是希望老师把算法的思想、算法给我们带来的好处 渗透在还没有学习算法的过程屮。因为算法能够帮助我们准确、清晰、直观地把 一个解决问题的过程表达清楚，而这是数学学习中非常重要的事情，所以千万不 耍认为算法仅仅是教会学生什么是一个具体的算法，什么是框图，什么是我们所 说的顺序结构，什么是分叉结构，什么是我们所说的循坏结构，不仅仅是这些内 容，而是提供了一个程序化的思想去认识问题解决过程的卄常重要的思路。因此 算法绝不仅仅是学习知识，而是作

21、为一种思想，应该贯穿在高中数学学习的自始 至终。就是我反复强调的一件事，不是出了这个名词我们才用这个名词，它作为 一种思想，是渗透在学习的过程中，我们将用这个名词可以史清楚地表述一件事 情。正像我们在小学没有学过函数，但是孩子都会分析路程、速度、时间的关系, 实际上他们所做的就是在用函数的思想分析具体的实际的问题，这样的-种认识 希望老师比较清楚。3. 下面我想用儿何作为例子来和大家一起讨论，这样一个脉络怎样渗透在高中 的自始至终。分成两个部分，一个部分是我们通常所说的几何的内容结构，第二个从几何给我 们带來的好处讲述，在我们的标准中，特别强调空间想象力，强调几何直观，这 不仅仅是几何课程内容

22、中强调的，而月又如是在整个数学中要强调的。我想分两个角度，用儿何作为案例分析一下脉络是怎么形成的。作为儿何课程的 内容是不是可以从这样两个角度来认识，第一个角度是，我们在高中到底耍学习 哪些几何图形，要学习这些几何图形的什么。希望老师对这件事情有完整的了解 和认识。老师的脑子里要构成一个完整的结构图。因为时间的关系我不一一展开, 现提供给老师三个维度或者角度去考虑。对于我们要学的儿何图形进行分类。（1）第一个角度是不同维度的图形。我们有零维的图像就是点，有一维的图形 就是线，有二维的图形就是面，和面上的一些图形，有三维的图形就是体。这是 整体把握图形的一个重要的角度。我们脑子里一定要清楚，比如

23、说要把握哪些三 维的图形，要把握图形的什么，它们在课程小是怎样发挥作用的。比如说我们耍 把握的三维图形包括柱、锥、台、球这四个基本图形以及这些图形组合出来的稍 微复杂一些的图形，这是我们要学习的三维图形，那么我们要学习这些图形的什 么呢？我想非常'重要的是要学习这些图形的基木性质，它们的对称性，度量性， 就是柱、锥、台、球的表面积、体积。另外还要学习这些图形和其他数学内容之 间的关系，比如说长方体。长方体是空间直角坐标系中非常重耍的看得见、摸得 着的、具体的东西，在这样一个图形上就帮助我们形成了一个非常重要的直角坐 标系的概念。这是我们需要搞清楚的。第二个就是平面图形、直线图形，我就不

24、 仔细说了，希望老师有一个完整的了解，当然如果老师愿意，也可以去分析这些 图形在高考中发挥的作用。（2）第二个角度，我们研究的图形有两类，一类是直线图形，或者叫线性图形, 另一类是曲线图形，或者是弯的图形。对这两类图形的认识为我们认识数学又开 辟了一个新的角度。即或在大学，这件事情仍然是很重要的。这里不展开了。（3）第三个角度是基木图形和复合图形，我们要帮助学生在脑子里装入一些最 基本、最重要的图形，让这些图形在整个高中学习中发挥作用。比如说长方体， 比如说直角坐标系，这些都是非常基木和重要的图形，这些图形贯穿在整个高中 学习过程屮。我想认识高屮的所冇图形是整体把握几何课程的一个重要组成部 分

