小学数学系列知识讲座

1、学校数学系列学问 讲座写在前面： 下面的内容不是让你会， 其实，你早已经会了， 在上学校的时候；现在是让你整体把握数学学问，融合教材内容， 如何去教同学会； 知道同学应当学什么、会什么、怎么学、怎么练、会到什么程度等；凭体会和仿照也能教学校数学，但只能是“摸着石头过河” ；“不熟识路怎么走路，不知道如何修道”，不明白学校数学怎么教好学校数学？要想成为一名优秀的 学校数学老师，必需在学校数学理论上有肯定的水平；第一讲学校数学技能学校数学新课程标准确定了学校数学课程“学问与 技能”、“过程与方法 ”、“情感、态度与价值观 ”三位一体的课程功能；“数学摸索、解决问题、情感与态度的进展离不开学问与技能

2、的学习，同时，学问与技能的学习必需以有利于其他目标的实现为前提；”（新课标）正确的学问必需和技能，即运用学问的技巧结合起来；（第斯多惠） 德数学技能的获得必需依靠数学学问和数学才能为基础；数学技能的获得必需依靠练习；适当多练是培育技能的有效方法，但练习不等于机械重复；基础学问每天练，重要学问常常练，难点学问分散练，易混学问对比练，易错学问反复练；讲必练，练必改，改必评，评必练；练技能、练巩固、练提高；数学技能一 阅读技能1、单一性朗读；即一字一句的读；低年级同学刚开头表现为一字一顿地读，或用手指着字读，跟着老师或仿照老师的读法来读； 由于低年级儿童识字不多， 有的字儿童不熟识，有的字简洁混淆，

3、 所以，低年级数学课不仅要教数学学问，仍要帮忙儿童扫除文字上的障碍；2、数式性朗读；比如： 16+（ ）=39，可读成： 16 加 多少等于 39；16 和哪一个数的和是39；比 16 多几的数是 39；比几多 16 的数是 39；加数是 16 和是 39，另一个加数是多少？a×b+c=a ×b+a×c 可以读成：两个数的和与一个数相乘，等于把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，这叫做乘法安排律；3、精读；比如：当读“分子比分母小的分数叫真分数；”就应当摸索：是否仍有“分子比分母大（相等）的分数”吗？它们又叫什么分数呢？“扩大 10 倍”不是“扩大至10 倍

4、”；甲、乙、丙三个数两两互质，其中的“两两”是指每两个数都互质；4、表达技能；说数、说式子、说方法、说思路、说做法；说出来的是自己所想到的，想不到的确定说不出；举例子，说过程，正反说（6 能被 3 整除， 3 能整除 6），比较说，边看边说，边做边说，边想边说，争论说，辩论说，想想再说，；语速适当，吐字清晰，思路清晰，有规律性，用数学语言，用精确的数学语言；不打断别人的说话，不人身攻击，不意气用事，不强词夺理，不察言观色，不带口头禅；仔细听别人发言，听懂别人的话，不随便打断别人的话，争辩时不心情化，错了敢于承认错误，不顽固，不强辩，无攻击性的言辞；说话时表达要清晰明白，有条理、有内容，声音要宏

5、亮，并且简明扼要；杜绝争论似吵架，评判如评理的现象发生；数学技能二 识别技能1、识数：学习数学的基础是“识数” ，不识数确定学不好数学；假如仅能读写而不懂得数字和数的意义，或虽能懂得意义但不能读写数字和数，都不能说已经识数了；能正确懂得电视、 报刊上的数字吗？有大小多少的概念吗？知道“基数、序数”吗？仍要明白它属于哪一类性质的数：整数、自然数、奇数、偶数、零、质数、合数、约数、倍数、公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数、可约数、互质数、分数、真分数、假分数、带分数、最简分数、小数、有限小数、无限小数、纯小数、带小数、循环小数、纯循环小数、混循环小数、近似数等；运算中的：加数、被减数、减数、乘

6、数或因数、被除数、除数、余数、分数值、比值等；熟识运算工具上的数；直尺、三角板、圆规、运算器、量杯、商品标价、时刻表等；2、识文；“把两个数合并成一个数的运算叫做加法；”“合并”是什么意思？数学中的“逆运算” 、“检验”“整除与除尽”等；不懂得其意学不好数学；比如：180÷ 6=30 的文字表述就特别丰富； 把 180 平均分成 6 份，每份是 30；180 包含 30 个 6；180 是 6 的 30 倍；180 个同学平均分成 6 个班， 每班有 30 人； 每 6 个同学编成一组， 180 个同学可以编成30 个小组；仍有一些数学术语：“增加、削减、增加了、增加到”，“比多、

