届高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系课件

1、10.4直线与圆锥曲线的位置关系高考数学高考数学 (北京专用)a a组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组五年高考考点直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018北京文,20,14分)已知椭圆m:+=1(ab0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆m有两个不同的交点a,b.(1)求椭圆m的方程;(2)若k=1,求|ab|的最大值;(3)设p(-2,0),直线pa与椭圆m的另一个交点为c,直线pb与椭圆m的另一个交点为d.若c,d和点q共线,求k.22xa22yb6327 1,4 4解析解析(1)由题意得解得a=,b=1.所以椭圆m的方程为+y2=1.(2)设直线

2、l的方程为y=x+m,a(x1,y1),b(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|ab|=.当m=0,即直线l过原点时,|ab|最大,最大值为.(3)设a(x1,y1),b(x2,y2).由题意得+3=3,+3=3.222,6,322 2,abccac323x22,13yxmxy32m2334m 222121()()xxyy2212()xx212122()4xxx x21232m621x21y22x22y直线pa的方程为y=(x+2).由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.设c(xc,yc).所以xc+x1=.所以xc=-

3、x1=.所以yc=(xc+2)=.设d(xd,yd).同理得xd=,yd=.记直线cq,dq的斜率分别为kcq,kdq,则kcq-kdq=-112yx 1122(2),233,yyxxxy21y21y21y21221112(2)3yxy21141247xx21141247xx1112747xx112yx 1147yx 2212747xx2247yx 111114741277474yxxx222214741277474yxxx=4(y1-y2-x1+x2).因为c,d,q三点共线,所以kcq-kdq=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=1.1212yyxx2.(2017北京,18,

4、14分)已知抛物线c:y2=2px过点p(1,1).过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m,n,过点m作x轴的垂线分别与直线op,on交于点a,b,其中o为原点.(1)求抛物线c的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:a为线段bm的中点.10,2解析解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线c:y2=2px过点p(1,1),得p=.所以抛物线c的方程为y2=x.抛物线c的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线c的交点为m(x1,y1),n(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x

5、1x2=.121,04141221,2ykxyx21 kk214k因为点p的坐标为(1,1),所以直线op的方程为y=x,点a的坐标为(x1,x1).直线on的方程为y=x,点b的坐标为.因为y1+-2x1=22yx2 112,y xxx2 12y xx122 11222y xy xx xx=0,所以y1+=2x1.故a为线段bm的中点.122112211222kxxkxxx xx122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx2 12y xx方法总结方法总结在研究直线与圆锥曲线的位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数的关系,用设而不

6、求,整体代入的技巧进行求解.3.(2013北京,19,14分)已知a,b,c是椭圆w:+y2=1上的三个点,o是坐标原点.(1)当点b是w的右顶点,且四边形oabc为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点b不是w的顶点时,判断四边形oabc是否可能为菱形,并说明理由.24x解析解析(1)椭圆w:+y2=1的右顶点b的坐标为(2,0).因为四边形oabc为菱形,所以ac与ob相互垂直平分.所以可设a(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=.所以菱形oabc的面积是|ob|ac|=22|m|=.(2)假设四边形oabc为菱形.因为点b不是w的顶点,且直线ac不过原点,所以可设ac的方程为y=kx+

7、m(k0,m0).24x143212123由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设a(x1,y1),c(x2,y2),则=-,=k+m=.2244,xyykxm122xx2414kmk122yy122xx214mk所以ac的中点为m.因为m为ac和ob的交点,所以直线ob的斜率为-.因为k-1,所以ac与ob不垂直.所以oabc不是菱形,与假设矛盾.所以当点b不是w的顶点时,四边形oabc不可能是菱形.224,1 41 4kmmkk14k14k评析评析本题考查椭圆的性质,点与椭圆的关系及直线与椭圆的位置关系,考查弦的中点及菱形的性质,考查学生的运算求解能力和整体代换思想的

8、应用.对于第(2)问,利用菱形的性质构建关于斜率k的方程是解决本题的关键.4.(2012北京,19,14分)已知曲线c:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mr).(1)若曲线c是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为a,b(点a位于点b的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点m,n,直线y=1与直线bm交于点g.求证:a,g,n三点共线.解析解析(1)曲线c是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得m0,即k2.设点m,n的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线bm的方程为y+2=x,点