25、。另外一个重要的组成部分是研究图形的基本办法有哪些。希望老师对这一点 有一个比较完整的、比较清晰的认识，千万不要一提几何，脑子里出现的就是欧 式几何，不是说欧式几何或者综合几何不重要，而是希槊老师脑子里冇比较全面 的解决基木图形问题的办法。在高中阶段，解决图形问题的办法有：%1 综合儿何。所谓综合儿何就是综合我们所学过的、了解的概念、定义和公理、 定理、推理的法则得到一些新结果，这样一种研究方式我们通常称z为综合儿何 的办法，这种办法在过去的高中几何图形研究中是重中之重，现在只是一个研究 办法，这一点希望老师们了解。%1 代数的办法。它的分量在高中几何课程中在不断地被强化，而用代数办法解决 图

26、形问题，在高中阶段强调两种基本手段，一种叫做解析几何，另外一种叫向量 儿何，这两个都是研究图形的最基本、最重要的工具。将来在大学学习中这两个 基木工具也将被不断地强化和放大。%1 微积分的办法。用导数和积分來认识图形，来认识图形的位置关系、度量关系 和图形的变化，这也是一个角度，但是这种办法在现行高中希望初步有所感悟。希槊老师在整个高中儿何学习屮对这些办法有一个比较完整的了解。我个人感 觉，由于长期以來只强调综合儿何的办法，使一部分老师对于儿何的认识显得稍 微狭隘一些，只认为这是解决图形问题的一个其至唯一的办法，这样的认识是冇 待于改进的，其他的办法也是解决儿何问题、解决图形问题重要的，并且将

27、来会 有很好发展的办法。这是高中课程的基木变化。从另一个维度来说，除了内容和研究方法之外，我们还希望老师在几何教学中培 养学生的空间想象力，培养学生的几何直观能力，什么是几何直观？建议大家这 样考虑，看得见的东西加思维、加推理就形成了几何直观。这在几何学习屮非常 重要，我想借助于希尔伯特的一本译著屮的说法，译著中的序言是这么谈儿何直 观的，他说，儿何直观的主要载体是图形。即我们要帮助学生能用图形来描述和 刻画问题，要帮助学生会用图形寻求解决问题的思路，耍帮助学生会用图形来了 解和认识得到的结论，来记忆得到的结论。所有这些都是几何直观的重要组成部 分。而很多大的数学家有这样一句话，最重耍的数学结

28、果是看出来的，它的证明 是看出来的，它的结论是看出来的，我想这是非常有道理的。由于时间关系不能 给大家举一些大学和中学数学中的例了，我们还是希望老师们重视儿何直观，重 视空间想象力。这里举一个空间想象力的例子。大家都知道我们有长方体的直观图，什么叫几何 的空间想象力？就是这个直观图和现实中的所谓长方体的现实图形能建立起联 系，这就是一个重要的空间想象力，因为所谓长方体的直观图是做了一定处理的, 但是它所代表的是一个真实的、具体的、像教室一样的长方体，要建立起这两者 的关系，就是帮助孩子建立空间想象力，希望老师能够认识到，谁将这件事情解 决得好，处理空间立体几何的能力就强。以上以几何这样一个内容

29、为例了跟老师一起讨论了高中数学课程的主要脉络，那 么函数作为一个主要脉络是怎么展开的，运算作为一个主耍脉络是怎么展开，统 计概率是怎么展开的，下面我们还会和老师做交流。关于应用是怎么展开的，应 用有几个层次，关于算法是怎样展开的，在后面的课程屮还会通过具体的实例和 老师一起做分析和探索。这是第一部分希望和老师交流的内容，我们再做一个简单的总结。第一，希望老 师形成这样一个理念，当我们要解决模块教学的时候，我们要跳出模块，从整个 课程上來整体把握和理解，才有可能使我们看清楚每一个模块在整个高中数学 中、在整个数学中应该起到和发挥的作用，只有这样才能比较好地提高教学的效 率，就事论事可能会出现“不

