小学数学典型应用题问题与答案2

1、学校数学典型应用题问题与答案第一章行程问题1、相遇问题2、追及问题3 行船问题4列车问题5时钟问题其次章分数问题1 工程问题2百分数问题3存款利率问题4溶液浓度问题5商品利润问题第三章比例问题1、归一问题2、归总问题3正反比例问题4按比例安排问题5、盈亏问题第四章和差倍比问题1和差问题2和倍问题3. 差倍问题4倍比问题5年龄问题第五章植树与方阵问题1植树问题2方阵问题第六章鸡兔同笼问题第七章条件最值问题1公约公倍问题2最值问题第八章仍原问题第九章列方程问题第十章“牛吃草”问题第十一章数学嬉戏1构图布数问题2幻方问题3抽屉原就问题第一章行程问题1、相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地动身相向

2、而行，在途中相遇；这类应用题叫做相遇问题；【数量关系】相遇时间总路程÷（甲速乙速）总路程（甲速乙速）×相遇时间【解题思路和方法】简洁的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式；例 1南京到上海的水路长392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行21 千米，经过几小时两船相遇？例 2甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每小时行13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离；解“两人在距中点3 千米处相遇”是正确懂得此题题意的关键；从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3 千米

3、，乙距中点3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇时间（ 3×2）÷（ 1513） 3（小时） 两地距离（ 1513）× 384（千米）答：两地距离是84 千米；2、追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时动身（或者在同一地点而不是同时动身，或者在不同地点又不是同时动身）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在肯定时间之内，后面的追上前面的物体；这类应用题就叫做追及问题；【数量关系】追准时间追及路程÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追准时间【解题思路和方法】简洁的题目直接利用公式，复杂

4、的题目变通后利用公式；例 1好马每天走120 千米，劣马每天走75 千米，劣马先走12 天，好马几天能追上劣马？例 2甲、乙二人练习跑步，如甲让乙先跑10 米，就甲跑5 秒钟可追上乙；如甲让乙先跑2 秒钟，就甲跑 4 秒钟就能追上乙 .问：甲、乙二人的速度各是多少？分析 如甲让乙先跑 10 米，就 10 米就是甲、乙二人的路程差， 5 秒就是追准时间，据此可求出他们的速度差为 10÷ 5=2（米/秒）；如甲让乙先跑 2 秒，就甲跑 4 秒可追上乙，在这个过程中，追准时间为4 秒，因此路程差就等于 2×4=8（米），也即乙在 2 秒内跑了 8 米，所以可求出乙的速度，也可求出

5、甲的速度 .综合列式运算如下：解：乙的速度为： 10÷5× 4÷ 2=4（米/秒）甲的速度为： 10÷5+4=6（米/秒）答：甲的速度为6 米/秒，乙的速度为4 米/秒.例 3 幸福村学校有一条200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6 米，晶晶每秒钟跑4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2 次追上晶晶时两人各跑了多少圈？分析这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一样.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200 米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，依据追及

6、问题的基本关系就可求出追准时间以及他们各自所走的路程.解：冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200÷（ 6-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）晶晶第一次被追上时所跑的路程：4× 100=400（米）冬冬其次次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷ 200=6（圈）晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷ 200=4（圈） 答：略 .解答封闭路线上的追及问题，关键是要把握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度.3 行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题；解答这类问题

7、要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差；顺水速度 =船速+水速，逆水速度 =船速 -水速 .【数量关系】（顺水速度逆水速度）÷2船速（顺水速度逆水速度）÷2水速顺水速船速× 2逆水速逆水速水速×2逆水速船速× 2顺水速顺水速水速×2船速水速顺水速度逆水速度，其中三个的关系【解题思路和方法】大多数情形可以直接利用数量关系的公式；例 1 某船在静水中的速度是每小时15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8 小时，

8、水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？例2.已知一条小船，顺水航行60 千米需 5 小时，逆水航行72 千米需 9 小时；现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离是96 千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城时，木板离乙城仍有多远？顺水航行60 千米需 5 小时顺水速度： 60÷5=12逆水航行72 千米需 9 小时逆水速度： 72÷9=8水流速度：（ 12-8）÷2=2现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离是96 千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城时，木板离乙城仍有多远？96-2 ×（ 96&