9、g的坐标为.因为直线an和直线ag的斜率分别为kan=,kag=-,50,20,88,52mmmm727,52224,28,ykxxy3221612kk22412k112yx113,12xy222yx1123yx所以kan-kag=+=+=k+=k+=0.即kan=kag,故a,g,n三点共线.222yx1123yx222kxx1163kxx4312122()xxx x4322162122412kkk评析评析本题主要考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力及转化与化归思想.5.(2011北京文,19,14分)已知椭圆g:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆

10、g交于a,b两点,以ab为底边作等腰三角形,顶点为p(-3,2).(1)求椭圆g的方程;(2)求pab的面积.22xa22yb632解析解析(1)由已知得,c=2,=.解得a=2.又b2=a2-c2=4,所以椭圆g的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.设a,b的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b0)的左焦点,a,b分别为c的左,右顶点.p为c上一点,且pfx轴.过点a的直线l与线段pf交于点m,与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点,则c的离心率为()a.b.c.d.22xa22yb13122334答案答案a解法一:设点m(-c

11、,y0),oe的中点为n,则直线am的斜率k=,从而直线am的方程为y=(x+a),令x=0,得点e的纵坐标ye=.同理,oe的中点n的纵坐标yn=.因为2yn=ye,所以=,即2a-2c=a+c,所以e=.故选a.解法二:如图,设oe的中点为n,由题意知|af|=a-c,|bf|=a+c,|of|=c,|oa|=|ob|=a,pfy轴,=,0yac0yac0ayac0ayac2ac1acca13|mfoe|afaoaca=,又=,即=,a=3c,故e=.|mfon|bfobaca|mfoe|2|mfonaca2acaca13评析评析本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线方程和中点坐标公式

12、.4.(2019浙江,15,4分)已知椭圆+=1的左焦点为f,点p在椭圆上且在x轴的上方.若线段pf的中点在以原点o为圆心,|of|为半径的圆上,则直线pf的斜率是.29x25y答案答案15解析解析本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数学运算的核心素养.如图,记椭圆的右焦点为f,取pf中点为m,由题知a=3,b=,c=2,连接om,pf,则|om|=|of|=2,又m为pf的中点,|pf|=2|om|,pfom,|pf|=4,又p在椭圆上,|pf|+|pf|=6,|pf|=2

13、,在pff中,|pf|=|ff|=4,|pf|=2,连接fm,则fmpf,|fm|=,522|fffm16115kpf=tanpff=.即直线pf的斜率为.|f mfm1515一题多解一题多解易知f(-2,0),设p(3cos,sin),设pf的中点为m,则m,|om|=|of|=2,+=4,9cos2-12cos+4+5sin2=16,又sin2=1-cos2,4cos2-12cos-7=0,解得cos=-,sin2=,又p在x轴上方,sin=,p,kpf=,故答案为.53cos25sin,2223cos22 25sin2123432315,221515疑难突破疑难突破试题中只出现了椭圆的一

14、个焦点,需要作出另一个焦点,并将椭圆定义作为隐含条件直接应用是求解本题的突破口.再由条件中的中点m联想到利用三角形中位线的性质求出pf的长度是解决本题的关键.5.(2019天津文,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为f,左顶点为a,上顶点为b.已知|oa|=2|ob|(o为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点f且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p,圆c同时与x轴和直线l相切,圆心c在直线x=4上,且ocap.求椭圆的方程.22xa22yb334解析解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及

15、用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=.所以,椭圆的离心率为.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为+=1.由题意,f(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).点p的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.3232aca12123224xc223yc3422221,433(),4xyccyxc137c32914因为点p在x轴上方,所以p.由圆心c在直线x=4上,可设c(4,t).因为ocap,且由(1)知

16、a(-2c,0),故=,解得t=2.则c(4,2).因为圆c与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆c与l相切,得=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.3,2cc4t322ccc23(4)24314c216x212y思路分析思路分析(1)由已知条件,得a与b的比例关系,代入a2=b2+c2,得a与c的齐次关系,进而求得离心率.(2)设出直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点p的坐标(含参数c),由kap=koc,求得c点坐标以及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c的方程,求得c的值,最终确定椭圆方程.6.(2019天津理,18,13分)设椭圆+=1(ab