7、比少”等；3、 识符；符号化是数学的一大特点， 也是一个优点； 数符号是国际通用语， 不需要翻译；代表数的 ：0、1、2、3、4、阿拉伯数字； a、b、c、d小写 字母代表已知数；x、y、z代表未知数；代表圆周率；代表运算的 ：+、- 、×、÷，比号“： ”，分数线，等等；代表运算次序的：（）， ，等；代表关系的 ：=、，等；代表外形的 ：、，等；符号的识记需要不断体验和积存；比如，一看到0.25 就想到了14 就想到了 25%；4、识图数和图是学校数学的两大基本内容，数可以用图来表示， 图也可以用数来计算；这叫做数形结合；当今时代也叫读图时代；识别常用图形：点、线、射线、

8、直线、角、垂线、平行线，三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、四边形、梯形、平 等四边形、长方形、正方形、圆形、扇形、棱柱、长方体、正方体、圆柱、球等；识别实物图形： 课本的封面是长方形、 三角板的一个角是直角、 车轮是圆形、整块是长方体、硬币的面是圆形，而它整个又是圆柱体等；数学技能三 记忆技能没有记忆就没有学习，记忆技能不是天生的，是先靠后天训练才能培育出来的；学校数学，要记住符号、法就、性质和公式等，才能运算与解题；1、图记记形象的东西比记抽象的记号，效率要高几十倍；用详细形象或图示帮忙记忆：比如幼儿学阿拉伯数字时：1 像小棒， 2 像鸭子， 3像耳朵， 4

9、 像小旗， 5 像秤钩， 6 像哨子， 7 像镰刀， 8 像葫芦， 9 像姑娘的辫子，0 像鸭蛋；圆面积公式的推导方法（图1） 利用此图仍能记忆各图形面积公式的推导过程；利用数量关系图帮忙记忆和懂得： （图 2）（ a）求两个数相差多少；b求比一个数多几的数；c求比一个数少几的数；2、诀记数学口诀是表达数学法就、 性质简练顺口的语言， 易读易记， 对学习很有帮忙； “九九乘法口诀表”是我国珍贵的文化遗产；正确懂得数学口诀；“三七二十一”的意思是三与七的乘积是二十一；“四舍五入”的意思是不满5 的统统舍去，大于或等于5 的要进一，等；熟识使用数学口诀 ；记和用要结合，不能只记不用，或记口诀与运算

10、两分别；比如，加法法就口诀是 “数位对齐， 个位加起， 满十进一”，小数乘法口诀是 “小数当作整数乘，因数小数共几位，乘积小数要记录，缺零补零须弄懂； ”这些都是练和记结合起来才有效；学会编制数学口诀； 事实上，学校数学中的数学法就、公式基本上都可编成口诀，当然要编得好并不简洁；比如，十一的减法“十一减二等于九，十一减三等于八，十一减四等于七， ”当然，口诀只是帮忙记忆，而不能代替学习过程和懂得；3、诵记用有声或无声的背诵方法来记忆学问叫诵记，它是一种用的最多也最有效的记忆方法；短句记忆； 有些数学学问只有一两句，比如“10 个一是一十， 10 个十是一百，10 个百是一千， 10 个千是一万

11、；”“乘法中， 0 和任何数相乘都得0；除法中， 0不能作除数， 0 除以任何数，都得0”；都应反复诵记，滚瓜烂熟；长句短记； 对于高年级的同学，一些数学结论、公式较长，可以分成句子或作小段的方法来诵记，但肯定要整体把握，切不行“不识庐山真面目”；懂得性诵记； 感觉了的东西往往并不能懂得它，懂得了的东西才能更深刻地感觉它，才能比较简洁地记住它；我听见了 ,我遗忘了 ;我观察了 ,我记住了 ;我做过了 ,我懂得了 .比如圆面积公式，分数的基本性质：图 3录记；录记对学习特别重要， 一个人如从小养成随时记录的好习惯，将受益一生；“眼过十遍，不如手抄一遍； ”低年级同学由于识字不多，可对于重要的内容