9、#247;12）=80小船从上游甲城到下游乙城： （96÷12）木板行的距离2×（96÷12）例 3.一摩托车顶风行40 千米用了 2 小时，风速为每小时2 千米，就这辆摩托车行驶时每小时行多少千米？4 列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要留意列车车身的长度；【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）÷车速火车追及：追准时间（甲车长乙车长距离）÷（甲车速乙车速） 火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）÷（甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情形可以直接利用数量关系的公式；将列车简缩为一个点例 1一座大桥长2400

10、米，一列火车以每分钟900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟；这列火车长多少米？解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和；（1）火车 3 分钟行多少米？900×32700（米）（2）这列火车长多少米？27002400300（米） 列成综合算式900×32400 300（米）答：这列火车长300 米；例2一列火车穿越一条长2000 米的隧道用了88 秒，以同样的速度通过一条长1250 米的大桥用了58秒；求这列火车的车速和车身长度各是多少？解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是由于隧道比大桥长；可知火车在（8858）秒

11、的时间内行驶了（2000 1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（20001250）÷（ 8858） 25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米， 因此，车长为25×58 1250 200（米）答：这列火车的车速是每秒25 米，车身长200 米；例3一列快车长184 米，一列慢车长168 米，两车相向而行， ，从相遇到离开需4 秒钟，假如同向而行，从快车追及慢车到离开，需16 秒种，问快车和慢车速度各是多少？解、由于两车两车相向而行，从相遇到离开所行的距离为两车的长度和184+168=352 米，用时4 秒，就两车的速度和为352÷4=8

12、8 米/秒；假如同向而行， 从快车追用慢车到离开的追及距离同为两车的长度 为 352 米，用时16 秒，就两车的速度差为352÷16=22 米/秒依据和差问题公式可知，快车的速度为：（88+22）÷2=55 米/秒慢车为55-22=33 米/秒例 4一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长140 米的快车以每秒22 米的速度在后面追逐，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行（225 140）米，而快车比慢车每秒多行（22 17）米，因此，所求的时间为（225 140）÷（ 2217） 73（秒） 答：需要 73 秒；

13、5 时钟问题【含义】就是争论钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等；时钟问题可与追及问题相类比；【数量关系】分针的速度是时针的12 倍，二者的速度差为11/12；通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来运算；钟面的一周分为60 格，分针每分钟走一格，分针的速度是1；时针每小时走5 格，每分钟走5/601/12 格；速度是112【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式；例 1.从时针指向4 点开头，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解钟面的一周分为60 格，分针每分钟走一格，每小时走60 格；时针每小时走5 格，每分钟走5/60 1/1

14、2 格；每分钟分针比时针多走（11/12） 11/12 格；4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格；所以分针追上时针的时间为20÷（ 1 1/12）22（分）答：再经过22 分钟时针正好与分针重合；例 2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差15 格（包括分针在时针的前或后15 格两种情形）；四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，假如分针在时针后与它成直角，那 么分针就要比时针多走（5×415）格，假如分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×415）格

15、；再依据1 分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间；（5×415）÷（ 11/12）6（分）（5×415）÷（ 11/12）38（分）答： 4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角；例 3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针；这实际上是一 个追及问题；（5×6）÷（ 11/12）33（分）答： 6 点 33 分的时候分针与时针重合例 4 一只钟的时针与分针均指在4 与 6 之间，且钟面上的“ 5”字恰好在时针与分针的正中心

16、，问这时是什么时刻？分析由于现在可以是4 点多，也可以是5 点多，所以分两种情形进行争论：先设此时是4 点多：4 点整时，时针指4，分针指12.从 4 点整到现在“ 5 在时针与分针的正中心” ，分针走的格数多于25，少于 30，时针走不足5 格.由于 5 到分针的格数等于5 到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走 30 格.时针和分针的路程和是30，除以速度和，可得时间；再设此时是5 点多：5 点整时，时针指5，分针指 12.从 5 点整到现在“ 5 在时针与分针的正中心” ，分针走的格数多于20 格少于 25 格，时针走的格数不足5 格，由于5 到分针的格数等于5 到时针的格数，所以