17、0)的左焦点为f,上顶点为b.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点p在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点m为直线pb与x轴的交点,点n在y轴的负半轴上.若|on|=|of|(o为原点),且opmn,求直线pb的斜率.22xa22yb55解析解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为+=1.(2)由题意,设p(xp,yp)(xp0),m(xm,0).设直线p

18、b的斜率为k(k0),又b(0,2),则直线pb的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xp=-,代入y=kx+2得yp=,进而直线op的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xm=-.由题意得n(0,-1),所以直线mn的斜率为-.由opmn,得=-1,化简得k2=,从而k=.所以,直线pb的斜率为或-.ca55525x24y222,1,54ykxxy22045kk228 1045kkppyx24510kk2k2k24510kk2k2452 3052 3052 305思路分析思路分析(1)根据条件求出基本量a,b得到椭圆方程.(2)要利用条件opmn,

19、必须求p点和m、n点坐标.由直线pb的方程与椭圆方程联立得到p点坐标,求出m及n点坐标,利用kopkmn=-1求出kpb.7.(2019课标全国理,19,12分)已知抛物线c:y2=3x的焦点为f,斜率为的直线l与c的交点为a,b,与x轴的交点为p.(1)若|af|+|bf|=4,求l的方程;(2)若=3,求|ab|.32appb解析解析本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生运算求解的能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,体现了直观想象与数学运算的核心素养.设直线l:y=x+t,a(x1,y1),b(x2,y2).(1)由题设得f,故|af|

20、+|bf|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.323,04325223,23yxtyx12(1)9t 12(1)9t 52783278(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.appb23,23yxtyx代入c的方程得x1=3,x2=.故|ab|=.134 133思路分析思路分析(1)由|af|+|bf|=4确定a、b两点横坐标之和,联立直线l的方程(含参)与抛物线方程,由根与系数的关系得a、b两点横

21、坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.(2)p点在x轴上,由=3知a、b两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得a、b两点纵坐标之和,二者联立,确定a、b的纵坐标,进而确定a、b的坐标,从而求得|ab|.appb8.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆c:+=1(ab0)的焦点为f1(-1,0),f2(1,0).过f2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆f2:(x-1)2+y2=4a2交于点a,与椭圆c交于点d.连接af1并延长交圆f2于点b,连接bf2交椭圆c于点e,连接df1.已知df1=.(1)求椭圆c的标准方程;(2)求点e的坐标.22xa22y

22、b52解析解析本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.(1)设椭圆c的焦距为2c.因为f1(-1,0),f2(1,0),所以f1f2=2,c=1.又因为df1=,af2x轴,所以df2=.因此2a=df1+df2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆c的标准方程为+=1.(2)解法一:由(1)知,椭圆c:+=1,a=2.因为af2x轴,所以点a的横坐标为1.将x=1代入圆f2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点a在x轴上方,所以a(1,4).又f

23、1(-1,0),所以直线af1:y=2x+2.5222112dfff225223224x23y24x23y由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.将x=-代入y=2x+2,得y=-.因此b.又f2(1,0),所以直线bf2:y=(x-1).由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因为e是线段bf2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此e.解法二:由(1)知,椭圆c:+=1.2222,(1)16,yxxy1151151251112,5534223(1),41,43yxxy137343231,2 24x23y如图,连接ef1.因为bf2=2a,e

24、f1+ef2=2a,所以ef1=eb,从而bf1e=b.因为f2a=f2b,所以a=b.所以a=bf1e,从而ef1f2a.因为af2x轴,所以ef1x轴.因为f1(-1,0),由解得y=.又因为e是线段bf2与椭圆的交点,所以y=-.因此e.221,1,43xxy 323231,2 9.(2019课标全国理,21,12分)已知曲线c:y=,d为直线y=-上的动点,过d作c的两条切线,切点分别为a,b.(1)证明:直线ab过定点;(2)若以e为圆心的圆与直线ab相切,且切点为线段ab的中点,求四边形adbe的面积.22x1250,2解析解析本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识