12、用笔勾划，或用符号标出等方法；中年级的同学可在书页空白处，登记有价值的材料，如批注、口诀、解题方法，趣味数学等；高年级的同学可以备一笔记本，除了记录上述内容外， 仍有错题记录， 学习心得等；这样做，一可以帮忙记忆，二可以养成习惯，三可以加深懂得，四可以练字，五可以促进学习；数学技能四 摸索技能用大脑查找事物的本质或规律的过程叫摸索；把握摸索技能， 对同学学好数学有打算性意义；摸索要尽量防止盲目与呆板，肤浅与狭隘；一个人从小到大， 思维一般要经过三个阶段： 直觉动作思维阶段， 详细形象思维阶段，抽象规律思维阶段； 学校生正处在从详细形象思维为主要形式向抽象规律思维为主要形式过渡阶段；但数学有高度

13、的抽象性和严密的规律性，所以必要依靠形象作中介（桥梁），也就是实物教具、学具等；摸索技能包括：比较、联想、分析、综合、抽象、概括、梳理、分类、判定、推理等；1、比较比较是一种确定事物相同和差别的思维形式（比较的目的就是发觉异同）；由于数学学问具有严密的规律性和系统性，因此， 新、旧学问之间联系往往是特别亲密的，旧学问是新学问的基础， 新学问是旧学问的自然延长和进展，新旧学问之间即有相同的地方， 又有不同的地方， 只要把这些地方比较清晰了，就能明白各部分学问之间的联系及其特点，才能记得牢， 懂得得深， 形成新的坚固的学问结构；（建构学习理论）什么是新学问？用乔永洁的话说就是：新学问向前走了一小步

14、或把旧学问进行综合； 分清爽旧学问， 分清学问的组合情形， 才能学会数学学问；培育比较技能可以从以下几方面着手：（1） ） 在观看中比较；没有观看就没有比较； 观看是一种有意识的、 有方案较长久的知觉活动；对所学习的事物，观看多了，才能有效比较，比较清晰了，学问才能很好把握；例如教学“乘法的初步熟识” ，可先让同学对下面式子进行比较，分成两大类： 2 2 2 5 5 5 5 5 3 5 6 8 8 4 4 9 3 3 3 3 3 然后引导同学分析发觉：每个式子的加数都相同；教学有余数的除法时， 只有多观看一些有余数的除法算式，才能比较各个算式中除数与余数有大小，从而发觉“余数都比除数小”这个结

15、论；商不变的规律，分数的基本性质等的教学都是需要观看比较，引导同学发觉学问，进而猎取学问的；（2） ） 用同一标准进行比较；从不同标准的比较中学以新知，比如：用1 角和 9分钱比较，让同学明白必需先把单位统一（也就是标准同一）；比较同类事物才能比较，面积和重量就不能比较；（3） ） 方法比较； 解法比较 ：应用题的一题多种解法：综合式与分步式，用方程解、算术式与比例解等； 依据实际需要方法比较 ：求圆柱表面积时的有上下底面、无上下底面、只有一个面的算法比较；算法与验算（检验）的方法比较；解题方法简繁的比较；（4） ） 数形比较；数字 5 与实物 5 个东西比较；应用题列的算式与所画图形的比较；

16、钟表上的刻度与实际时间的比较；图形的位置及大小比较； 数与数之间的大小、多少的比较；2、联想；联想是一种从一事物想起另一事物的思维形式；把握联想的技能可以提高思维的效率，使思维更加广泛、敏捷，甚至有所制造；（1） ） 旁近联想；看到数字6，就可以联想到：它的前面是5，后面是 7，它可以分成 1 和 5，2 和 4，；（高年级） 它自然数， 也是整数， 它是合数，是偶数，；“甲班有 45 人，乙班有 48 人”就可以联想：两共有多少人？乙班比甲班多多少人？甲班比乙班少多少人？甲班人数是乙班的几分之几？甲乙两班人数的比 是多少？由异分母分数加减法要先通分，联想到： 为什么整数、 小数加减法运算时肯

17、定要数位对齐；（2） ） 纵横联想；学习了同分母分数相加后，纵想：分母不同的怎么办？横想：同分母减法怎么算？能想到这些的同学思维品质确定高一些；看到算式： 7+8=15 ，可以想到在现实生活中，那些事情可发用这个算式表示？线段图怎么画？（3） ） 变形联想；3 加 6 的和肯定是 9 吗？只有 3 加 6 得 9 吗？甲班人数与乙班人数的比是4： 5，那么，乙班人数与甲班人数的比呢？甲乙两班人数的 和与甲班人数的比呢？依据“一辆汽车每小时行驶60 千米， 3 小时行驶了 180 千米”可以编成几道题呢？联想才能差的同学，难于完成；3、抽象与概括； 智力的核心是思维， 思维的基础是规律思维， 抽