17、时针与分针在这 段时间内共走25 格.因此，时针和分针的路程和是25，除以速度和，可得时间；其次章分数问题1 工程问题【含义】工程问题主要争论工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系；这类问题在已知条件中， 常常不给出工作量的详细数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量；【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以依据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式；工作量工作效率×工作时间工作时间工作量÷工作效

18、率 工作时间总工作量÷（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式例 1一件工作， 甲独做 12 小时完成， 乙独做 10 小时完成， 丙独做 15 小时完成； 现在甲先做2 小时，余下的由乙丙二人合做，仍需几小时才能完成？解必需先求出各人每小时的工作效率；假如能把效率用整数表示，就会给运算带来便利，因此，我们设总工作量为12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数60，就甲乙丙三人的工作效率分别是60÷12 560÷10660÷15 4因此余下的工作量由乙丙合做仍需要（605×2）÷（ 64） 5

19、（小时） 答：仍需要5 小时才能完成；例 2一批零件，甲独做6 小时完成，乙独做8 小时完成；现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解设总工作量为1，就甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/61/8），二人合做时每小时完成（1/61/8）；由于二人合做需要1÷（ 1/61/8）小时，这个时间内，甲比乙多做24 个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？24÷ 1÷（ 1/61/8） 7（个）（2）这批零件共有多少个？7÷（ 1/6 1/8） 168（ 个 ） 答：这批零件共有168 个；解二上面这道题

20、仍可以用另一种方法运算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/61/843由此可知，甲比乙多完成总工作量的1/7所以，这批零件共有24÷1/7168（个）例 3一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有如干个同样粗细的进水管；当打开4 个进水管时，需要5 小时才能注满水池；当打开2 个进水管时，需要15 小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解注（排）水问题是一类特别的工程问题；往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率；要 2 小时内将水池注满，即要使2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水；为此需

21、要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）；只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出；我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，就 4 个进水管5 小时注水量为（ 1×4×5），2 个进水管15小时注水量为（ 1×2×15），从而可知每小时的排水量为（ 1× 2×151×4×5）÷（ 155） 1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同；由此可知一池水的总工作量为1×4×51×515又由于在2 小时内，每个进水管的注水量为1×2， 所以， 2 小时内注满

22、一池水至少需要多少个进水管？（151×2）÷（ 1×2）8.59（个）答：至少需要9 个进水管；2百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数；百分数是一种特别的分数；分数常常可以通分、约分，而百分数就无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率” ；分数的分子、分母必需是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个特地的记号“%”；在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%；【数量关系】把握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量÷标准量标准量比较量

23、7;百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1） 求一个数是另一个数的百分之几；（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数；例 1.红旗化工厂有男职工420 人，女职工525 人，男职工人数比女职工少百分之几？女职工比男职工人数多百分之几？男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？例 2一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10 千克的水，这是桶内的水正好是原先整桶水的一半，原先一桶水有多少千克？例 3.果品公司储存一批苹果， 售出这批苹果的30后，又运来 160 箱，这时比原先储存的苹果多1/10 ，这时有苹果多少箱？3存款利率问题【含义】把钱存入银

24、行是有肯定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关；利率一般有年利率和月利率两种；年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数；【数量关系】年（月）利率利息÷本金÷存款年（月）数×100%利息本金×存款年（月）数×年（月）利率本利和本金利息本金×1年（月）利率×存款年（月）数【解题思路和方法】简洁的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式；例 1李大强存入银行1200 元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488 元，求存款期多长；解由于存款期内的总利息是（14

25、88 1200）元，所以总利率为（ 1488 1200）÷ 1200又由于已知月利率，所以存款月数为（14881200）÷ 1200÷0.8%30（月）答：李大强的存款期是30 月即两年半；例 2银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%；假如甲乙二人同时各存入1 万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期；五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？解甲的总利息10000×7.92%× 2 10000×（ 17.92%× 2）× 8.28%×31584