25、点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.(1)设d,a(x1,y1),则=2y1.由于y=x,所以切线da的斜率为x1,故=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设b(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线ab的方程为2tx-2y+1=0.所以直线ab过定点.(2)由(1)得直线ab的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.1,2t21x1112yxt10,21221,22ytxxy于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|ab|=|x1-x2|=2

26、(t2+1).设d1,d2分别为点d,e到直线ab的距离,则d1=,d2=.因此,四边形adbe的面积s=|ab|(d1+d2)=(t2+3).设m为线段ab的中点,则m.由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.当t=0时,s=3;当t=1时,s=4.因此,四边形adbe的面积为3或4.21 t21 t21212()4xxx x21t 221t 1221t 21,2t temabemab22解题关键解题关键(1)设出a、b坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出ab的方程,用坐标表示出,求ab方程中的参数是关键.emab10

27、.(2018课标全国,19,12分)设椭圆c:+y2=1的右焦点为f,过f的直线l与c交于a,b两点,点m的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线am的方程;(2)设o为坐标原点,证明:oma=omb.22x解析解析(1)由已知得f(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点a的坐标为或.所以am的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,oma=omb=0,当l与x轴垂直时,直线om为ab的垂直平分线,所以oma=omb.当l与x轴不重合也不垂直时,21,221,2222222设l的方程为y=k(x-1)(k0),a(x1,y1),b(x2,y2),则x1,x20).(1

28、)证明:k-;(2)设f为c的右焦点,p为c上一点,且+=0.证明:|,|,|成等差数列,并求该数列的公差.24x23y12fpfafbfafpfb解析解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得f(1,0).设p(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2mb0)的右顶点为a,上顶点为b

29、.已知椭圆的离心率为,|ab|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(kx10,点q的坐标为(-x1,-y1).由bpm的面积是bpq面积的2倍,可得|pm|=2|pq|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线ab的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.当k=-时,x2=-9b0).又点在椭圆c上,所以解得因此,椭圆c的方程为+y2=1.因为圆o的直径为f1f2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆o相切于p(x0

30、,y0)(x00,y00),则+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.3322xa22yb13,22222311,43,abab224,1.ab24x20 x20y00 xy00 xy03y由消去y,得(4+)x2-24x0 x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆c有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y00,所以x0=,y0=1.因此,点p的坐标为(,1).因为三角形oab的面积为,所以abop=,从而ab=.设a(x1,y1),b(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以ab2=(x1-x2)2+(y1-

31、y2)2220001,43xyxyxyy 20 x20y20y20 x20y20y20y20 x222 67122 674 272200022002448(2)2(4)xyxxy=.因为+=3,所以ab2=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),则=,因此p的坐标为.则直线l的方程为y=-x+3.20201xy22002220048(2)(4)yxxy20 x20y2022016(2)(1)xx324940 x20 x20 x5220 x20y12102,225214.(2017课标全国,20,12分)设a,b为曲线c:y=上两点,a与b的横坐标之和为4.(1)求直线ab的斜率;(2)

32、设m为曲线c上一点,c在m处的切线与直线ab平行,且ambm,求直线ab的方程.24x解析解析(1)解法一:设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线ab的斜率k=1.解法二:设a,则由题意得b,于是直线ab的斜率k=1.(2)解法一:由y=,得y=,设m(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是m(2,1).设直线ab的方程为y=x+m,故线段ab的中点为n(2,2+m),|mn|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.214x224x1212yyxx124xx211,4

33、xx211(4)4,4xx221111(4)444xxxx22111(4)4(42 )xxx24x2x32x24x1m从而|ab|=|x1-x2|=4.由题设知|ab|=2|mn|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线ab的方程为y=x+7.解法二:设曲线c:y=上的点m的坐标为,过点m且与直线ab平行的直线l的方程为y=x-x0+.联立得消去y得x2-4x+4x0-=0,则有=(-4)2-41(4x0-)=0,解得x0=2,代入曲线c的方程,得y0=1,故m(2,1).设a,则b,22(1)m2(1)m24x200,4xx204x2002,4,4xyxxxy20 x20 x211,4xx