18、象与概括又是规律思维的基础；抽象：从现象中发觉事物的本质属性；符号“+”就是“合并”的本质属性；分数的基本性质“分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变”它剔除了哪些偶然属性呢？概括：把一种本质属性正确推广应用到另外事物上的思维形式；分数的基本性质与除法商不变规律与比的基本性质相通，由于它们本质上是一样的，可以互化； 但整小数加减法的 “数位对齐” 就不能应用到整小数乘法上，由于它们本质上不同；（1） ） 对详细事物的抽象与概括； 全部的数字都是由详细的事物抽象来的，现实中有 5 个人， 5 张桌子， 5 元钱抽象出“ 5”这个数；而“ 5”这个数又概括了： 5 张

19、纸， 5 吨，5 辆车；园也是由很多园形东西抽象来的，反过来它又概括了“园形”的这类东西；（2） ） 对式子、运算、事物性质的抽象与概括；由汽车每小时行驶 80 千米，飞机每小时飞行 800 千米，人步行每小时 5 千米 抽象出“速度” ， 进 而 “ 速 度 ” 用 字 母 “ v” 来 表 示 ； 由 3+7=7+3 ， 08+8=8+08，抽象出“加法交换律” ，进而抽象出“ a+b=b+a”.（3） ） 对事物关系的抽象与概括 （数量关系式）；单价×数量 =总价， 速度×时间=距离；大园、小园、各种颜色的园通过测量运算抽象出 c= r, 等等；反之，符合这些数量关系

20、的量之间， 都可以用这些公式或数量关系进行运算；4、分析与综合；分析与综合是思维的基本形式之一，也是重要的规律方法； 分析是把事物的整体分解为各个组成部分，综合是把各个组成部分联合成一个整体；没有分析就很难把握整体，没有综合就不能熟识整体；（1） 对详细实物或图形的分析与综合；比如对数“5”的熟识：摆小棒， 感知“ 5”究竟是多少；“ 5”的读音、写法；“5”与前面的“ 4”比较； “5”与“第 5”的区分；举出一系列很多个用5 来表示的事物例子在这些“分析”的基础上，整体认知“5”的意义；很多失败的数学课， 都是由于引导同学 “分析” 不到位造成的； 分析到位了，才能“水到渠成”；（2） 对

21、文字、符号、法就、公式的分析与综合；不要小看这些，这是同学能否学好数学的基础；三角形的面积=底×高，面积指的是什么？底的位置，高的位置，底与高的关系等都要分析清晰，并非只会套公式算题那么简洁；（3） 组合运用的分析与综合；两步运算的应用题的关键是“求中间量”，为什么要求这个中间量，如何求这个中间量，都是要通过分析的；这 比较两个数的大小，整小数是从哪比起的，而分数又是如何比的，各 有各的分析思路，有分析思路才有解题思路；（4） 分析法与综合法；“执果索因”为分析法：要求圆柱的体积必要知道 圆柱的底面积和高，要求底面积必要知道底面半径；“执因求果”为综合法：知道圆柱的侧面积和底面周长为

22、什么可以求出圆柱的体积， 这其实就是一个综合的思维过程；往往在解决问题时，是两法并用；5、梳理与分类； 梳理是把同学学到的数学学问加以条理化、次序化、规律化的一种思维形式； 常常进行梳理， 可以使学到的学问沟通联系， 理清思路，分清主次， 以简化繁， 使学问结构清晰完善， 这样不仅可以不断巩固与加深懂得已学过的学问，而且仍有助于进展智力、提高才能；一节课， 一单元， 一册书甚至整个学校学习的数学学问都应当进行梳理分类， 哪个同学梳理分类清晰了，哪个同学数学必能学好；（1） 对相关学问点进行梳理；比如复习角的种类：可用一个圆规或角的模型进行变化演示，锐角直角钝角平角周角，同时板书：锐角90

23、76;，直角 =90°，90°钝角 180°， 1 平角=2 直角， 1 周角=2 平角=4 直角；（2） 对相关学问块进行梳理；圆有面积、周长、半径、直径以及它们之间的关系，半径、直径、周长、面积的个数以及它们之间的关系；多位数的读写；（3） 对相关学问面的梳理；比前项比号（：）后项ab=c基本性质除法被除数除号（÷）除数a÷b=c商不变规律分数分子分数线分母ab=c分数基本性质4对一部分内容的分类；比如整数的读法：写一些数，一个0 都不读的有（），只读一个 0 的有（），读两个 0 的有（）；（5）对相对完整的一部分分类；比如学校阶段学习的