26、11584×8.28%× 3 4461.47（ 元 ）乙的总利息10000×9%×54500（元） 45004461.47 38.53（元）答：乙的收益较多，乙比甲多38.53 元；4 溶液浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们常常会遇到溶液浓度问题；这类问题争论的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系；例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液；溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度；【数量关系】溶液溶剂溶质浓度溶质÷溶液×100%【解题思路和方法】简洁的题目可直接利用公式，复杂

27、的题目变通后再利用公式；例 1爷爷有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）如要把它变成 30%的糖水，需加糖多少克？解（1）需要加水多少克？50×16%÷ 10%5030（克）（2）需要加糖多少克？50×（ 116%）÷（ 1 30%） 5010（克）答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖10 克；例 2要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600×（ 30% 25%） 30（克）这

28、是由于 30%的糖水多用了； 于是，我们设想在保证总重量 600 克不变的情形下， 用 15%的溶液来“换掉”一部分 30%的溶液；这样，每“换掉” 100 克，就会削减糖 100×（30% 15%）15（克） 所以需要“换掉” 30%的溶液（即“换上” 15%的溶液） 100×（ 30÷15） 200（克）由此可知，需要15%的溶液 200 克；需要 30%的溶液600200 400（克）答：需要 15%的糖水溶液200 克，需要30%的糖水 400 克；例 3甲容器有浓度为12%的盐水 500 克，乙容器有500 克水；把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中

29、现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多；求最终乙中盐水的百分比浓度；解由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500 克，因此，只要算出乙容器中最终的含盐量，便会知所求的浓度；下面列表推算：甲容器乙容器原有盐 水 500水 500盐 500× 12% 60第一次把甲中一半盐 水 500÷2250盐 水 500250750倒入乙中后盐 60÷230盐 30第而次把乙中一半盐 水 250375625盐 水 750÷2375倒入甲中后盐 3015 45盐 30÷215第三次使甲乙中盐 水 5

30、00盐 水 500盐水同样多盐 45936盐 45361524由以上推算可知，乙容器中最终盐水的百分比浓度为24÷500 4.8%答：乙容器中最终的百分比浓度是4.8%；5 商品利润问题【含义】这是一种在生产经营中常常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题；【数量关系】利润售价进货价利润率（售价进货价）÷进货价×100%售价进货价×（1利润率）亏损进货价售价亏损率（进货价售价）÷进货价×100%【解题思路和方法】简洁的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式；例 1某服装店因搬迁，店内商品八折销售；苗苗买了

31、一件衣服用去52 元，已知衣服原先按期望盈利 30%定价，那么该店是亏本仍是盈利？亏（盈）率是多少？解要知亏仍是盈，得知实际售价52 元比成本少多少或多多少元，进而需知成本；由于52 元是原价的 80%，所以原价为（ 52÷ 80%）元；又由于原价是按期望盈利30%定的，所以成本为52÷80%÷（130%） 50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为（5250）÷ 50 4%答：该店是盈利的，盈利率是4%；例 2成本 0.25 元的作业本1200 册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%；问剩下

32、的作业本出售时按定价打了多少折扣？解问题是要运算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几；从题意可知， 每册的原定价是0.25×（ 1 40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元；剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即0.25×1200×40%×86% 0.25×1200×40%×80% 7.20（元）剩下的作业本每册盈利7.20÷ 1200×（ 1 80%） 0.03（元）又可知（0.25 0.03）÷ 0.25×

33、（ 1 40%） 80%答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的；例 3某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价廉价10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6 元，求乙店的定价；解设乙店的进货价为1，就甲店的进货价为110% 0.9甲店定价为0.9×（ 130%） 1.17乙店定价为1×（ 120%） 1.20由此可得乙店进货价为6÷（ 1.20 1.17） 200（ 元）乙店定价为200×1.2240（元）答：乙店的定价是240 元；第三章比例问题1、归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单