34、211(4)4,4xx因为ambm,所以=-1,即-4x1=28.所以直线ab的方程为y=x-x1+,即y=x+7.211142xx211(4)142(4)xx21x214x15.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为f,右顶点为a,离心率为.已知a是抛物线y2=2px(p0)的焦点,f到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点p,q关于x轴对称,直线ap与椭圆相交于点b(b异于点a),直线bq与x轴相交于点d.若apd的面积为,求直线ap的方程.22xa22yb121262解析解析(1)设f的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-

35、c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线ap的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立,可得点p,故q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点b异于点a,可得点b.由q,可得直线bq的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故d.所以|ad|=1-=.又因为apd的面积为,故=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=.所以,直线ap的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.ca122p121234243y21,m

36、21,m243y2634mm222346,3434mmmm21,m26234mmm2234134mm2ym222332mm2223,032mm222332mm22632mm 621222632mm 2|m626636366方法总结方法总结1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果.2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与x轴交点固定时,常设为x=my+b的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率.16

37、.(2016课标,20,12分)在直角坐标系xoy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点m,交抛物线c:y2=2px(p0)于点p,m关于点p的对称点为n,连接on并延长交c于点h.(1)求;(2)除h以外,直线mh与c是否有其他公共点?说明理由.|ohon解析解析(1)由已知得m(0,t),p.(1分)又n为m关于点p的对称点,故n,on的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此h.(4分)所以n为oh的中点,即=2.(6分)(2)直线mh与c除h以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线mh的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2

38、px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线mh与c只有一个公共点,所以除h以外直线mh与c没有其他公共点.(12分)2,2ttp2,ttppt22tp22,2ttp|ohon2pt2tp评析评析本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.17.(2016课标,21,12分)已知a是椭圆e:+=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交e于a,m两点,点n在e上,mana.(1)当|am|=|an|时,求amn的面积;(2)当2|am|=|an|时,证明:k0.由已知及椭圆的对称性知,直线am的倾斜角为.又a(-2,0),因此直线am的方程为y=

39、x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此amn的面积samn=2=.(4分)(2)将直线am的方程y=k(x+2)(k0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=得x1=,故|am|=|x1+2|=.424x23y127127121271271444924x23y22161234kk222(34)34kk21 k2212 134kk由题设,直线an的方程为y=-(x+2),故同理可得|an|=.(7分)由2|am|=|an|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t

40、-8,则k是f(t)的零点,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增.又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以kb0)经过点a(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆e的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p,q(均异于点a),证明:直线ap与aq的斜率之和为2.22xa22yb22解析解析(1)由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆e的方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线pq的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入+y2=1,得(1+2k2

41、)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知可知0.设p(x1,y1),q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=,x1x2=.从而直线ap,aq的斜率之和kap+kaq=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)ca22222x22x24 (1)1 2k kk22 (2)12k kk111yx221yx112kxkx222kxkx1211xx1212xxx x=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.4 (1)2 (2)k kk k评析评析本题考查椭圆标准方程与简单性质的同时,重点考查直线与椭圆的位置关系.c c组教师专用题组组教师专用题组考点直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆

42、锥曲线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30的直线交c于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为()a.b.c.d.3 349 38633294答案答案d易知直线ab的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.soab=|of|y1-y2|=.故选d.3334x339412123421212()4yyy y3827994评析评析本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了数形结合思想和运算求解的能力.2.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xo

43、y中,p为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点p到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案答案22解析解析双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x,显然直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之间的距离为=.因为点p为双曲线x2-y2=1的右支上一点,所以点p到直线y=x的距离恒大于0,结合图形可知点p到直线x-y+1=0的距离恒大于,结合已知可得c的最大值为.22|0 1|1( 1) 2222223.(2018课标全国,20,12分)设抛物线c:y2=2x,点a(2,0),b(-2,0),过点a的直线l与c交于m,n两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线bm

44、的方程;(2)证明:abm=abn.解析解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得m的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线bm的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,ab为mn的垂直平分线,所以abm=abn.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),m(x1,y1),n(x2,y2),则x10,x20.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线bm,bn的斜率之和为kbm+kbn=+=.将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得12122(2),2yk xyx2k112yx 222yx 2112