30、识庐山真面冃，只缘身在此山中”的问题。那么怎 样整体把握数学课程呢？我们通过四个方面和老师进行了交流，第一个方面，整 体认识数学课程需要有三个角度，一个是数学的角度，一个是教育的角度，一个 是学生的角度，这三个角度是不可或缺的，密切联系的，但是彼此乂有一定独立 性，所以老师都耍给予关注。第二，从人学数学的角度来认识高中数学，我们想 要认清高中数学中什么是重要的，就需要从更高层次來看，在数学中什么是重要 的，通过对大学数学课程的分析，我们认识到函数、运算、几何、统计概率、应 用、算法都是非常重要的事情。第三，从义务教育数学课程的角度来认识高屮数 学的内容，就是必须清楚学生的起点、他们所掌握的知识

31、。一旦学生对于初中或 者小学的知识掌握得不太好，老师耍做到心中有数，耍帮助到点子上，而不是一 味地抱怨和批评，或者放弃某些学生，而是应该从他们的起点出发帮助他们达到 最终的要求。第四个角度是高小数学课程的主要脉络，我们强调高小数学课程的显性脉络，包括函数，包括运算，包括几何，包括统计概率，还冇隐性的脉络即 应用和算法，我们以儿何课程为例做了一个完整的分析。这是这一部分要和老师 交流的内容，下面再从其他的角度进行分析。二、整体把握课程与模块教学第二个部分跟老师交流整体把握课程与模块教学。在这一部分里我们想通过这几 方面的内容一起交流，第一个是模块的内容结构；第二个是在整体把握的条件下 认识模块，

32、即从必修课的内容和选修课的内容来认识模块；第三个方而是必修模 块的基本关系；笫四个是模块教学的一些重点内容。()模块的内容结构下面我们就和老师一起来冋顾一下模块的结构，我建议老师按照我们刚才梳理出 来的脉络，把它们安在脉络的某些地方，这样对于我们整体把握模块的内容有很 大的好处。首先，整个结构是分为必修课程和选修课程。1.必修一的课程包括我们通常所说的几何的内容和函数的内容。函数的内容又包 括这样几个主要的方面，第一是对于函数概念的认识，第二是对于概念的-般的 认识。我们要形成在义务教育初中的基础上对函数完整的了解，这是必修一模块 屮重要的内容，述有从哪几个角度来认识和学习函数。这些都是平起平

33、坐的，不 同的教材有不同的处理，紧接着我们还要帮助孩子们在义务教育的基础上，在脑 子里放入几个重要的函数模型，哪些函数模型到了必修一以后在脑子里要形成 呢？正比例函数、线性函数、反比例函数、一元二次函数以及简单的分段函数， 这些是义务教育要掌握的内容。我们高中的教学在义务教育的基础上，对于函数 的理解冇一个再认识，在这个基础上我们述要进一步去了解一些重耍的、基本的 幕函数，也就是y=x这个幕函数的拓展y=kx和y=kx+b, y=x 1的基础上我们还要 拓展认识到y=kx l,也就是一般的反比例函数。有的老师还做一点点拓展，就是 y二kx-1+ax,做这样一点拓展，但是我们希槊根据实际情况來考

34、虑这个问题。第 三个简单的幕函数是y二3x2,以及它的拓展y=kx2, y= x2+b, y= (xa) 2以及再 拓展y=ax2+bx+c,就是我们通常所说的对于一元二次函数要冇一个完整的把握。第四个简单了解一下尸8疋，冇的教材述加上我想这些是最简单的幕函数，重点在哪儿呢？我想重点一定是在一次函数、反比例函数以及二次函数，这 些是学生理解函数的基础。在这个基础上还耍帮助孩了们学习另外两个函数， 个是指数函数，一个是对数函数。那么在必修一模块屮怎么研究这些函数呢？基 本的方法是什么呢？是代数的办法，通过运算来认识这些函数的变化。除了这些 内容，在必修一屮还要跟同学一起学习函数的应用，既然函数是