34、一量为标准，求出所要求的数量；这类应用题叫做归一问题；【数量关系】总量÷份数 1 份数量1 份数量×所占份数所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量；例 1 一个粮食加工厂要磨面粉20000 千克， 3 小时磨了6000 千克.照这样运算，磨完剩下的面粉仍要几小时？例 2 某车间要加工一批零件，原方案由18 人，每天工作8 小时， 7.5 天完成任务 .由于缩短工期，要求 4 天完成任务，可是又要增加6 人.求每天加班工作几小时？例 3 学校买来一些足球和篮球.已知买 3 个足球和5

35、个篮球共花了281 元；买 3 个足球和7 个篮球共花了 355 元.现在要买 5 个足球、 4 个篮球共花多少元？2、归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再依据其它条件算出所求的问题，叫归总问题；所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路 程等；【数量关系】1 份数量×份数总量总量÷ 1 份数量份数总量÷另一份数另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再依据题意得出所求的数量例 1小华每天读24 页书，12 天读完了红岩一书；小明每天读36 页书，几天可以读完 红岩？例 2食堂运来一批蔬菜，原方案

36、每天吃50 千克， 30 天渐渐消费完这批蔬菜；后来依据大家的看法，每天比原方案多吃10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？3正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相对应的两个数的比的比值肯定（即商肯定） ，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系；反比例应用题是反比例的意义和解比例等学问的综合运用；【数量关系】判定正比例或反比例关系是解这类应用题的关键

37、；很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷；【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题；正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似；例 1 以下各题中的两种量是否成比例？成什么比例？速度肯定，路程与时间路程肯定，速度与时间路程肯定，已走的路程与未走的路程总时间肯定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间总产量肯定，亩产量和播种面积整除情形下被除数肯定，除数和商同时同地，竿高和影长半径肯定，圆心角的度数和扇形面积两个齿轮啮合转动时转速和齿数圆的半径和面积 11长方体体积肯定，底面积和高 12正方形的边长和它的面积 13乘公共

38、汽车的站数和票价14房间面积肯定，每块地板砖的面积与用砖的块数15汽车行驶时每公里的耗油量肯定，所行驶的距离和耗油总量分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例例如×零件数总时间，总时间肯定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反 比例路程肯定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例解：成正比例的有：、15成反比例的有：、11、14不成比例的有：、12、13例 2 一条路全长60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2

39、：3，某人走各段路程所用时间之比依次是456，已知他上坡的速度是每小时3 千米， 问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必需依据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必需知道走上坡路的速度（题中每小时行3 千米）和上坡路的路程，已知全程60 千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是123，就可以求出上坡路的路程例 3修一条大路，已修的是未修的1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的1/2，求这条大路总长是多少米？解由条件知，大路总长不变；原已修长度总长度1（ 13） 1 4 3 12现已修长度总长度1（ 12） 1 3 4 12比较以上两式可知，把总长度当作12

40、份，就 300 米相当于（ 4 3）份，从而知大路总长为300÷（ 43）× 123600（米）答：这条大路总长3600 米例 4一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如下列图，求大矩形的面积；a252036b16解由面积÷宽长可知，当长肯定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比；又由于第一行三个小矩形的宽相等，其次行三个小矩形的宽也相等；因此，a36201625b20 16解这两个比例，得a 45b 20所以，大矩形面积为45 362520 2016162答：大矩形的面积是1624按比例安排问题【含义】所谓按比例安排，就

41、是把一个数依据肯定的比分成如干份；这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数；【数量关系】从条件看，已知总量和几个部重量的比；从问题看，求几个部重量各是多少；总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数， 再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再依据求一个数的几分之几是多少的运算方法，分别求出各部重量的值；例 1学校把植树560 棵的任务按人数安排给五年级三个班，已知一班有47 人，二班有48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？解总份数为4