45、12122()(2)(2)x yx yyyxx1yk2ykx2y1+x1y2+2(y1+y2)=0.所以kbm+kbn=0,可知bm,bn的倾斜角互补,所以abm=abn.综上,abm=abn.121224 ()y yk yyk88k 失分警示失分警示(1)忽略点m,n位置的转换性,使直线bm方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“abm=abn”正确转化为“kbm+kbn=0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.4.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为f,上顶点为b.已知椭圆的离心率为,点a的坐标为(b,0),且|fb|ab|=6.(1)求椭圆的方程;(2)

46、设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为p,且l与直线ab交于点q.若=sinaoq(o为原点),求k的值.22xa22yb532|aqpq5 24解析解析(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|fb|=a,|ab|=b,由|fb|ab|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设点p的坐标为(x1,y1),点q的坐标为(x2,y2).由已知有y1y20,故|pq|sinaoq=y1-y2.又因为|aq|=,而oab=,故|aq|=y2.由=sinaoq,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易

47、知直线ab的方程为x+y-2=0,22ca592229x24y2sinyoab42|aqpq5 2422,1,94ykxxy2694kk 由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=.所以,k的值为或.,20,ykxxy21kk 294k 121128121128解题关键解题关键利用平面几何知识将=sinaoq转化为点p、q坐标间的关系是解决第(2)问的关键.|aqpq5 24方法归纳方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这

48、是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为根据已知条件判断焦点的位置;根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应用;解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线c1:x2=4y的焦点f也是椭圆c2:+=1(ab0)的一个焦点,c1与c2的公共弦的长为2.过点f的直线l与c1相交于a,b两点,与c2相交于c,d两点,且与同向.(1)求c2的方程;(2)若|ac|=|bd|,求直线l的斜率.22ya22xb6acbd解析解析(1)由c1:x2=4y知其焦点f的坐标为(0,1).因为f也是椭圆c2的一个焦

49、点,所以a2-b2=1.又c1与c2的公共弦的长为2,c1与c2都关于y轴对称,且c1的方程为x2=4y,由此易知c1与c2的公共点的坐标为,所以+=1.联立,得a2=9,b2=8.故c2的方程为+=1.(2)如图,设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4).因与同向,且|ac|=|bd|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.636,22

50、94a26b29y28xacbdacbd21,4ykxxy由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.将,代入,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直线l的斜率为.221,189ykxxy21698kk26498k222216(98)kk24 6498k2222169(1)(98)kk64646.(2015福建,19,12分)已知点f为抛物线e:y2=2px(p0)的焦点,点a(2,m)在抛物线e上,且|af|=3.(1)求抛物线e的方程;(2)已知点g(-1,0),延长af交抛

51、物线e于点b,证明:以点f为圆心且与直线ga相切的圆,必与直线gb相切.解析解析解法一:(1)由抛物线的定义得|af|=2+.因为|af|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线e的方程为y2=4x.2p2p(2)因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直线af的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,222222 2(1),4yxyx解得x=2或x=,从而b.又g(-1,0),所以kga=,kgb=-,所以kga+kgb=0,从而agf=bgf,这表明点f到直线ga,gb的距离相等,故以f为圆心且

52、与直线ga相切的圆必与直线gb相切.解法二:(1)同解法一.(2)设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r.因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设a(2,2).由a(2,2),f(1,0)可得直线af的方程为y=2(x-1).121,222 202( 1) 2 23201( 1)2 2 232222由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而b.又g(-1,0),故直线ga的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线gb的方程为2x+3y+2=0,所以点f到直线gb的距离d=r.这表明以点f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.22 2(

53、1),4yxyx121,2222|2 22 2 |894 21722|2 22 2 |894 217评析评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.7.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别是f1,f2.以f1为圆心以3为半径的圆与以f2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆c上.(1)求椭圆c的方程;(2)设椭圆e:+=1,p为椭圆c上任意一点.过点p的直线y=kx+m交椭圆e于a,b两点,射线po交椭圆e于点q.(i)求的值;(i