35、解决实际问题一 个重要的模型，那么它冇什么作用呢？这些内容都是支撑对函数认识的基础。我 们希望帮助同学从三个角度來认识函数的概念，从几个角度來认识怎么研究函 数，建立起一批认识函数的具体的、重要的模型，以及函数的应用和研究函数的 基本办法。所以必修一的内容只是在义务教育中对函数认识的基础上的提升，这 是必修一的作用，在整个课程屮要认识到它的作用。但是希望老师一定要清楚， 对丁函数或者说对丁抽象函数的认识仅仅是开始，我们述需要结合后而的内容， 不断地加深对于抽象函数的认识和理解，所以对于抽象函数的认识和理解，老师 如果采取一步到位的指导思想，对于大部分学生来说可能会带来不必要的怵i难。2必修二是

36、几何的内容，由两部分组成，一部分是立体几何初步，一部分是解析 几何初步。我想立体几何的重小z重是依托于几个载体来强化学生的空间想象 力。第一个载体就是认识空间的基本图形，柱、锥、台、球。第二个角度是三视 图，进一步认识这儿个基木图形，找到这些平面图形和空间图形z间的关系。第 三个角度，会在平面上冊i这些空间图形，即我们通常所说的直观图。第四个是进 一步认识基本空间图形，如平面、直线它们之间的基本关系，借助于长方体来认 识。我们帮助孩子们了解最重要的位置关系，一个是平行，一个是垂直。所有这 些位置关系集屮地反映在直角坐标系屮。对于度量关系我们只是初步了解，一个 直观的了解，它们还有度量的关系，比

37、如说两个直线平行，怎么去区分它们不同 直线的平行呢？就是它们之间有个距离，有的长一点，有的短一点，这些是初步 的了解，而不希望也不需要在这儿解决这些度量问题。所以培养学生的空间想象 力是解决空间图形问题的基础，希望在立体几何初步的时候老师一定耍把握住这 件事情，老师有时容易比较着急，希槊把对空间图形的推理等所有要求都在立休 儿何这里实现，我想可能后面还有足够的时间去做这些，对于文科的学生，对立 体几何图形的了解是一个基木的耍求。第二部分是解析几何初步。解析几何初步 就是要求学生能够了解，依托直线和圆的认识和研究能够清楚一种新的研究方 法，就是解析几何的研究方法。通过这样几个基本步骤，首先是建立

38、直角坐标系, 其次是能够把儿何问题用代数的语言刻画岀来，在哪刻画出来？在我们所找到的 直角坐标系上刻画出來，然后运用我们学过的代数的办法去分析和解决这些问 题，最后得到一个几何的解释，找到代数和几何的内在联系，这样的思维是解析 几何初步所要实现的最基本的教学冃标，那么我们在选修课程中还要继续利用椭 圆、抛物线、双曲线来进一步地强化这样一种解析几何的思维方式，所以老师要 对解析儿何初步的内容定位有一个基本的了解。3.必修三由三个内容组成，一个是算法，一个是统计初步，一个是古典概率初步, 或者说概率初步。算法方面，需要我们的老师帮助学生通过具体的例子初步地认 识算法是什么，它的基本思维模式是什么样

39、子，而重点要放在我们通常所说的算 法框图上，它是我们解决数学问题的非常重要的指导思想，就是程序化的思想， 我们耍把解决问题的思想、方法说清楚，就是把算理说清楚，并且要用框图把解 决问题的思想、方法或算理准确、清晰、直观地表达出来。而这种表达的方式就 是框图，框图的基本结构有三个，一个是顺序的，一个是可以分叉的，就是体现 数学分类讨论的一个结构，一个是循环，我想这些就是算法最核心的知识内容。 另外，希瑕老师用这样一种思想去认识我们已经学过的知识内容，希槊老师帮助 学生清楚在今后的数学学习中，要用同样的思想来认识将要学习的内容。这里有 一件事情请老师把握好，就是语言和语句的学习，我想这不是数学算法