42、74845 140一班植树 560×47/140188（棵） 二班植树 560×48/140192（棵） 三班植树 560×45/140180（棵）答：一、二、三班分别植树188 棵、192 棵、180 棵例 2从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊；解假如用总数乘以分率的方法解答，明显得不到符合题意的整数解；假如用按比例安排的方法解，就很简洁得到1/21/31/99629621717× 9/17917× 6/17

43、617×2/172答：大儿子分得9 只羊，二儿子分得6 只羊，三儿子分得2 只羊；5、盈亏问题【含义】依据肯定的人数，安排肯定的物品，在两次安排中，一次有余（盈），一次不足（亏） ，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题；【数量关系】一般地说，在两次安排中，假如一次盈，一次亏，就有：参与安排总人数（盈亏）÷安排差假如两次都盈或都亏，就有：参与安排总人数（大盈小盈）÷安排差参与安排总人数（大亏小亏）÷安排差【解题思路和方法】大多数情形可以直接利用数量关系的公式；例 1.一筐苹果分给一些同学吃，假如每人吃4 个，要多出48 个苹果

44、；假如每人吃6 个，就又（多）少8 个苹果 .那么有多少人，多少苹果？例 2 少先队员去植树 .假如每人种5 棵，仍有 3 棵没人种； 假如其中2 人各种 4 棵，其余的人各种6 棵，这些树苗正好种完 .问有多少少先队员参与植树，一共种多少树苗？分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对其次个已知条件的懂得上：假如其中2 人各种 4 棵，其余的人各种6 棵，就恰好种完 .这组条件中包含着两种种树的情形2 人各种 4 棵，其余的人各种6 棵；假如我们把它统一成一种情形，让每人都种6 棵，那么，就可以多种树（6-4）×24（棵） .因此，原问题就转化为：假如每人各种5 棵树苗，仍有3 棵没人

45、种；假如每人种6 棵树苗，仍缺4 棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？解： 3+（6-4）× 2÷（ 6-5） 7（人） 5× 7+338（棵）或 6×7-438（棵）答：有 7 个少先队员，一共种38 棵树；例3参与美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，假如小组10 人，就多25 支，假如小组有 12 人，色笔余外5 支；求每人分得几支？共有多少支色铅笔？分析：每个同学分到的色笔相等；这个活动小组有12 人，比10 人多2 人，而色笔多出了（25-5）=20 支，2 个 人 多 出20 支 ， 一 个 人 分 得10 支 ； 列 式 为 （25

46、-5 ） ÷（ 12-10 ） =10 （支） 10×12+5=125 （支）；第四章和差倍比问题1和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题；【数量关系】大数（和差）÷2小数（和差）÷2【解题思路和方法】简洁的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式；例 1 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94 分，数学比语文多8 分，问语文和数学各得了几分？例 2. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32 千克，乙丙两袋共重30 千克，甲丙两袋共重22 千克，求三袋化肥各重多少千克；例 3.甲乙两车原先共装苹果97 筐，从

47、甲车取下14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车仍多3 筐，两车原先各装苹果多少筐？2和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题；【数量关系】将两个数的关系转换成比，依据比的关系来解决；总和÷（几倍 1）较小的数总和 较小的数较大的数较小的数×几倍 较大的数【解题思路和方法】简洁的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式；例 1甲站原有车52 辆，乙站原有车32 辆，如每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍？例2甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2 倍少 4

48、，丙比甲的3 倍多 6，求三数各是多少？例3一个长方形，周长是30 厘米，宽是长的2 ，求这个长方形的面积；33差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题；【数量关系】将两个数的关系转换成比，依据比的关系来解决；两个数的差÷（几倍1）较小的数较小的数×几倍较大的数【解题思路和方法】简洁的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式；例 11 班的图书角里故事书的本书是文艺书的4 倍，故事书比文艺书多48 本，两种书各有多少本？ 例 2 有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，其次根接上14 米，这

49、时其次根长度是第一根长的3 倍（第一根长度是其次根长的1 ），两根绳子原先各长多少米？3例 3商场改革经营治理方法后，本月盈利比上月盈利的2 倍仍多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？例 4粮库有 94 吨小麦和138 吨玉米，假如每天运出小麦和玉米各是9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原先的数量差（ 138 94）；把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，就几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相当于（ 31） 倍，因此剩下的小麦数量（13894）÷（ 3 1