54、i)求abq面积的最大值.22xa22yb32224xa224yb|oqop解析解析(1)由题意知2a=4,则a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆e的方程为+=1.(i)设p(x0,y0),=,由题意知q(-x0,-y0).因为+=1,又+=1,即=1,所以=2,即=2.(ii)设a(x1,y1),b(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆e的方程,ca3224x216x24y|oqop204x20y20()16x20()4y2422004xy|oqop可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.则有x

55、1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以oab的面积s=|m|x1-x2|=2.设=t.将y=kx+m代入椭圆c的方程,2814kmk2241614mk2224 16414kmk122222 164|14kmmk22222 (164)14kmmk222241414mmkk2214mk可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0b0)的短轴长为2,右焦点为f(1,0),点m是椭圆c上异于左、右顶点a、b的一点.(1)求椭圆c的方程;(2)若直线am与直线x=2交于点n,线段bn的中点为e.证明:

56、点b关于直线ef的对称点在直线mf上.22xa22yb3解析解析(1)由题意得b=,c=1,所以a=2.所以椭圆c的方程为+=1.(2)证明:“点b关于直线ef的对称点在直线mf上”等价于“fe平分mfb”.设直线am的方程为y=k(x+2)(k0),则n(2,4k),e(2,2k).设点m(x0,y0),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,则x0-2=-,所以当mfx轴时,x0=1,此时k=.所以m,n(2,2),e(2,1).所以点e在mfb的平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1上,即fe平分mfb.322bc24x23y22(2),143yk xxy221634k

57、k2020286,3412.34kxkkyk1231,2当k时,直线mf的斜率kmf=,所以直线mf的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以点e到直线mf的距离d=|2k|=|be|,fe平分mfb.综上,点b关于直线ef的对称点在直线mf上.12001yx 2414kk2222|82 (41)4 |16(41)kkkkkk222|42 (41)|(41)kkkk22|2 (41)|41|kkk解题关键解题关键解决第(2)问的关键是把“点b关于直线ef的对称点在直线mf上”等价成“fe平分mfb”.2.(2019北京海淀期末文,19)已知点b(0,-2)和椭圆m:+=1.直线l:y=k

58、x+1与椭圆m交于不同的两点p,q.(1)求椭圆m的离心率;(2)若k=,求pbq的面积;(3)设直线pb与椭圆m的另一个交点为c,当c为pb中点时,求k的值.24x22y12解析解析(1)解法一:因为a2=4,b2=2,所以a=2,b=,c=.(3分)所以离心率e=.(5分)解法二:因为a2=4,b2=2,(2分)所以e=.(5分)(2)设p(x1,y1),q(x2,y2),若k=,则直线l的方程为y=x+1,由得3x2+4x-4=0,(6分)解得x1=-2,x2=.(7分)设a(0,1),则spbq=|ab|(|x1|+|x2|)=3=4.(8分)22ca22221ba2142212122

59、21,4211,2xyyx231212223(3)解法一:设点c(x3,y3),p(x1,y1),b(0,-2),所以(9分)又点p(x1,y1),c(x3,y3)都在椭圆上,所以(11分)解得或(13分)1313,22,2xxyy 221122111,422221,42xyxy 1114,212xy 1114,21,2xy 所以k=或k=-.(14分)解法二:设c(x3,y3),p(x1,y1),显然直线pb的斜率存在,设直线pb的方程为y=k1x-2,所以所以(2+1)x2-8k1x+4=0.(7分)所以(10分)又x3=x1,(11分)解得或此时满足=16(2-1)0,3 14143 1

60、4142211,422,xyyk x21k2111321132116(21)0,8,214,21kkxxkx xk121114,23 1414xk 1114,23 14,14xk21k所以或(13分)所以k=或k=-.(14分)1114,212xy 1114,21,2xy 3 14143 1414易错警示易错警示直线方程与椭圆方程联立后,必须检验是否满足判别式大于零,或者得出k的范围,否则判别式的1分要扣掉.3.(2017北京西城二模,20)已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率是,且过点p(,1).直线y=x+m与椭圆c相交于a,b两点.(1)求椭圆c的方程;(2)求pab的面积的最大值;(3