40、学习的重 点。但条件允许的地方，我们可以和计算机老师一起实现上机操作，但是这不是 数学学习的重点，可能也不是考试的重点，对这一点老师一定要有准确的把握。 关于统计，在必修阶段，要让学生在义务教育的基础上全面地了解统计解决问题 的全过程，来认识什么问题可以称z为统计问题，通过搜集、整理数据，从数据 屮捉取信息可以解决的问题一般称为统计问题。这样的认识是非常重耍的，在认 识统计解决问题的基础上知道统计解决问题的基本过程，就是数据的搜集，数据 的整理、描述，从数据中提取信息，并且用信息来说明问题的这样一个过程是统 计解决问题的全过程。希望我们的老师在教学屮体现这i过程。在统计教学初步, 还希望老师能

41、够教会学生初步地理解统计的一些模型，特别是回归模型，就是数 据拟合这样一种解决数据问题的基木办法。在这里希望老师搞清楚，这样一种数 据拟合和函数关系是两种不同的问题，当然在这里我们不必强调这件事情，但是 老师应该知道这件事情，所以希望老师把握好这些东西。关于概率，概率的初步, 希望老师把重点放在：第一，什么是随机现象，随机现象的基木特征是什么，然 后用古典概型和几何概型作为一种认识随机现象的基本模型，而不是在这些模型 上做拓展，主要是通过这些模型去认识到什么是随机现象，我觉得这是概率的重 点，不仅非常重要，而且冇一定的难度。这是我们学习概率的基本东西。我们千 万不要把计数问题作为这里的重点，如

42、果你一定要解决这些问题，不妨在计数里 对古典概型提供一个再认识，或者在计数的应用屮提供一个再认识，很多教材都 是这样处理的，所以我觉得要突出重点。4必修四实际上述是一个以函数为主的问题，一个是三角函数，一个是数列，就 是通常的函数。希槊通过必修四模块使得学生对于具体的函数、抽象的函数有一 个提升，如果运用一、四、二、三、五，也可以，这时既是复习乂是提升，有的 用一、四、二、五、三，比较集中地处理函数问题，这有好处也有不足。所以希 望老师比较全面地看待，关于三角函数的重点和核心我们下面再分析，但是这实 际是一个函数模块。对必修一模块的整合，我们对丁一般的函数概念有了三个角度的认识，第一个角 度，

43、函数是刻画变化的；第二个角度，图形可以整体地表达函数；第三个角度是 对应关系，建立两个事物的一个桥梁。所以千万不要只认为高小所给出的抽象定 义才是认识函数的基本东西。第二，一批模型，这批模型就是我们在大学里经常 所说的的基木初等函数，简单的幕函数、指数函数、对数函数、三角函数，为我 们在大学的学习奠定了基础。另外就是我们通常所说等差、等比数列的概念，这 样在孩子头脑中就形成了很多的具体函数，这是非常重要的。第三，这些东西和 其他数学学习有密切的联系，就是函数的应用。第四，研究函数，得到了一种基 本的办法，代数的办法、运算的办法，为我们研究函数奠定了基础。必修四的内 容，三角函数和三角恒等变换，

44、而数列是必修五的内容，所以等于函数有三个循 环：必修一、必修四和必修五。向量是一个非常重要的东四，它的重要作用我们想在模块教学的几个问题屮再一 次强化这个问题，在这里不再强调了。向量儿何和向量代数是我们在高中这次课 程屮强调的事情，在数学小也非常重要。关于三角恒等变换我们也希望将其作为 一个载体，这是我们静态地认识三角函数的一个角度，它的一个很重要的出发点, 有些我们强调用向量的办法來认识，用向量的点乘的办法來认识。5必修五最主要的是数列、不等式、解三角形。关于不等式，我们也把它作为模 块教学值得注意的一个问题去分析，这里不再强调。总的來说，必修课程中一个 是函数的脉络，一个是运算的脉络，怎么