24、运算进行分类：识数计数整数的熟识记数写数整加减运算数整数的运算四就运算乘除运算整除的的概念整数的整除性整除的性质被自然数整除的数线直线、射线、线段垂线、平行线、不平行也不相交的三角形长方形形平面图形直线形四边形平行四边形梯形正方形菱形曲线形 - 圆一般四边形（对边不平行或只有一组对边平行的）多面体长方体正方体立体图形圆柱旋转体圆锥量的概念量 量 的 种类量的单位量的计量运算种类加减法运算乘除法运算四就运算加法运算定律乘法运算定律交换律结合律运运算定律算交换律结合律安排律运算性质加减法运算性质乘除法运算性质a-b+c=a-b-ca-b-c=a-b+ca÷ b× c=a

25、7; b÷ c a÷ b÷ c=a÷ b× c应用题应用题分类解应用题简洁应用题特殊应用题复合应用题审题分析择法解答检验作答数学技能五 运算技能依据数学法就所进行的数组运算或数式变换叫运算；运算的要求是：精确、快速、合理、简便；一、口算：不借助任何运算工具，没有运算过程，直接通过思维算出得数 的一种运算方式（方法有多种） ；特点：简便、快速，形成技能后仍有精确；口算是运算的基础，没有口算才能的人，很难完成一般的数学运算工作；如何培育口算技能？（ 1）重视口算训练：从一年级到六年级都要重视口算， 这样的基础学问必需“每天练” ；凡是数目较小，数位

26、较少，特殊是一步运算的整、小数四就运算都应当纳入口算训练的范畴；比如：100 以内的整数加减法，表内乘法，分母是8、4、5、10 、25等的特殊的分数与小数的互化，的如干倍等，都应当是口算的内容； （2）把握口算方法：口算的方法多种多样，要把握科学、合理、快速、敏捷、自觉的原就；要利用数的概念（5+5+5+7 ）、法就、定律、数的分解、组合，以及有别于笔算法就的算法；20 以内的加减法其有用的就是口算，其方法应当是多种多样：比如11-3 ，可以用以下方法口算：数数法：11-1-1-1=8 ；破十法： 11 分成 10 和 1， 10-3=7，7+1=8；数的组成法： 11 是由 3 和 8 组

27、成的， 11-3=8；逆算法： 做减法想加法： 3 加几等于 11？加法熟识了，自然知道得数是8；退十加 补法：由于 3 的补数是 7，所以， 11-3=11-10+7=8；（3）训练要多样：技能是靠训练获得，特殊是运算技能；训练的目标是速度和质量，方法和技巧；第一步：视算，看题写得数；其次步：听算，听别人说算式，口头报得数；第三步：组合算，工具与心算结合，各种算法组合使用（能口算的就口数）；二、速算利用数的组成、分解，运算定律、性质，数与数之间的特殊关系进行简便运算；可以这样培育速算技能： （1）明白简算道理；无论何种简算，都是合理运用算理的结果；1.25+50.67+1.25+1.25+1

28、.25乘法意义及加法交换律;708×25+75× 708（乘法安排律）；不明白算理的简算必定错误百出； （2）把握简算方法： 分组法： 0.67+57+0.33+43;125 ×28×8; 补数法： 682-398 ， 139+68；分解法： 25×32，405÷45；转化法： 758-462-138 ，4500÷125；公式法： 1+2+3+97+98+99；性质法就法，运用运算性质和法就简 算；三、验算与估算验算可以培育庄重仔细的态度， 估算是对所做工作的评判， 都是良好的习惯；数学中的很多错误并不是由于不会，而是由于失误造成的；验算主要用在计算和应用题中；培育验算才能一是要把握验算的方法：可以用口算、估算、重复算，仍可以用逆运算；应用题可以用“代入法”，“一题多解法”；仍可以用观看法： 如 38286÷257=144，257 和 144 积的个位数不行能是6，所以，得数不对；仍可以用加减乘除的性质：和大于任何一个加数；一个数乘以一个小于 1 的数，积小于被乘数；一个数除以一个大于1 的数，商必小于被除数，等等；二是养成习惯： 对于式题可以按以下次序检验： 题目抄错了吗？竖式写对没有？验算一遍，运算中有错误吗？得数写没