50、） 22（ 吨）运出的小麦数量94 2272（吨）运粮的天数 72÷98（天）答： 8 天以后剩下的玉米是小麦的3 倍4 倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的如干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题；【数量关系】总量÷一个数量倍数 另一个数量×倍数另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数；例 1今年植树节这天，某学校300 名师生共植树400 棵，照这样运算，全县48000 名师生共植树多少棵？解（ 1） 48000 名是 300 名的多少倍？48000÷300160（倍

51、）（2）共植树多少棵？400×160 64000（ 棵） 列成综合算式400×（ 48000÷ 300） 64000（ 棵 ）例 2凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4 亩果园收入11111元，照这样运算，全乡800 亩果园共收入多少元？全县16000 亩果园共收入多少元？解（ 1） 800 亩是 4 亩的几倍？800÷ 4 200（倍）（2）800 亩收入多少元？11111× 2002222200（元）（3）16000 亩是 800 亩的几倍？16000÷ 80020（倍）（4）16000 亩收入多少元？2222200×

52、2044444000（元）5 年龄问题【含义】这类问题是依据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化；【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着亲密联系，特别与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点；【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法；例 1 父亲现年 50 岁，女儿现年14 岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5 倍？例 2 在一个家庭里，现在全部成员的年龄加在一起是73 岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子 .父亲比母亲大3 岁，女儿比儿子大2 岁.四年前家庭里全部的人的年龄

53、总和是58 岁.现在家里的每个成员各是多少岁？分析依据四年前家庭里全部的人的年龄总和是58 岁，可以求出到现在每个人长4 岁以后的实际年龄和是58+4× 4=74（岁）；但现在实际的年龄总和只有73 岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有3 岁.女儿比儿子大2 岁，女儿是3+2=5（岁） .现在父母的年龄和是73-3-5=65（岁） .又知父母年龄差是3 岁，可以求出父母现在的年龄；解：从四年前到现在全家人的年龄和应为：58+4× 4=74（岁）儿子现在几岁？4-（74-73） =3（岁）女儿现在几岁？ 3+2=5（岁）父亲现在年龄：（73-3-5+3）÷ 2=

54、34（岁）母亲现在年龄：34-3=31（岁）答：父亲现在34 岁，母亲 31 岁，女儿 5 岁，儿子3 岁；例 3甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4 岁”；乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61 岁”；求甲乙现在的岁数各是多少？解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年；列表分析：过去某一年今年将来某一年甲岁岁61 岁乙4 岁岁岁表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数；由于两个人的年龄差总相等：4 61，也就是4， 61 成等差数列，所以，61 应当比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为（614）÷ 319（ 岁）甲今年的岁数为 61

55、1942（岁） 乙今年的岁数为 42 1923（岁）答：甲今年的岁数是42 岁，乙今年的岁数是23 岁；第五章植树与方阵问题1植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题；【数量关系】线形植树棵数=段数+1距离÷棵距 1环形植树棵数=段数距离÷棵距面积植树棵数面积÷（棵距×行距）【解题思路和方法】先弄清晰植树问题的类型，然后可以利用公式；例 1有一条大路长900 米，在大路的一侧从头到尾每隔10 米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？例 2.一个圆形池塘，它的周长是150 米，每隔3

56、 米栽种一棵树 .问：共需树苗多少株？例 3. 大路的一边每相隔9 米栽有一棵柳树 .张军乘汽车5 分钟共看到501 棵树.问汽车每小时走多少千米？例 4. 时钟三时敲三下，4 秒钟敲完； 5 时敲 5 下，几秒敲完？分析，敲三下，中间有2 个间隔，敲5 下，中间有4 个间隔；2方阵问题【含义】将如干人或物依肯定条件排成正方形（简称方阵），依据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题；【数量关系】方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少 2 ；（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）× 4每边人数四周人数÷41（2）方阵总人数