45、认识运算和必修课程的关系呢？指数运 算、对数运算、向量运算、三角运算（就是三角恒等变换，也可以看作一种运算, 看做-种运算的规则去认识三角恒等变形），这些是认识新的角度，我觉得这是 老师应该清楚的。几何的角度上我们又构架了对于几何图形的基本认识和认识图 形方法的基本框架，我们的重点放在空间图形上，平面图形是以函数图形为主体 展示出来的，空间图形是柱、锥、台、球，特别是长方体，它是展现基木图形位 置关系主要的载体。第二个我们强调了认识图形的几种基本办法，一个是解析几 何的办法，一个是向量几何的办法，在必修部分只是依托于平面图形去强调这两 种基本办法，到了选学部分，我们要用这样的办法认识空间图形，

46、对于概率统计 前面已做了分析，所以总的来说在整个必修课程初步认识了函数、运算、儿何图 形和概率统计，到了选修我们要在这个基础上做一个提升，以上是对必修内容的 分析。(-)必修课和选修课在内容上的联系下而从必修和选修一、二课程联系的角度，再一次认识必修课程和选修课程差别 和关系。我想大家一定清楚，无论文科还是理科，或选修一课程还是选修二课程, 对于函数的认识都有一个新的教学内容，就是导数及其应用，我们-定要认清导 数及其应用是对于函数应用的一次提升，是对在必修课程所学过的函数的提升， 提升的出发点是从方法和指导思想层面，即引入了变化的、再认识的角度去认识 学过的函数图形和这些基本的函数模世，这是

47、老师必须把握清楚的很重要的事 情。我们形成了微积分、对函数的基本认识，为大学的学习奠定了基础。这是特 别重要的。第二就是运算，我们在选修课程屮是把运算和几何课程放在-起来认 识的，就是空间向量和立体几何，这是理科所需要的学习课程，空间向量主要强 调了向量代数，立体几何主耍强调了向量几何，我们把两者做了整合，所以理科 学生在学习这一部分内容的时候，一定要凸显这一点：用代数的办法解决几何的 问题，这是在教学中需要特别关注的。选修内容中另外一个重要的载休就是圆锥 曲线，同样强调这样的内容：用代数的办法解决几何问题。这里，无论是向量几 何、向量代数还是解析几何，希望在教学中，都让学生清楚，我们解决的问

48、题是 研究图形的问题，用到的办法是代数的办法，这在选修一和选修二的课程中是需 要凸显的，只是在文科生只强调解析几何的办法，在理科学生屮不仅强调解析几 何办法的再认识，而且强调向量代数的办法，或者说用向量代数来处理儿何问题, 这是老师在考虑必修课和选修课关系吋需要认识清楚的，这或许就是选修课程屮 最主要的内容。另外一个必修课程和选修课程z间关系要处理的问题就是概率统计。在必修课程 学习的基础上，在选修课程屮无论是对丁概率述是统计有一个捉升，这件事情上 文理科冇一点差别，对于文科生来说需耍建立统计模型的概念，就是我们通常所 说的统计案例这部分内容，文理科学牛都要学习，在掌握了统计过程的基础上， 还

49、希望老师教会学生用模型来处理一些典型的统计问题，比如独立性检验和冋归 分析这两个基本模型，在必修学习的基础上对这些问题要有一个再认识。对于文 科的学生，概率依托必修课学习的内容；对于理科学生，概率还需耍提升，同样 是用模型的角度来认识随机现彖。我们要学习二项分布模梨和超几何分布模梨这 样两个新的概率模型，初步了解一下正态分布的概率模型，这里我们了解到，在 对随机现象再认识的基础上，用概率解决问题的吋候述需要用到一种模型的思 想。这是必修课和选修课的关系，希望老师能够处理好。在选修课屮，述有几个特殊的内容，一个是常用逻辑用语。一个是推理与认证， 这是文科生和理科生都需要学到的数学内容。在常用逻辑

50、用语和推理与认证中， 我们希望老师不要把它们仅仅看作知识来教，而要将这些内容当作认识数学的一 种梳理的基础。比如说常用逻辑用语，我们需要强调这样几个经常用的逻辑用语: 一个是充分条件，一个是必耍条件，一个是充要条件，一个是全称量词，一个是 存在量词，对这些量词和这些条件本身的认识并不是那么难说的，但是更重要的 是，让学生真正体会到，这是表达数学最常见的逻辑用语，我们要让学生了解到 它们是常用逻辑用语，并且是重要的常用用语，这是我们教学的重点，包括推理 与认证也是这样。在推理与论证的时候我们要帮助学生形成我们通常所说的合情 推理和演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理又包括直接证明

51、和间接证明。直接证明里要告诉学生的思维模式一种是综合法，一种是分析法， 一种是通常所说的数学归纳法，间接证明要讲到通常所说的反证法。我想，讲这 些基木的思维方法并不是最重要的，重要的是让学生感受到这种思维方法对于前 面所学到的和后面要学习的数学内容中能起到作用。所以我建议老师在常用逻辑 用语和推理论证的教学中，不要把它仅仅当作知识去教，而要把它当作一种复习 的手段去认识我们学过的知识，让学生感觉到这些常用用语和一些基本的证明模 式在学习的过程中真正发挥作用。所以老师愿意把常用逻辑用语、推理与证明和 我们的复习整理结合起来，我觉得是一种非常好的考虑方式，至于选修课屮数系 的扩充等，都可以用这样的

52、处理方式。最后一个是计数问题，如果老师想在概率初步搞点花样，不妨放在计数这里。老 师能对必修课程和选修课程之间的内在联系能有一个分析和讨论，会更好地提升 必修和选修课程的教学效率。（三）必修模块的基本关系下面來讲一下必修模块的基本关系，现在老师关注的焦点是顺序问题。第一，在以前的大纲教学屮，课程大纲规定了一个顺序，或说教材规定了顺序, 现在我们希槊老师或者教研部门引导老师决定一个顺序，这是课程发展的一个必 然趋势，也是一个进步，使得老师能够冷静地重新思考数学的基木逻辑结构。数 学并不是线性结构,任何两个内容必须有先有后，这是老师必须提升的基本认识, 我们没有规定一定要先学代数再学几何，也没有规

53、定一定要先学几何再学代数。 我想大家都在大学学习过，数学分析、高等代数、解析几何z间有很多互相渗透 的东四，所以我们并没有规定严格的顺序，也不存在严格的顺序。模块z间可以 规定顺序，每一种顺序有好的一面，也有不足的一面，这是老师考虑模块关系时 的基木指导思想。在讨论关系的时候，希望老师一定要把高中课程的主要脉络和 必修模块的关系做一个整合。函数是主耍的，怎么展示函数的基木关系；运算是 重要的，在必修模块中怎样支撑运算；图形是主要的，在必修模块怎么支持对于 几何图形的学习；统计概率是主要的，在必修模块怎么支撑统计概率的学习；应 用在必须模块整体的思考；算法在模块整休的思考。这些建议老师认真思考。

54、笫二个是基本脉络和必修模块关系的处理。处理得好，教学效率就会高。也有老 师按照自己的方法去处理。必修模块基木关系的这个问题是我们要清楚帮助学生 学哪些知识，必修中怎么实现，而不是按照个人的习惯或传统，只能冇一个顺序。 第三，我想强调，每一种顺序，都需要关注它给我们带来的好处，每一种顺序, 都需要关注它需要注意的问题。举个例子来和老师讨论，如果我们按照一、二、 三、四、五来处理，在讲解析几何的时候，直线的斜率，那么就不能用传统的所 谓正切函数來引入切线的斜率，完全口j以用通常所说的梯度來引入斜率的概念， 这是一种非常重要的认识。在某种意义上是在用导数的思想來建立起斜率的概 念，斜率的概念既可以用

55、微积分的概念来建立,也可以用三角函数的概念来建立, 也可以用解析儿何的思想来考虑，我们千万不要认为只能用一种所熟悉的切线的 办法来引入斜率。我觉得这是对数学的一个深入的认识，希望老师经过几年的教 学对这些问题有完整的了解。当我们学习完导数的吋候，再來看直角坐标系中直 线的斜率，老师可以出一个小问题让学生做一个综合的思考：你对斜率的认识, 斜率可以和哪些知识建立起联系。这样的思考实际上一个很好的总结和捉升，真 正在解决高考问题的时候，或者在进一步学习的时候，一定需要有这种综合性的 考虑，才有可能比较好地处理一些问题。再举第二个例子，就是算法，不管你是 在哪一个时间学习算法，希槊老师都应该把算法赋

56、予我们的最重要的思想从高一 开始就逐渐渗透给学生，因为我们用一种框图的形式，并不一定要先讲框图再讲 说法，这样就会把算法融入教学屮，这样数学带来的活力就会体现在教学效率屮。 所以对于顺序问题，希望老师能有一个更开放的思维，站在数学的高度看待这个 问题。也许有一些关系和传统与自己学习数学的东西不一样，但是当我们真的能 从不同的角度去思考这些关系时，我们对数学的理解才会有很大的提升。（四）模块教学的一些重点内容每一个模块的教学都应该冇重点，比如说我们在学习模块一的时候，会涉及到函 数的一系列性质，最重要的性质是什么，建议老师去思考，单调性是高中认识函 数的最重要的角度，因为函数是作为一个变化的数学

57、模型教给孩子的，那么怎么 理解变化，怎么理解单调，这是高中阶段的重点。我们强调重点，不是说别的不 讲了，而是我们一定要清楚，总有一些东西是重耍的。比如说我们建议老师去思 考这个问题，在辅助材料也就是参考文献捉供给老师，单调性和我们高屮学过的 哪些知识有联系，再分析其他的知识能像单调性一样有这么丰富的联系吗，从而 就能够知道哪些东西是重要的。比如说在三角函数教学屮什么是重要的，我们建 议老师要抓住这样几个知识，一个是单位圆，一个是函数图像，一定要把这两个 图形放在学生的脑了里，这样就会发现学生在处理有关三角函数问题中可能比以 前冇提升。再比如说，长方体应该是贯穿立体几何学习自始至终的一个基本模型

58、, 当然也是数学要关注的最基本、最重要的模型，就是说我们强调的重点凭什么说 它重要，怎么在教学中、考试中体现它的重要性，怎么在将来进一步的学习中体 现出它的重要性，我们今天起个头，希望老师继续做这样的分析。老师比较愿意 做重难点的分析，今天我只讲重点，希槊老师首先做重点分析。对于重要的知识, 就要花更多的时间去认识和理解。首先耍分析在我们的教学中什么是重点。华先 生说过两句话，第一句话是“把书读厚了”，第二句话是“把书读薄了”，怎么 读“薄”？就是把重点抓住了，把本质抓住了，就会觉得真正理解和把握了数学。 不知老师愿不愿意接受我的建议，如果有些东西不重要而且难，那么我们没必要 花额外的吋间去关

59、注它。所以进行重点分析，一定是老师在模块教学中需要认真 思考的关键问题，什么是最重要的，什么是耍实现的最基本的目标，我们耍花功 夫把这些东四放进学生脑子里。我想，难不是衡量重要不重要的标准，建议老师 一定要学会做重点分析，做本质分析，这是我们把握数学的非常重要的指导思想。这一段的讲座就是围绕着整体把握课程和模块教学的关系来展开的。首先我们分 析了必修模块的主要内容，接着分析了选修一、二模块和必修模块在内容上的联 系，第三，跟老师一起讨论了必修模块的顺序，第四，希望老师在模块教学屮一 定要抓重点，每一个模块都有重点。三、模块教学中应该注意的几个问题我们在前面两段跟老师们一起交流了怎样整体把握课程和整体把握课程与模块 教学的关系，第三个部分我想和老师们i起交流一下在模块教学中应该注意的几 个问题，特别是在必修模块中应该注意的几个问题。第一个问题是初高屮过渡的问题，第二个问题是螺旋